1、 - 1 -3.1.1 空间向量及其加减运算教学目标：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题 教学重点：空间向量的加减运算及运算律教学难点：由平面向量类比学习空间向量教学过程：一、复习引入：平面向量有关概念：名称 定义平面向量 在平面中，具有_ 和_的量叫做空间向量，其大小叫做向量的_或_.平面向量的表示 平面向量可以用_表示，也可以用_表示；单位向量 长度或模为_的向量零向量 _的向量相等向量 方向_且模 _的向量相反向量 _相反且 _相等的向量二新课讲授1空间向量的概念.名称 定义空间向量 在
2、空间中，具有_ 和_的量叫做空间向量，其大小叫做向量的_ 或_.空间向量的表示 空间向量可以用_表示，也可以用_表示；单位向量 长度或模为_的向量零向量 _的向量相等向量 方向_且模 _的向量相反向量 _相反且 _相等的向量思考：(1)零向量与零是同一概念吗？_;(2)空间任意两个向量是否可能异面？ 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量 讨论：空间任意两个向量是否共面？2. 空间向量的加法、减法的定义与平面向量的运算一样：- 2 - _ ； OB OA AB _.（指向被减向量） ，思考:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量 （如
3、右图所示）：1231_;n-+=首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：；123411_;nnAAA 3. 空间向量的加法的运算律加法交换律： + = + ；abr加法结合律：( + ) + = + ( + )；abc典例精析：例 1 如图所示，在长、宽、高分别为 AB3，AD2 ，AA11 的长方体ABCDA1B1C1D1 的八个顶点的两点为始点和终点的向量中- 3 -(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为 的所有向量5(3)试写出与 相等的所有向量(4)试写出 的相反向量AB AA1 解析： 规律总结：(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量
4、( 非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键变式 1：下列说法中正确的是( )A若|a|b| ，则 a，b 的长度相同，方向相同或相反B若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|b| C空间向量的减法满足结合律 D在四边形 ABCD 中，一定有 AB AD AC 例 2 空间向量的加减运算如图，已知平行六面体 ABCDABCD，化简下列表达式(1) ；(2) .AB BB DA- - DD- - BC AC AC AD AA 解析：- 4 -规律总结：(1)掌握好向量加减法的三角形法则是解
5、决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果变式 2如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，若 a， b， c，CA CB CC1 则 _.A1B- 课堂小结：1. 空间向量的加法符合交换律，结合律 .2.平面向量与空间向量 . 空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量 .因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们 .巩固提升：1.下列说法中正确的是( )A若|
6、a|b|，则 a、b 的长度相同，方向相同或相反B若向量 a 是向量 b 的相反向量，则 |a|b|C空间向量的减法满足结合律D.在四边形 ABCD 中，一定有 + =ABDC2判断下列说法是否正确：（1）零向量没有方向 ( )(2)零向量的方向不确定，所以任何两个零向量不相等 （ ）（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量（ ）（4）相等的向量，若起点不同，则终点一定不同 （ ）(5)对于空间任意两个向量，它们可能共面，也可能异面 （ ）3. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，向量表达式 化简后的结果是（ ） 1DABCA. B. C D.1BD4. 如图所示 a，b 是两
7、个空间向量，则 与 与 是_向量， 与A C A C AB 是_向量B A - 5 -3.1.2 空间向量及其加减运算制作：王志刚 审核：贾秋福学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题复习引入参照平面向量思考，空间向量中，数乘向量的定义，运算律，共线向量定理还成立吗？讲授新课： 1空间向量的数乘运算(1) 数乘向量：结果 实数 与空间向量 a 的乘积是一个_ 的范围 方向关系 模的关系0 方向_=0 a=0,其方向是任意的0 方向_a 的模是 a 的模的_
8、(2)运算律:分配律 :(a+b)=_;结合律:( a)=_.2空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？新知：（1）空间向量的共线：如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量. 来源:学。科。网 Z。X。X。K(2) 空间向量共线：定理：对空间任意两个向量 （ ） ， 的充要条件是存在唯一实数 ，使得 ,ab0/ab 推论：如图，l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是 试试：已知 5,28,ABabCab，求证: A,B,C 三点共线. 3CD- 6 -反思
9、：充分理解两个向量 共线向量的充要条件中的 ，注意零向量与任何向量共线.,ab 0b3.空间向量的共面问题：空间任意两个向量不共线的两个向量 有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样,a的位置关系？ 新知：(1)共面向量： 同一平面的向量. (2). 空间向量共面：定理：对空间两个不共线向量 ，向量 与向量 共面的充要条件是存在 ,abp,ab， 使得 .推论：空间一点 P 与不在同一直线上的三点 A,B,C 共面的充要条件是： 存在 ，使 对空间任意一点 O，有 试试：若空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 满足关系式 ,则11236OPABOC点 P 与 A,B,C 共面吗？反思：若
10、空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 满足关系式 ,且点 POPxAyBzOC与 A,B,C 共面，则 .xyz典例精析：例 1：化简：1 （1） 5（ ）+4（ ） ；来源:学。科。网 32ab3a .6cc2(2014上海高二检测)已知正方体 ABCD-AB CD中,点 E 是 AC的中点,点F 是 AE 的三等分点,且 AF=EF,则等于 ( )- 7 -1A.BD2C.63 解析：变式 1：如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， M 为 AC 与 BD 的交点，若 a， b， c，则下列向量中与 相等的向量A1B1 A1D1 A1A B1M 是 ( )A a b c
11、B. a b c C. a b c D a b c12 12 12 12 12 12 12 12.2ABCDOABOCD 图 边 过 点 线条 线- 8 -变式 2：已知 A，B，C 三点不共线， O 是平面 ABC 外任一点，若由 OP 15OA 23OB 确定的一点 P 与 A，B，C 三点共面，则 _.OC 课堂小结：1。运用空间向量解决立体几何中的问题2理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论巩固提升：1下列命题中正确的个数是( )若 与 共线， 与 共线，则 与 共线；abcac向量 , , 共面即它们所在的直线共面；若 ，则存在惟一的实数 ，使 .bA1 B2 C3 D02在下列
12、条件中，使 M 与 A，B ，C 一定共面的是( )A. 3 2 B OM OA OB OC OM OA OB OC C D MA MB MC 0OM 14OB OA 12OC 3已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱） （如图） ，化简下列DAB向量表达式，并标出化简结果的向量：； ； A ； 1(3)21()3DA - 9 -变式 1：如图所示，已知平行六面 ABCDA1B1C1D1， M 为 A1C1 与 B1D 的交点，化简下列向量表达式 （1） + ； （2） + ； A1B1BA21D（3） + + ；121D（4） + + + + ABC1A1变式 2：已知长方体 ABCDAB
13、 C D,化简下列向量表达式:(1) (2);三课堂练习：5. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,化简向量表达式 + + 的结果为AB CDA_6如图所示，已知空间四边形 ABCD，连结 AC，BD，E，F，G 分别是 BC，CD，DB的中点，请化简 （1） ， （2） ，并标出化简结果的向量AB BC CD AB GD EC 四板书设计五课后反思 - 10 -数乘分配律：( + ) = + ；ab数乘结合律：(u ) =(u) 1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？既有大小又有方向的量叫向量向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母 、 等表arb示；用有向线段的起点与终点字母： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 .AB2. 向量的加减运算：向量的加法：向量的减法：
