1、 第六章 线性空间1 集合映射一 授课内容:1 集合映射二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号与乘积号的定义.三 教学重点:集合映射的有关定义.四 教学难点:集合映射的有关定义.五 教学过程:1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念定义:(集合的交、并、差) 设 是集合, 与 的公共元素所组成SAB的集合成为 与 的交集,记作 ；把 和 B 中的元素合并在一起组ABA成的集合成为 与 的并集,记做 ；从集合 中去掉属于 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为 与 B 的差集,记做 .定义:(集合的映射) 设 、 为集合.如果存在法则 ,使得 中
2、任fA意元素 在法则 下对应 中唯一确定的元素(记做 ),则称 是 到afB)(a的一个映射,记为B ).(,:faAf如果 ,则 称为 在 下的像, 称为 在 下的原像.baf)( bf的所有元素在 下的像构成的 的子集称为 在 下的像,记做 ,AfBA)(Af即 .f|)(若 都有 则称 为单射.若 都存在,Aa),(afff ,Bb,使得 ,则称 为满射.如果 既是单射又是满射,则称 为bf)( f双射,或称一一对应.2.求和号与求积号(1)求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.设给定某个数域 上 个数 ,我们使用如下记号:Knna,21, .niaa
3、121 nia121当然也可以写成, .niaa121 nia121(2)求和号的性质容易证明, , .niiia1nniii bab11)( nimjnijjia11事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状: nmnmaa 212112分别先按行和列求和,再求总和即可.2 线性空间的定义与简单性质一 授课内容：2 线性空间的定义与简单性质二 教学目的：通过本节的学习,掌握线性空间的定义与简单性质.三 教学重点：线性空间的定义与简单性质.四 教学难点：线性空间的定义与简单性质.五 教学过程：1.线性空间的定义(1)定义 4.1(线性空间) 设 V 是一个非空集合,且 V 上有一个
4、二元运算“+” ,又设 K 为数域,V 中的元素与 K 中的元素有运算数量(V乘法“ ” ,且“+”与“ ”满足如下性质:()KV1、 加法交换律 ,有 ；2、 加法结合律 ,有 ；,V()()3、 存在“零元”,即存在 ,使得 ；0,04、 存在负元,即 ,存在 ,使得 ；5、 “1 律” ；16、 数乘结合律 ,都有 ；,klKV()()kllk7、 分配律 ,都有 ；8、 分配律 ,都有 ,()则称 V 为 K 上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“ ”的定义,不光与集合 V 有关.(2)零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数
5、乘运算与通常数的加、乘法类似的性质命题 4.1 零元素唯一,任意元素的负元素唯一.证明:设 与 均是零元素,则由零元素的性质,有 ；0 0,设 都是 的负向量,则V,()()于是命题得证.由于负向量唯一,我们用 代表 的负向量.定义 4.2(减法) 我们定义二元运算减法“-”如下:定义为 .()命题 4.2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质:1、 加法满足消去律 ；2、 可移项 ；3、 可以消因子 且 ,则 ；k01k4、 .0,()(3)线性空间的例子例 4.1 令 V 表示在 上可微的函数所构成的集合,令 ,V 中()abKA加法的定义就是函数的加法,关于 K 的数乘就是实数遇函数的乘法
6、,V 构成 K 上的线性空间.4.1.2 线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述,向量组的秩,向量组的线性等价；极大线性无关组.定义 4.3(线性组合) 给定 V 内一个向量组 ,又给定数域 K12,s内 s 个数 ,称 为向量组 的一个12,sk 12skk 12s线性组合.定义 4.4(线性表出) 给定 V 内一个向量组 ,设 是 V 内的12,s 一个向量,如果存在 K 内 s 个数 ,使得 ,则12,sk 12skk称向量 可以被向量组 线性表出.12,s定义 4.5(向量组的线性相关与线性无关) 给定 V 内一个向量组,如果对 V 内某一个向
7、量 ,存在数域 K 内不全为零的数12,s,使得 ,则称向量组 线性相k 120skk 12,s关；若由方程 必定推出 ,则称 0kk向量组 线性无关.12,s命题 4.3 设 ,则下述两条等价:12,sV1) 线性相关；12,s2)某个 可被其余向量线性表示.i证明同向量空间.定义 4.6(线性等价) 给定 V 内两个向量组(),12,r(),s如果()中任一向量都能被()线性表示,反过来,()中任一向量都能被()线性表示,则称两向量组线性等价.定义 4.7(极大线性无关部分组) 给定 V 内一个向量组 ,如12,s果它有一个部分组 满足如下条件:12,rii(i)、 线性无关；12,rii
8、(ii)、原向量组中任一向量都能被 线性表示,12,rii则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到 的一些特有的性质,于是那些命题在线性空间中依然成nK立.定义 4.8(向量组的秩) 一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量,其向量数目成为该向量组的秩.例 4.2 求证:向量组 的秩等于 2(其中 ).12,xe 12证明:方法一:设 R,满足 ,则 ,假,k120xxke12xxke若 不全为零,不妨设 ,则有 ,而由于 ,等号左12k1012()112边为严格单调函数,矛盾于等号右边为常数.于是
9、.20k所以 线性无关,向量组的秩等于 2.证毕.12xe方法二:若在 上 ,()ab120xxke两端求导数,得 ,1以 代入,有()xc12,0.ccke而 ,12122()1)cccee于是 .证毕.10k3 维数、基与坐标一 授课内容:3 维数、基与坐标二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间的基与维数,向量的坐标的有关定义及性质.三 教学重点:基与维数、向量坐标的有关定义.四 教学难点:基与维数、向量坐标的有关定义.五 教学过程:1.线性空间的基与维数,向量的坐标设 V 是数域 K 上的线性空间,则有:定义 4.9(基和维数) 如果在 V 中存在 n 个向量 ,满足:12,n1)
10、线性无关；12,n2)V 中任一向量在 K 上可表成 的线性组合,12,n则称 为 V 的一组基.12,n基即是 V 的一个极大线性无关部分组.基的个数定义为线性空间的维数.命题 4.4 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间,而 .若12,nVV 中任一向量皆可被 线性表出,则 是 V 的一组基.12, 12,n证明:由 与 V 的一组基线性等价可以推出它们的秩相等.12,n命题 4.5 设 V 为 K 上的 n 维线性空间, ,则下述两12,n条等价:1) 线性无关；12,n2)V 中任一向量可被 线性表出.12,n定义 4.10(向量的坐标) 设 V 为 K 上的 n 维线性空间, 是
11、12,n它的一组基.任给 ,由命题 4.4, 可唯一表示为 的线性组,合,即 ,使得 ,于是我们称!,(12)iaKin 12naa为 在基 下的坐标.12n 易见,在某组基下的坐标与 V/K 中的向量是一一对应的关系.4 基变换与坐标变换一 授课内容:4 基变换与坐标变换二 教学目的:通过本节的学习,掌握基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式.三 教学重点:基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式.四 教学难点:坐标变换公式的应用.五 教学过程:1.线性空间的基变换,基的过渡矩阵设 V/K 是 n 维线性空间,设 和 是两组基,且12,n 12,n2122,.nnntttt 将其写
12、成矩阵形式.1212121212(,)(,)nnnnntttt 定义 4.11 我们称矩阵 121212nnnttTtt为从 到 的过渡矩阵.12,n 12,命题 4.6 设在 n 维线性空间 V/K 中给定一组基 .T 是 K12,n上一个 n 阶方阵.命 1212(,)(,).nnT 则有 是 V/K 的一组基,当且仅当 T 可逆.12,n证明:若 是线性空间 V/K 的一组基,则 线性无12,n 12,n关.考察同构映射 ,构造方程下 的 坐 标在 nKV,: 21, 其中 ,12()()()0nkk ()ikK,1 120n线性无关.2n (),()构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵
13、可逆；1(),()反过来,若过渡矩阵可逆,则构造方程,其中 ,120nkk ,(12,)ikKn两边用 作用,得到 ,12()()0n.证毕.2.向量的坐标变换公式； 中的两组基的过渡矩阵n(1)向量的坐标变换公式设 V/K 有两组基为 和 ,又设 在 下12,n 12,n 12,n的坐标为 ,即12,na,1212(,)na 在 下的坐标为 ,即12,n 12(,)nb.1212(,)nb 现在设两组基之间的过渡矩阵为 T,即 1212(,)(,).nnT 记, ,12naX12nbY于是.12121212(,)(,)(,)(,)(nnnnXYTYTY 于是,由坐标的唯一性,可以知道 ,这就
14、是坐标变换公式.X(2) 中两组基的过渡矩阵的求法nK我们设 中两组基分别为和 112212(,)(,).nnnna 112212(,)(,).nnnnb 而 12(,).T 按定义,T 的第 i 个列向量分别是 在基 下的坐标.i,n将 和 看作列向量分别排成矩阵12,n 12,n； ,1212nnaaA 121212nnnbbB则有 ,将 A 和 B 拼成 分块矩阵 ,利用初等行变换将左BT|A边矩阵 A 化为单位矩阵 E,则右边出来的就是过渡矩阵 T,示意如下:.)|()|(TE 行 初 等 变 换5 线性子空间一 授课内容:5 线性子空间二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性子空间的定
15、义、判别定理.三 教学重点:线性子空间的定义、判别定理.四 教学难点:线性子空间的判别定理.五 教学过程:1.线性空间的子空间的定义定义 4.12(子空间) 设 V 是数域 K 上的一个线性空间 ,M 时 V 的一个非空子集.如果 M 关于 V 内的加法与数乘运算也组成数域 K 上的一个线性空间,则称为 V 的一个子空间.命题 4.7 设 V 是 K 上的线性空间,又设一个非空集合 ,则W是子空间当且仅当下述两条成立:Wi) 对减法封闭； ii) 对于 K 中元素作数乘封闭.W证明:必要性由定义直接得出；充分性:各运算律在 V 中已有,所以 W 满足运算律的条件.只需要证明 且对于任意 , ,且对加法封闭即可.0事实上,由于 关于数乘封闭,则 ； ,0(1)W于是对于 , ,W 关于加法封闭.于是 W 是 V,W()的一个子空间. 证毕.事实上,W 关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论.命题 4.8 设 W 是 V 的一个有限维子空间,则 W 的任一组基可以扩充为 V 的一组基.证明:设 , , ,若 ,则命题为真；dimnir()nr若 ,对 作归纳:设 为 W 的一组基,取 ,rr12 1rV则 线性无关.于是令 ,易见,121, 1|,rkkKW是 V 的一个子空间,且 ,此时 ,对其用dirdimn归纳假设即可.
