1、1第 7 章 常微分方程教学重点：1.理解常微分方程的基本概念；2.理解微分方程的解的概念，包括解、通解、初始条件和特解；3.熟练掌握几类一阶微分方程的解法；4.熟练掌握高阶微分方程的降阶法；5.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理；6.熟练掌握二阶常系数线性微分方程的解法7.能利用微分方程解决实际应用问题。教学难点：1.能正确判断判断微分方程的类型；2.用换元法求解微分方程；3.微分方程的应用。说明：欧拉方程不作要求。7.1 微分方程的基本概念我们先看两个实际问题. 例 7.1 已知一曲线通过点 ,且在该曲线上任一点 处的切线斜率为 , (12)(,)Mxy2x求该曲线方程. 解 设所求曲
2、线的方程为 , 根据导数的几何意义 , 可知未知函数 应()yfx ()f满足关系（71）d2将上式的两端积分, 得 yx即（72）2C其中 是任意常数. 此外, 未知函数还满足C当 时, （73）1xy将（73）代入（72）得 ,即所求曲线方程为（74）2例 7.2（自由落体运动）一质量为 的质点, 在重力作用下, 从高处由静止开始下落, m求质点在时刻 的位移 .t()st解 根据牛顿第二定律, 未知函数 应满足关系式()stg2即（75）()stg同时, 还满足下列条件()st（76）(0)s将（75）式两端积分一次, 得（77）1()stgC将（17）式两端再积分一次, 得（78）21
3、2()tt其中 为任意常数. 12,C将条件（76）分别代入（77）及（78）式得 , 于是所求位移为120,C（79）21()stgt上述两例中的关系式（71）和（75）都含有未知函数的导数, 这两式都是微分方程. 下面我们介绍有关微分方程的基本概念. 定义 7.1 凡含有未知函数的导数（或微分）的方程, 称为微分方程. 如果微分方程中的未知函数是一元函数, 则称为常微分方程；如果未知函数是多元函数, 则称为偏微分方程. 微分方程中的未知函数导数（或微分）的最高阶阶数称为微分方程的阶.例 7.1 和例 7.2 中得到的方程（71）和（75）都是常微分方程, 其中, 例(71)是一阶常微分方程
4、, （72）是二阶常微分方程. 又如 2()d0txt为一阶常微分方程, 23ye为三阶常微分方程. 本章中主要讨论常微分方程, 也简称为方程. 一般地, 阶微分方程具有形式n()(,0nFxy其中 是 的已知函数, 而且 必须出现, 而()(,nFxy (),nxy ()ny等变量可以不出现. (1),定义 7.2 如果一个函数代入微分方程后能使方程成为恒等式, 那么这个函数就称为该微分方程的解. 3定义 7.3 如果微分方程的解中含有任意常数, 且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解称为微分方程的通解. 如果微分方程的通解中的任意常数被确定, 这种不含任意常数的解称为微分方
5、程的特解, 用来确定微分方程通解中任意常数的条件称为初始条件. 例如例 7.1 中式（72）和式（74）是微分方程（71）的解, 其中式（72）是微分方程（71）通解, （ 74）是微分方程（71）的特解, 式（73）是微分方程方程（71）的初始条件. 通常, 一阶微分方程 的初始条件为 或(,)0Fxy0()yx写成 , 其中 为已知数；二阶微分方程 的初始条件为0xy0xy,)或写成 0()yx00()dxy其中 为已知数. 0,x求微分方程满足初始条件的特解的问题, 称为初值问题. 例 7.3 验证函数 （ 为常数）是方程2()sinyxCdcot2sin0yx的通解, 并求满足初始条件
6、 的特解. 02解 要验证一个函数是否为已知微分方程的解, 只需将函数代入微分方程, 看是否成为恒等式, 而, 2()sinyxC2dsin()cosyxCx把 和 代入方程, 得ydx22cot2siicossict2sin0xxxx所以 是题设微分方程的解, 又因为, 这个解中含有一个任意常数 , 任2()nyC C意常数的个数与微分方程的阶数相同, 故函数 是题设方程的通解. 2()sinyxC将初始条件 代入通解得 , 即 , 从而求得特解为 02y2424.2sinyxx47.2 一阶微分方程及其解法一阶微分方程的一般形式是 F(x, y, y)0 或 , 有时也写成如下微分形式()
7、fxy（710）,)dPQ本节我们仅讨论几种特殊类型的一阶微分方程及其解法. 7.2.1 可分离变量的一阶微分方程定义 7.5 形如 (711)d()yfxg的一阶微分方程, 称为可分离变量的微分方程, 其中 分别为 与 的连续函数. (),fxgyxy我们可以将方程（711）变形为 1d()()yfxg其中 , 从而上式左端只含变量 , 右端只含变量 , 这一步称为分离变量；然后()0gy两边积分, 得 ()d()gyfxC其中 是任意常数 这就是可分离变量微分方程的通解表达式 注意 这里已将任意常数事C先写出 所以求完不定积分不需再加常数 例 7.4 求解微分方程 2dyx解：当 时, 分
8、离变量得0yd2yx两边积分 dyx得21lnyC即. 2ex其中 是非零的任意常数. 显然 也是原方程的解 , 只要允许 , 那么1eC0y0C5就可以包含在 中, 因此原方程的通解为 （C 为任意常数）. 0y2exyC2exy由此可以看出, 在积分过程中, 原函数出现对数函数时, 真数一般可以不加绝对值, 任意常数也可以写成 , 这样可使运算方便, 也可简化结果. ln例 7.5 求方程 的通解. 22(1)d()0xyxy解 分离变量 22d1xy两边积分 22xy得 22ln(1)l()lnC即所求通解为 . 2()xy注意, 这里 与 的关系隐含在式子 中, 所以此类通解称为原方程
9、yx21()的隐式通解. 例 7.6 求微分方程 d P kP(NP)d t (N k0 为常数)的解 此处假设 0PN 解 分离变量得d()t等式两边的积分 ()PktN即 1dt于是得通解 lnPktCN或 ()ektatA其中 由上式解出 P 得e, NCAak6e1atatNAPB其中 这个方程称为逻辑斯蒂曲线方程1eNcBA7.2.2 齐次微分方程形如 （712）的微分方程称为齐次方程, 其中 是关于 这个整体变量的的一元连续函数. 例如方yfx程 2dyyx可以变形为 22d1yxyx所以, 该方程为齐次微分方程. 齐次方程 可以通过变量代换转化为可分离变量的微分方程, 具体做法是
10、：dyfx作变量代换 , 即 , 从而 uyxudyux代入原方程, 得 ()uf即当 时, 有()0fud()xfu这是一个以 为自变量, 以 为未知函数的可分离变量的微分方程, 两边积分求出积分后 x再用 代替 u 便得所给齐次方程的通解 y例 7.7 求微分方程 的通解.dtanyyxx7解 方程为齐次微分方程, 令 , 则 , , 代入原方程, 得yuxudyuxdtan分离变量得 cotxu两边积分得 lnsilnC即 , 将 代回, 便得原方程的通解为sinuCxy. siyx例 7.8 求微分方程 的通解2d()xy解：原方程变形为（714）22d1yyxx因此是齐次方程, 令
11、, 则 , , 代入方程（714）得yuxudyu21x分离变量得 23dux两边积分 231dux即. 2lnCu将 代回, 便得原方程的通解为yux. 22l0xy7.2.3 一阶线性微分方程形如8（715）d()yPxQ的方程, 称为一阶线性微分方程. （线性是指方程中未知函数及其导数都是一次的）. 当 时, 称微分方程（715）为非齐次线性微分方程 . 当 时, 方程()0Qx ()0Qx（715）成为（716）d()0yPx称方程（716）为方程（715）对应的齐次线性微分方程, 这里的齐次是指方程（716）中的每一项关于 和 都是一次的；我们先求出齐次线性微分方程（716）的解,
12、将式（716）分离变量得 d()yPx两边积分得 , 即 1ln()yPxC（717）()dePxy这就是方程（716）的通解. 显然, 当 为任意常数时, 不是方程（715）的通解, 由于非齐次()dPx方程的右端是关于 的函数 , 因此, 联想到乘积函数的导数公式, 需将式（717）x()Q中常数 换成待定函数 . C设（718）dxpeCy)(为非齐次线性方程 的解, 将d()PxQ（719）()()xPx dd和式（718）式代入方程（715）得 () () ()PxPxPxCCQdddeee整理得 , 即 , 两边积分得()Q()()()Pxxd把上式代入（718）式, 便得到非齐次
13、线性方程（715）的通解公式()()PxPxyCdde9（720）()()()PxPxPxQCdddee从式（720）容易看到, 非齐次线性方程的通等于它所对应的齐次方程的通解与非齐次线性方程的一个特解 之和. 上述求非齐()PxyCde ()()PxPxQdd次线性微分方程通解的方法称为常数变易法. 用常数变易法求一阶非齐次线性微分方程的通解步骤为：（1）先求出非齐次线性微分方程所对应的齐次微分方程的通解, 即 ；()PxyCde（2）将所求通解 的任意常数 改为待定函数 , 即()PxyCdeC()x()Pxyde将其设为是非齐次线性微分方程的通解. （3）将 代入非齐次方程, 解出 ,
14、从而得到一阶非齐次线性微()Pxyde()分方程的通解. 例 7.9 求方程 的通解. x解法一 这是一阶非齐次线性微分方程, 用常数变易法求解. 先求出其对应的齐次微分方程的通解： yxd0分离变量, 得 y两边积分, 得 lnlnxC即 y利用常数变易法, 令 为原方程通解, 将()Cxy2d()xC代入原方程, 得 22()()exxC即 , 积分得 , 故原方程通解为()exC()xe10()xyC1e解法二 直接利用通解公式（720）求解：这里 , 则(,()xPQ1elnln()x xx xxxyC11ddee 例 710 求微分方程 满足初始条件 的特解. ()y2d60()y1解 方程可写成 , 它不属于前面讲过的可分离变量的微分方程、齐次微yx2分方程、一阶线性微分方程中的任何一种. 但如果把 看成自变量, 把 看成未知y()xy函数, 那么原微分方程可以写成 ,xyyd32该方程是以 为未知函数的一阶非齐次线性微分方程, 利用相应的通解公式 , 注()x意到 ,则(),yPyQ32()()(PyPyxCdde)yyeC33dd2. 3321将初始条件 代入上式得 , 于是所求方程特解为()y12. xy3例 7.11 求微分方程 的通解. lnxy2解 将方程变形, 得 , 因为方程中含 及其的导数, 于是作变换ly1lny, 则原方程可化为 lnuy
