1、吴老师数学 17-18 年度 9 年级第 4 次课 相似训练 13961570211 微信 WU7021111 （16 安徽）如图，RtABC 中，ABBC，AB=6，BC=4，P 是ABC 内部的一个动点，且满足PAB=PBC，则线段 CP 长的最小值为（ ）A B2 C D2 （16 镇江）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点 O 是正方形 OABC 的一个顶点，已知点 B 坐标为（1，7） ，过点 P（a，0） （a0）作 PEx 轴，与边 OA 交于点 E（异于点 O、A） ，将四边形 ABCE 沿 CE翻折，点 A、B分别是点 A、 B 的对应点，若点 A恰好落在直线 PE 上，则 a
2、 的值等于（ ）A B C2 D33 （16 南通）平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0， 1）三点，D（1，m）是一个动点，当ACD 的周长最小时，ABD 的面积为（ ）A B C D4如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、CD 边上的点，且 EAF=45 ，对角线 BD 交 AE 于点M，交 AF 于点 N若 AB=4 ，BM=2，则 MN 的长为 5如图，ABC 中，BAC=90，AB=3，AC=4，点 D 是 BC 的中点，将ABD 沿 AD 翻折得到AED，连 CE，则线段 CE 的长等于（ ）A2 B C D6如图，在矩形 ABC
3、D 中，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转一定角度后，BC 的对应边 BC交 CD 边于点 G连接 BB、CC若 AD=7，CG=4 ，AB=BG ，则 = （结果保留根号）吴老师数学 17-18 年度 9 年级第 4 次课 相似训练 13961570211 微信 WU7021127我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“ 內似线” （1）等边三角形“內似线”的条数为 ；（2）如图，ABC 中，AB=AC ，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，求证：
4、BD 是ABC 的“內似线”；（3）在 Rt ABC 中，C=90，AC=4，BC=3 ，E、 F 分别在边 AC、BC 上，且 EF 是ABC 的“內似线”，求 EF 的长8如图，已知矩形 ABCD 中，AB=4，AD=m ，动点 P 从点 D 出发，在边 DA 上以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，连接 CP，作点 D 关于直线 PC 的对称点 E，设点 P 的运动时间为 t（s） （1）若 m=6，求当 P，E，B 三点在同一直线上时对应的 t 的值（2）已知 m 满足：在动点 P 从点 D 到点 A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻 t，使点 E到直线 BC 的距离等于 3，求所
5、有这样的 m 的取值范围吴老师数学 17-18 年度 9 年级第 4 次课 相似训练 13961570211 微信 WU7021139 （2014连云港）某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知 AB=8问题思考：如图 1，点 P 为线段 AB 上的一个动点，分别以 AP、BP 为边在同侧作正方形 APDC、BPEF （1）当点 P 运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值（2）分别连接 AD、DF、AF，AF 交 DP 于点 K，当点 P 运动时，在APK、ADK 、DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由问题拓展
6、：（3）如图 2，以 AB 为边作正方形 ABCD，动点 P、Q 在正方形 ABCD 的边上运动，且 PQ=8若点 P 从点A 出发，沿 ABCD 的线路，向点 D 运动，求点 P 从 A 到 D 的运动过程中，PQ 的中点 O 所经过的路径的长（4）如图 3，在“问题思考” 中，若点 M、N 是线段 AB 上的两点，且 AM=BN=1，点 G、H 分别是边CD、EF 的中点，请直接写出点 P 从 M 到 N 的运动过程中， GH 的中点 O 所经过的路径的长及 OM+OB 的最小值10 （2013扬州）如图 1，在梯形 ABCD 中，ABCD，B=90，AB=2，CD=1，BC=m，P 为线
7、段 BC 上的一动点，且和 B、C 不重合，连接 PA，过 P 作 PEPA 交 CD 所在直线于 E设 BP=x，CE=y（1）求 y 与 x 的函数关系式；（2）若点 P 在线段 BC 上运动时，点 E 总在线段 CD 上，求 m 的取值范围；（3）如图 2，若 m=4，将PEC 沿 PE 翻折至 PEG 位置， BAG=90，求 BP 长吴老师数学 17-18 年度 9 年级第 4 次课 相似训练 13961570211 微信 WU70211411如图，在直角坐标系中，点 A 坐标为（1，0） ，点 B 坐标为（0，1） ，E、F 是线段 AB 上的两个动点，且EOF=45 ，过点 E、
8、F 分别作 x 轴和 y 轴的垂线 CE、DF 相交于点 P，垂足分别为 C、D、设 P 点的坐标为（x，y） ，令 xy=k，（1）求证：AOF BEO；（2）当 OC=OD 时，求 k 的值；（3）在点 E、F 运动过程中，点 P 也随之运动，探索：k 是否为定值？请证明你的结论12如图，在 RtABC 中，C=90，AB=50，AC=30，D ，E，F 分别是 AC，AB，BC 的中点点 P 从点D 出发沿折线 DEEFFCCD 以每秒 7 个单位长的速度匀速运动；点 Q 从点 B 出发沿 BA 方向以每秒 4 个单位长的速度匀速运动，过点 Q 作射线 QKAB ，交折线 BCCA 于点
9、 G点 P，Q 同时出发，当点 P 绕行一周回到点 D 时停止运动，点 Q 也随之停止设点 P，Q 运动的时间是 t 秒（t0） （1）D，F 两点间的距离是 ；（2）射线 QK 能否把四边形 CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出 t 的值；若不能，说明理由；（3）当点 P 运动到折线 EFFC 上，且点 P 又恰好落在射线 QK 上时，求 t 的值；吴老师数学 17-18 年度 9 年级第 4 次课 相似训练 13961570211 微信 WU7021151.解：ABC=90，ABP+PBC=90，PAB=PBC，BAP+ABP=90，APB=90 ，点 P 在以 AB 为直径的O 上
10、，连接 OC 交O 于点 P，此时 PC 最小，在 RTBCO 中，OBC=90，BC=4，OB=3，OC= =5，PC=OC OP=53=2PC 最小值为 22.解：当点 A恰好落在直线 PE 上，如图所示，连接 OB、AC ，交于点 D，过点 C 作 CFA B，交 PE 于点 F，交 y 轴于点 G，则 CFy 轴，四边形 OABC 是正方形，OD=BD，OBAC，O（0，0） ，B（1，7） ，D（ ， ） ，由勾股定理得：OB= = =5 ，设直线 OB 的解析式为：y=kx，把 B（1，7）代入得：k=7，直线 OB 的解析式为：y=7x，设直线 AC 的解析式为：y= x+c，把
11、 D（ ， ）代入得： = +c，c= ，直线 AC 的解析式为：y= x+ ，设 C（x， x+ ） ，在 Rt OBC 中，cosBOC= ，OC=cos45 OB= 5 =5，正方形 OABC 的边长为 5，由翻折得：AB=AB=5，在 RtOCG 中，OC 2=OG2+CG2，5 2=x2+（ x+ ） 2，解得：x 1=3，x 2=4（舍） ，CG=3，CF=AB=5 ，FG=CFCG=5 3=2，P（2，0） ，即 a=2，3.解：由题可得，点 C 关于直线 x=1 的对称点 E 的坐标为（2， 1） ，设直线 AE 的解析式为 y=kx+b，则 ，解得 ，y= x ，将 D（1，
12、m）代入，得 m= = ，即点 D 的坐标为（1， ） ，吴老师数学 17-18 年度 9 年级第 4 次课 相似训练 13961570211 微信 WU702116当ACD 的周长最小时，ABD 的面积= AB| |= 4 = 4.解：如图，延长 BC 到 G，使 BG=DF 连接 AG，在 AG 截取 AH=AN，连接 MH、BH四边形 ABCD 为正方形，AB=BC=CD=AD，4=5=45，BAD=ADF=ABE=ABG=90，在 RTABG 和 RTADF 中， ，RtABGRt ADF （SAS ） ，1=2，7= G，AF=AG，GAE=2+3=1+3=BAD EAF=90 45
13、=45=EAF，在AMN 和AMH 中， ，AMNAMH （SAS） ，MN=MH，AF=AG，AN=AH，FN=AF AN=AGAH=GH，在DFN 和 BFH 中， ，DFNBGH（SAS） ，6=4=45，DN=BH ，MBH=ABH+5=ANG6+5=9045+45=90BM 2+DN2=BM2+BH2=MH2=MN2，BD= AB=8，2 2+（82MN） 2=MN2，MN= 5解：如图连接 BE 交 AD 于 O，作 AHBC 于 H在 RtABC 中，AC=4，AB=3 ，BC= =5，CD=DB，AD=DC=DB= ， BCAH= ABAC，AH= ，AE=AB，DE=DB=D
14、C，AD 垂直平分线段 BE，BCE 是直角三角形， ADBO= BDAH，OB= ，BE=2OB= ，在 RtBCE 中，EC= = = ，故选 D6解：连接 AC，AG，AC ，由旋转可得，AB=AB，AC=AC，BAB=CAC， = ，ABBACC ，吴老师数学 17-18 年度 9 年级第 4 次课 相似训练 13961570211 微信 WU702117 = ，AB=BG， ABG=ABC=90，ABG 是等腰直角三角形，AG= AB，设 AB=AB=x，则 AG= x，DG=x4，RtADG 中，AD 2+DG2=AG2，7 2+（x4） 2=（ x） 2，解得 x1=5，x 2=
15、13（舍去） ，AB=5 ，RtABC 中，AC= = = ， = = ，7 （1 ）解：等边三角形“內似线”的条数为 3 条；理由如下：过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图 1 所示：则AMN ABC，CEFCBA ，BGHBAC，MN、EF、GH 是等边三角形 ABC 的內似线”；故答案为： 3；（2）证明：AB=AC，BD=BC=AD ，ABC=C=BDC，A=ABD，BCDABC，又BDC=A +ABD，ABD=CBD ，BD 平分ABC，即 BD 过ABC 的内心， BD 是ABC 的“內似线”；（3）解：设 D 是ABC 的内心，连接 CD，则 CD 平分ACB ，EF 是
16、ABC 的“內似线” ， CEF 与ABC 相似；分两种情况：当 = = 时，EFAB ，ACB=90 ，AC=4，BC=3 ，AB= =5，作 DN BC 于 N，如图 2 所示：则 DN AC，DN 是 RtABC 的内切圆半径，DN= （AC +BCAB）=1，CD 平分ACB ， = ，DN AC， = ，即 ，CE= ，EF AB，CEF CAB， ，即 ，解得：EF= ；当 = = 时，同理得： EF= ；综上所述，EF 的长为 吴老师数学 17-18 年度 9 年级第 4 次课 相似训练 13961570211 微信 WU7021188解：（1）如图 1 中，设 PD=t则 PA
17、=6tP、B 、E 共线，BPC=DPC ，ADBC，DPC=PCB，BPC=PCB，BP=BC=6，在 RtABP 中，AB 2+AP2=PB2，4 2+（6t） 2=62，t=62 或 6+2 （舍弃） ，PD=62 ，t=（62 ）s 时，B、E、P 共线（2）如图 2 中，当点 P 与 A 重合时，点 E 在 BC 的下方，点 E 到 BC 的距离为 3作 EQBC 于 Q，EM DC 于 M则 EQ=3，CE=DC=4易证四边形 EMCQ 是矩形，CM=EQ=3，M=90 ，EM= = = ，DAC=EDM，ADC=M，ADCDME， = ， = ，AD=4 ，如图 3 中，当点 P
18、 与 A 重合时，点 E 在 BC 的上方，点 E 到 BC 的距离为 3作 EQBC 于 Q，延长 QE 交 AD 于 M则 EQ=3， CE=DC=4在 RtECQ 中， QC=DM= = ，由DMECDA， = ， = ，AD= ，综上所述，在动点 P 从点 D 到点 A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻 t，使点 E 到直线BC 的距离等于 3，这样的 m 的取值范围 m4 吴老师数学 17-18 年度 9 年级第 4 次课 相似训练 13961570211 微信 WU7021199. 解答： 解：（1）当点 P 运动时，这两个正方形的面积之和不是定值设 AP=x，则 PB=8x，根
19、据题意得这两个正方形面积之和=x 2+（8x） 2=2x216x+64=2（x 4） 2+32，所以当 x=4 时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为 32（2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是APK 与DFK依题意画出图形，如答图 2 所示设 AP=a，则 PB=BF=8aPEBF， ，即 ，PK= ，DK=PDPK=a = ，SAPK= PKPA= a= ，S DFK= DKEF= （8a）= ，SAPK=SDFK（3）当点 P 从点 A 出发，沿 ABCD 的线路，向点 D 运动时，不妨设点 Q 在 DA 边上，若点 P 在点 A，点 Q 在点 D，此时 PQ 的中点 O 即为
20、DA 边的中点；若点 Q 在 DA 边上，且不在点 D，则点 P 在 AB 上，且不在点 A此时在 RtAPQ 中，O 为 PQ 的中点，所以 AO= PQ=4所以点 O 在以 A 为圆心，半径为 4，圆心角为 90的圆弧上PQ 的中点 O 所经过的路径是三段半径为 4，圆心角为 90的圆弧，如答图 3 所示：所以 PQ 的中点 O 所经过的路径的长为： 24=6（4）点 O 所经过的路径长为 3，OM+OB 的最小值为 如答图 41，分别过点 G、O、H 作 AB 的垂线，垂足分别为点 R、S、T，则四边形 GRTH 为梯形点 O 为中点，OS= （GR+HT ）= （AP+PB）=4，即
21、OS 为定值点 O 的运动路径在与 AB 距离为 4 的平行线上MN=6，点 P 在线段 MN 上运动，且点 O 为 GH 中点，点 O 的运动路径为线段 XY，XY= MN=3，XYAB 且平行线之间距离为 4，点 X 与点 A、点 Y 与点 B 之间的水平距离均为 2.5吴老师数学 17-18 年度 9 年级第 4 次课 相似训练 13961570211 微信 WU7021110如答图 42，作点 M 关于直线 XY 的对称点 M，连接 BM，与 XY 交于点 O由轴对称性质可知，此时 OM+OB=BM最小在 RtBMM中，MM =24=8，BM=7，由勾股定理得：BM = = OM+OB
22、 的最小值为 10. 解答：解：（1）APB+CPE=90， CEP+CPE=90，APB=CEP，又B= C=90，ABPPCE ， ，即 ，y= x2+ x（2）y= x2+ x= （x ） 2+ ，当 x= 时，y 取得最大值，最大值为 点 P 在线段 BC 上运动时，点 E 总在线段 CD 上， 1，解得 m m 的取值范围为： 0m （3）由折叠可知，PG=PC，EG=EC，GPE= CPE，又GPE+APG=90，CPE+APB=90，APG= APBBAG=90， AGBC， GAP=APB， GAP=APG， AG=PG=PC解法一：如解答图所示，分别延长 CE、AG ，交于点
23、 H，则易知 ABCH 为矩形，HE=CHCE=2 y，GH=AH AG=4（4x）=x，在 RtGHE 中，由勾股定理得： GH2+HE2=GE2，即：x 2+（2 y） 2=y2，化简得：x 24y+4=0 由（1）可知，y= x2+ x，这里 m=4，y= x2+2x，代入式整理得：3x 28x+4=0，解得：x= 或 x=2，解法二：如解答图所示，连接 GCAGPC，AG=PC ，四边形 APCG 为平行四边形， AP=CG易证ABP GNC，CN=BP=x过点 G 作 GNPC 于点 N，则 GN=2，PN=PCCN=42x在 RtGPN 中，由勾股定理得：PN 2+GN2=PG2，即：（42x） 2+22=（4x） 2，整理得：3x 28x+4=0，解得： x= 或 x=2，解法三：过点 A 作 AKPG 于点 K，APB=APG，AK=AB 易证 APBAPK，PK=BP=x， GK=PGPK=42x在 RtAGK 中，由勾股定理得：GK 2+AK2=AG2，即：（42x） 2+22=（4x） 2，整理得：3x 28x+4=0，解得： x= 或 x=2，
