1、深圳 2017 年中考数学压轴题大集合第 0 页（共 30 页）0一、函数与几何综合的压轴题1.如图，在平面直角坐标系中，AB、CD 都垂直于 x 轴，垂足分别为 B、D 且 AD与 B 相交于 E 点.已知：A (-2,-6),C(1,-3)(1) 求证：E 点在 y 轴上；(2) 如果有一抛物线经过 A，E，C 三点，求此抛物线方程 .(3) 如果 AB 位置不变，再将 DC 水平向右移动 k(k0)个单位，此时 AD 与 BC 相交于E点，如图，求AEC 的面积 S 关于 k 的函数解析式.解 （1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过 E 作 EOx 轴，垂足 OABEODC ,O
2、DBABC又DO+ BO=DB 1AB=6，DC=3 ，EO =2又 ，DOEBA2316EODBADO= DO，即 O与 O 重合，E 在 y 轴上图C（1，-3）A（2，-6）B DO xEy图C（1+k，-3）A（2，-6）B DO xEy深圳 2017 年中考数学压轴题大集合第 1 页（共 30 页）1方法二：由 D（1，0），A（ -2，-6），得 DA 直线方程：y=2x-2 再由 B（-2 ，0 ），C（1，-3），得 BC 直线方程：y=-x-2 联立得 2xyE 点坐标（0，-2），即 E 点在 y 轴上（2）设抛物线的方程 y=ax2+bx+c(a0)过 A（-2，-6 ）
3、，C（1，-3）E（0，-2 ）三点，得方程组463bc解得 a=-1,b=0,c=-2抛物线方程 y=-x2-2（3）（本小题给出三种方法，供参考）由（1）当 DC 水平向右平移 k 后，过 AD 与 BC 的交点 E作 EFx 轴垂足为 F。同（1）可得： 得：EF=21ABDC方法一：又EFAB ，B13DBSAEC = SADC - SEDC = 22C= =DB=3+k13DBS=3+k 为所求函数解析式方法二： BADC，S BCA =SBDAS AEC = SBDE 11322EFkS=3+ k 为所求函数解析式.证法三：S DEC S AEC =DEAE= DCAB=12同理：
4、S DEC S DEB =12,又S DEC S ABE =DC2AB 2=14 21392AEADBDk梯 形S=3+ k 为所求函数解析式.2. （2015 广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点 M（1，0）为圆心、直深圳 2017 年中考数学压轴题大集合第 2 页（共 30 页）2径 AC 为 的圆与 y 轴交于 A、D 两点.2（1）求点 A 的坐标； （2）设过点 A 的直线 yx b 与 x 轴交于点 B.探究：直线 AB 是否M 的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接 BC，记ABC 的外接圆面积为 S1、M 面积为 S2，若 ，抛物线41hyax 2bxc 经过 B、
5、M 两点，且它的顶点到 轴的距离为 .求这条抛物线的解析x式. 解（1）解：由已知 AM ，OM1， 2在 Rt AOM 中， AO ， OA 点 A 的坐标为 A（0，1）（2）证：直线 yxb 过点 A（0，1）10b 即 b1 yx1令 y0 则 x1 B（1，0），AB 222O在ABM 中，AB ，AM ，BM 22222 4)(BMAMABM 是直角三角形，BAM90 直线 AB 是M 的切线（3）解法一：由得BAC90，AB ，AC2 ， BC 10)()22ACBBAC90 ABC 的外接圆的直径为 BC，25)10()2(1 BCS而)()(2A，421hS5,425h 即
6、AB CD xMy深圳 2017 年中考数学压轴题大集合第 3 页（共 30 页）3设经过点 B（1，0）、M（ 1，0）的抛物线的解析式为：ya（1）（x1），（a0 ）即 yax 2a，a5，a5抛物线的解析式为 y5x 25 或 y5x 25 解法二：（接上） 求得h5 由已知所求抛物线经过点 B（1，0）、M（1、0），则抛物线的对称轴是 y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，5）抛物线的解析式为 ya（x0） 25又 B（ 1,0）、M（1,0）在抛物线上，a50， a5抛物线的解析式为 y5x 25 或 y5x 25 解法三：（接上）求得h5因为抛物线的方程为 yax 2bxc（
7、a0 ）由已知得 505c0b5402 cbaaabc 或 解 得 抛物线的解析式为 y5x 25 或 y5x 25. 3.(2015 湖北荆门)如 图 ， 在 直 角 坐 标 系 中 ， 以 点 P（ 1， 1） 为 圆 心 ， 2 为 半 径 作 圆 ， 交x 轴 于 A、 B 两 点 ， 抛 物 线 过 点 A、 B， 且 顶 点 C 在 P 上 .)0(2acbxy(1)求 P 上 劣 弧 的 长 ；(2)求 抛 物 线 的 解 析 式 ；(3)在 抛 物 线 上 是 否 存 在 一 点 D， 使 线 段 OC 与 PD 互 相 平 分 ？ 若 存 在 ， 求 出 点 D 的 坐 标
8、；若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 （1）如图，连结 PB，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M.在 RtPMB 中，PB=2,PM=1,MPB60，APB120A BCO xyP（1，1）深圳 2017 年中考数学压轴题大集合第 4 页（共 30 页）4的 长 AB342180（2）在 RtPMB 中，PB=2,PM=1,则 MBMA .3又 OM=1，A （1 ，0），B （1 ，0），由抛物线及圆的对称性得知点 C 在直线 PM 上，则 C(1，3). 点 A、B、C 在抛物线上，则解之得cbac3)31()(02 21cba抛物线解析式为 22xy（3）假设存在点 D，使 O
9、C 与 PD 互相平分，则四边形 OPCD 为平行四边形，且PCOD.又 PC y 轴，点 D 在 y 轴上，OD2，即 D（0，2）. 又点 D（0，2）在抛物线 上，故存在点 D（0，2），x使线段 OC 与 PD 互相平分. 4.（2015 湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，RtABC 的直角顶点C（0， ）在 轴的正半轴上，A 、 B 是 轴上是两点，且 OAOB31，以3yxOA、 OB 为直径的圆分别交 AC 于点 E，交 BC 于点 F.直线 EF 交 OC 于点 Q.（1）求过 A、 B、 C 三点的抛物线的解析式；（2）请猜想：直线 EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的
10、猜想.（3）在AOC 中，设点 M 是 AC 边上的一个动点，过 M 作 MN AB 交 OC 于点 N.试问：在 轴上是否存在点 P，使得PMN 是一个以 MN 为一直角边的等腰直角三x角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)在 RtABC 中，OCAB，AOCCOB.OC 2OAOB.A BCO xyP（1，1）MAyxBEFO1QO O2C深圳 2017 年中考数学压轴题大集合第 5 页（共 30 页）5OAOB 31,C(0, ),2().OBAOB1.OA3.A(-3,0),B(1,0).设抛物线的解析式为2.yaxbc则 解之，得930,.abc3,3.c经
11、过 A、 B、 C 三点的抛物线的解析式为233.yx(2)EF 与O 1、O 2 都相切.证明：连结 O1E、OE、OF .ECFAEOBFO90,四边形 EOFC 为矩形.QEQO .12.34,2+490 ，EF 与O 1 相切 .同理：EF 理O 2 相切.(3)作 MPOA 于 P，设 MNa,由题意可得 MPMNa. MN OA,CMNCAO.MNCA3.a解之，得.2此时，四边形 OPMN 是正方形 .3MNOPBAEFO1QO O2yx2134NMPC深圳 2017 年中考数学压轴题大集合第 6 页（共 30 页）6XOPDCABY3(,0).2P考虑到四边形 PMNO 此时为
12、正方形，点 P 在原点时仍可满足PNN 是以 MN 为一直角边的等腰直角三角形 .故 轴上存在点 P 使得PMN 是一个以 MN 为一直角边的等腰直角三角形且x或3(,0)2(,).5.（2015 湖北宜昌）如图，已知点 A(0，1) 、C(4，3)、E( ， )，P 是以 AC 为对415823角线的矩形 ABCD 内部(不在各边上)的个动点，点 D 在 y 轴，抛物线 yax 2+bx+1以 P 为顶点(1)说明点 A、 C、E 在一条条直线上；(2)能否判断抛物线 yax 2+bx+1 的开口方向?请说明理由；(3)设抛物线 yax 2+bx+1 与 x 轴有交点 F、G(F 在 G 的
13、左侧)，GAO 与FAO 的面积差为 3，且这条抛物线与线段 AE 有两个不同的交点这时能确定 a、b 的值吗?若能，请求出 a、b 的值；若不能，请确定 a、b 的取值范围(本题图形仅供分析参考用)解 （1）由题意，A(0，1)、C(4，3) 确定的解析式为： y=x+1.2将点 E 的坐标 E( ， )代入 y= x+1 中，左边= ，右41582321823边= +1= ，21左边=右边，点 E 在直线 y= x+1 上，即点 A、C 、 E21在一条直线上.（2）解法一：由于动点 P 在矩形 ABCD 内部，点 P 的纵坐标大于点 A 的纵坐标，而点 A 与点 P 都在抛物线上，且 P
14、 为顶点，这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下解法二：抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 P 的纵坐标为 ，且 P 在矩形 ABCD 内ab42深圳 2017 年中考数学压轴题大集合第 7 页（共 30 页）7由方程组y=ax26ax+1y= x+11得：ax 2（6a+ ）x =01部，1 3，由 11 得 0，a 0，抛物线的开口向下. ab42b422（3）连接 GA、FA，S GAO SFAO =3 GOAO FOAO=3 2121OA=1 ，GO FO=6. 设 F（x 1,0）、G （x 2,0），则 x1、x 2 为方程 ax2+bx+c=0 的两个根，且 x1x 2，又a0，
15、x 1x2= 0， x10x 2，aGO= x2，FO= x 1，x 2（x 1）=6，即 x2+x1=6，x 2+x1= =6，bab= 6a, 抛物线解析式为：y=ax 26ax+1, 其顶点 P 的坐标为（3，19a）, 顶点 P 在矩形 ABCD 内部， 119a3, a0. 9x=0 或 x= =6+ .a26当 x=0 时，即抛物线与线段 AE 交于点 A，而这条抛物线与线段 AE 有两个不同的交点，则有：06+ ，解得： aa2145921综合得： a b= 6a， b9 346.（2017 湖南长沙）已知两点 O(0，0) 、B(0，2)，A 过点 B 且与 x 轴分别相交于点
16、 O、C，A 被 y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为 31 ，直线 l 与A 切于点 O，抛物线的顶点在直线 l 上运动 .（1）求A 的半径；（2）若抛物线经过 O、C 两点，求抛物线的解析式；（3）过 l 上一点 P 的直线与A 交于 C、E 两点，且 PCCE，求点 E 的坐标；（4）若抛物线与 x 轴分别相交于 C、F 两点，其顶点 P 的横坐标为 m，求PEC 的XGF OPDECABY0 xy深圳 2017 年中考数学压轴题大集合第 8 页（共 30 页）8面积关于 m 的函数解析式.解 (1)由弧长之比为 31，可得BAO90 再由 ABAOr，且 OB2 ，得 r 2(2)A 的
17、切线 l 过原点，可设 l 为 ykx任取 l 上一点(b，kb )，由 l 与 y 轴夹角为 45 可得：bkb 或 bkb ，得 k1 或 k1，直线 l 的解析式为 yx 或 yx 又由 r ，易得 C(2，0)或 C(2，0) 2由此可设抛物线解析式为 yax(x2)或 yax(x2)再把顶点坐标代入 l 的解析式中得 a1抛物线为 yx 22x 或 yx 22x 6 分(3)当 l 的解析式为 yx 时，由 P 在 l 上，可设 P(m，m)(m0)过 P 作 PPx 轴于 P，OP|m|，PP|m|，OP2m 2，又由切割线定理可得：OP 2PCPE,且 PCCE，得 PC PEm
18、PP7 分C 与 P为同一点，即 PEx 轴于 C，m 2，E(2 ，2)8 分同理，当 l 的解析式为 yx 时，m 2，E(2，2) (4)若 C(2，0) ，此时 l 为 yx，P 与点 O、点 C 不重合，m0 且 m2，当 m0 时，FC2(2m) ，高为 |yp|即为m ，S 22()同理当 0m2 时，Sm 22m；当 m2 时，S m 22m；S 又若 C(2，0) ，2(0)或此时 l 为 yx，同理可得；S2(0)m或A AB( 2,0)CC(2,0)lOPEPxy（ 2,0）PClOyxCF FFP P深圳 2017 年中考数学压轴题大集合第 9 页（共 30 页）97.
19、（2015 江苏连云港）如图，直线 与函数 的图像交于4kxy )0,(mxyA、B 两点，且与 x、y 轴分别交于 C、D 两点（1）若 的面积是 的面积的 倍，求 与 之间的函数关系式；CODAB2k（2）在（1）的条件下，是否存在 和 ，使得以 为直径的圆经过kmAB点 若存在，求出 和 的值；若不存在，请说明理由)0,(P解（1）设 ， (其中 )，),(1yx),2yx21,yx由 ，得AOBCDS2BODACDS ( )， ， 1y22y)(21yC又 ， ，即 ， 48)21y 84(1由 可得 ，代入 可得 xmykx02km ， ， 21m21 ，即 846k又方程的判别式 ，0846k所求的函数关系式为 2)(（2）假设存在 , ，使得以 为直径的圆经过点 kmAB)0,2(P则 ，过 、 分别作 轴的垂线，垂足分别为 、 BPAxMN 与 都与 互余， MNPMBRt Rt ， N ， ， ， 2121yxx0)2(11yx 0)2(11yym即 4)(21ym由（1）知 ， ，代入得 ，21 0282 或 ，又 ， 或 ，6kkm316O P DCBAyxyxNMO P DCBA
