1、第三章 不等式第一教时教材：不等式、不等式的综合性质目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质。过程：一、引入新课1世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。2过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题二、几个与不等式有关的名称 （例略）1 “同向不等式与异向不等式” 2 “绝对不等式与矛盾不等式”三、不等式的一个等价关系（充要条件）1从实数与数轴上的点一一对应谈起0ba0ba0ba2应用：例一 比较 与 的大小)5(3)4(2解：（取差） )(07)8()122 aa 00)(14小结：步骤：作差变形判断结论例三 比较大小 1 和231解： 0254562)10
2、()23( ；当 时 = ；当 时 3 )(l3a)(l2a当 时 1a12a1og1og总有 )(log3a)(l2第二教时教材：不等式基本性质（续完）目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。过程：一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质 1、2二、1性质 3：如果 ，那么 （加法单调性）反之亦然bacba证： 0)(ca从而可得移项法则： bca)()(推论：如果 且 ，那么 （相加法则）bddbca证： cdca推论：如果 且 ，那么 （相减法则）bddbca证： cc或证： )()()()dcbada上式0 dcb0c2性
3、质 4：如果 且 , 那么 ；babca如果 且 那么 （乘法单调性）证： cc)( 0根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：时 即：0c0)(cbabca时 即：推论 1 如果 且 ，那么 （相乘法则）0dbdac证： cbcbdcaa0,推论 1（补充）如果 且 ，那么 （相除法则）0ddc证： 0cd1badcbca推论 2 如果 , 那么 n)1(nN且3性质 5：如果 ，那么 0baba且证：（反证法）假设 n则：若 这都与 矛盾 baanbanba三、小结：五个性质及其推论口答 P8 练习 1、2 习题 6.1 4四、作业 P8 练习 3 习题 6.1 5、6五、供选用的例题（或作业
4、）1已知 ， ， ，求证：0badc0edbeca证： 1ebdc2若 ，求不等式 同时成立的条件Rba, a1,解： 01b3设 ， 求证Rcba, ,ac01cba证： 0cba22cba02bca又 0 2 abcba10cc 04 比较 与 的大小|,1解： 当 时 即a1b0,ba|ba00ab 0a1b5若 求证：,a1解： 01bab 01a1ab6若 求证：0,dcb dcsinsinlogl证： 1 1sin00logsin又 0,dcbabca 原式成立1第三教时教材：算术平均数与几何平均数目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。过
5、程：一、定理：如果 ，那么 （当且仅当 时取“=” ）Rba, ab22ba证明： 22)(baba0)(2时 ，当 时 ，当 21指出定理适用范围： Rba,2强调取“=”的条件 二、定理：如果 是正数，那么 （当且仅当 时取“=” ）ba, ab2ba证明： )(222即： 当且仅当 时 ab2注意：1这个定理适用的范围： Ra2语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。三、推广：定理：如果 ，那么Rcba, abca33（当且仅当 时取 “=”）证明： cb)(32233 )()(2 cbaacba 3) 22 c)(2bcc()212acab 上式0 从而Rca, abc3
6、3指出：这里 就不能保证0cb推论：如果 ，那么 cb, 3abc（当且仅当 时取 “=”）证明： 33333)()(ca3abcab四、关于“平均数”的概念1如果 则：NnRan且1,21叫做这 n 个正数的算术平均数叫做这 n 个正数的几何平均数nna212点题：算术平均数与几何平均数3基本不等式： na21nna21iRNi,*这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。4 的几何解释：ab2以 为直径作圆，在直径 AB 上取一点 C， b过 C 作弦 DDAB 则 abBACD2从而 aD而半径 b2五、例一 已知 为两
7、两不相等的实数，求证：cba, cabca22证： 2bc2以上三式相加： )(2 cabcba22六、小结：算术平均数、几何平均数的概念基本不等式（即平均不等式）七、作业：P11-12 练习 1、2 P12 习题 5.2 1-3补充：1已知 ，分别求 的范围3,86baba,(8,11) (3,6) (2,4)2 试比较 与 （作差 ）Rx124x23x14x23xA BDDCa b3求证： )(2222 cbacba 证： )(2b)2 )(2a三式相加化简即得第四教时教材：极值定理目的：要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理，并学会初步应用。过程：二、复习：算术平均数与几何平均
8、数定义，平均不等式三、若 ，设 Ryx, 2),(yxQ2),(yxAxyG),(求证：yxH12),( ),(),(),(),( H加权平均；算术平均；几何平均；调和平均证： 2442)2( 222 yxyxyx 即： （俗称幂平均不等式）yx),(),(AQ由平均不等式 ,),(yxGA即：),(2),(yxH ),(),(yxHG综上所述： ,),(),( yxyxQ例一、若 求证Rba125)1()2ba证：由幂平均不等式： )()(22b25)3(2)3(2)1(2 baba四、极值定理已知 都是正数，求证：yx,1 如果积 是定值 ，那么当 时和 有最小值pyxp2 如果和 是定值
9、 ，那么当 时积 有最大值sx241s证： Ryx, xy21当 (定值)时， ppyp2上式当 时取“ =” 当 时有yxxmin)(x2当 (定值)时， s2sy241sy上式当 时取“ =” 当 时有yxx2max)(s注意强调：1 最值的含义（ “”取最小值， “”取最大值）2用极值定理求最值的三个必要条件：一“正” 、二“定” 、三“相等”五、例题1证明下列各题： 210logx)1(证： l0logx于是 2x若上题改成 ，结果将如何？10解： 0lg01lox于是 2)o()l(x从而 1gx若 则ba4a解：若 则显然有R, 410ab若 异号或一个为 0 则 ba, ab41
10、ab2求函数 的最大值)1(2xy)(x求函数 的最大值 1解： 当 即 时0x0xx232即 时74)3(4)1(243y 74maxy 0x102x )()( 222 xy 74)3(132x当 时 ,22x2maxy93maxy3若 ，则 为何值时 有最小值，最小值为几？11解： x0xx =1 121)(21当且仅当 即 时x0)(minx六、小结：1四大平均值之间的关系及其证明2极值定理及三要素七、作业：P12 练习 3、 4 习题 6.2 4、5、6补充：下列函数中 取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？x1 时)(y13maxy2 x452,in3 时 0xy32161,6miny第五教时
