1、 1中考二次函数压轴题专题分类训练题型一：面积问题【例 1】 （2009 湖南益阳）如图 2，抛物线顶点坐标为点 C(1，4)，交 x 轴于点 A(3，0)，交 y 轴于点 B.（1）求抛物线和直线 AB 的解析式；（2）求 CAB 的铅垂高 CD 及 S CAB ；（3）设点 P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点 P，使 S PAB S89CAB，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由.【变式练习】1.（2009 广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为( 2，0)，连结 OA，将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120，得到线段 OB（1）求点 B
2、 的坐标；（2）求经过 A、 O、 B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使 BOC 的周长最小？若存在，求出点 C的坐标；若不存在，请说明理由（4）如果点 P 是（2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么 PAB 是否有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标及 PAB 的最大面积；若没有，请说明理由A xyBOxCOyABD11图 222.（2010 绵阳）如图，抛物线 y = ax2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为 A（4，0） 、B（2，0） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 D E（1，2）为线段 BC 的中点， BC 的垂直平分
3、线与x 轴、 y 轴分别交于 F、 G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标；（2）在直线 EF 上求一点 H，使 CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置时， EFK 的面积最大？并求出最大面积3(2012 铜仁)如图，已知：直线 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线3yy=ax2+bx+c 经过 A、B、C（1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点 D 的坐标为（-1，0） ，在直线 上有一点 P,使 ABO 与 ADP 相xy似，求出点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在 x 轴下方的抛物线
4、上，是否存在点 E，使 ADE 的面积等于四边形 APCE 的面积？如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由CEDGAxyO BF3题型二：构造直角三角形【例 2】 （2010 山东聊城）如图，已知抛物线 y ax2+bx+c（ a0）的对称轴为 x1，且抛物线经过 A（1，0） 、 C（0，3）两点，与 x 轴交于另一点 B（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴 x1 上求一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，并求此时点 M 的坐标；（3）设点 P 为抛物线的对称轴 x=1 上的一动点，求使 PCB90 的点 P 的坐标E【变式练
5、习】1 （2012 广州）如图，抛物线 y= 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C（1）求点 A、B 的坐标；（2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD 的面积等于ACB 的面积时，求点 D 的坐标；（3）若直线 l 过点 E（4，0） ，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式4O 11xy2.（2009 成都）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y= 与 x 轴交于2(1)(0)axcA、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，其顶点为 M,若直
6、线 MC 的函数表达式为,与 x 轴的交点为 N，且 COSBCO 。3yk310（1）求此抛物线的函数表达式；（2）在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N、P、C 为顶点的三角形是以 NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标：若不存在，请说明理由；（3）过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段 NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?3.(2012 杭州) 在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数 y=k（x 2+x1）的图象交于点 A（1，k）和点 B（1，k
7、） （1）当 k=2 时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为 Q，当ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求 k 的值54.如图（1） ，抛物线 与 y 轴交于点 A， E（0， b）为 y 轴上一动点，过点 E42yx的直线 与抛物线交于点 B、 C.yxb（1）求点 A 的坐标；（2)当 b=0 时（如图（2） ） ， 与 的面积大小关系如何？当 时，上述关AE4b系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的 b，使得 是以 BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出 b
8、；若O不存在，说明理由. y xCBAOE y xCBAOE第 26 题图（1）图（2）6题型三：构造等腰三角形【例 3】如图，已知抛物线 32bxay（a0）与 x轴交于点 A(1，0) 和点 B (3，0)，与 y 轴交于点 C（1 ）求抛物线的解析式；（2 ）在 x 轴上是否存在一点 Q 使得ACQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）设抛物线的对称轴与 x轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P，使CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【变式练习】1如图，在平面直角坐标系中，点
9、 A 的坐标为（m，m） ，点 B 的坐标为（n，n） ，抛物线经过 A、O、B 三点，连接 OA、OB、AB，线段 AB 交 y 轴于点 C已知实数 m、n（mn）分别是方程 x22x3=0 的两根（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为线段 OB 上的一个动点（不与点 O、B 重合） ，直线 PC 与抛物线交于 D、E 两点（点 D 在 y 轴右侧） ，连接 OD、BD当OPC 为等腰三角形时，求点 P 的坐标；求BOD 面积的最大值，并写出此时点 D 的坐标72.如图，抛物线 经过 的三个顶点，已知 轴，点 在254yaxABC BCx A轴上，点 C 在 轴上，且 AC=BCx（1）
10、写出 A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式；（2）探究：若点 是抛物线对称轴上且在 轴下方的动点，是否存在 是等腰三角PxP形若存在，求出所有符合条件的点 坐标；不存在，请说明理由P3 （2010 黄冈）已知抛物线 顶点为 C（1，1）且过原点 O.过抛物2(0)yaxbc线上一点 P（x，y）向直线 作垂线，垂足为 M，连 FM（如图）.54（1）求字母 a，b，c 的值；（2）在直线 x1 上有一点 ，求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标，并3(1,)F证明此时PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点 P，是否总存在一点 N（1，t） ，使 PMPN 恒成立，若
11、存在请求出 t 值，若不存在请说明理由.AC Byx0118题型四：构造相似三角形【例 4】 （2011 临沂）如图，已知抛物线经过 A（2，0） ，B（3，3）及原点 O，顶点为C（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 P、M、A 为顶点的三角形BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【变式练习】1.（2012 天水）如图，已知抛物线经过 A（4，0） ，B（1，0
12、） ，C（0，-2）三点（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线 AC 上方的该抛物线上是否存在一点 D，使得DCA 的面积最大？若存在，求出点 D 的坐标及DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由（3）P 是直线 x=1 右侧的该抛物线上一动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A、P、M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由92. 如图，二次函数的图象经过点 D(0， )，且顶点 C 的横坐标为 4，该图象在 x 轴上397截得的线段 AB 的长为 6.（1）求二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一
13、点 P，使 PA+PD 最小，求出点 P 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点 Q，使QAB 与ABC 相似？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由【例 5】 （2012 苏州）如图，已知抛物线 y= x2 - (b+1)x+ （b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为 ，点 C 的坐标为 （用含 b 的代数式表示） ；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO，QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由10
