1、第四章 曲线和曲面 第一节 曲线和曲面表示的基础知识第二节 Hermite多项式 第三节 Coons曲面 第四节 Bezier曲线和曲面 第五节 B样条曲线和曲面 第一节 曲线和曲面表示的基础知识 曲线和曲面参数表示 （ 1）与坐标轴相关的，不便于进行坐标变换；（ 2）会出现斜率为无穷大的情况；（ 3）难以灵活地构造复杂的曲线、曲面（ 4）非参数的显示方程只能描述平面曲线，空间曲线必须定义为两张柱面的交线。（ 5）假如我们使用非参数化函数，在某个 xoy坐标系里一条曲线，一些 x值对应多个 y值，而一些 y值对应多个 x值。在空间曲线的参数表示中，曲线上每一点的坐标均要表示成某个参数 t的一个
2、函数式，则曲线上每一点笛卡尔坐标参数式是：， 把三个方程合写到一起，曲线上一点坐标的矢量表示是：关于参数 t的切矢量或导函数是：曲面写为参数方程形式为 :曲线或曲面的某一部分，可以简单地用 a t b界定它的范围 直线段 端点坐标分别是 P1x1,y1,P2x2,y2， 直线段的参数表达式是：P(t)= P1+( P2- P1) t = (1-t)P1+ tP2 0 t1 ；参数表示相应的 x,y坐标分量是：x(t)= x1+(x2-x1) t y(t)= y1+(y2-y1) t 0 t1 参数方程具有如下优点。(1) 对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换（如平移、比例、旋转
3、）。(2) 便于处理斜率为无限大的问题。(3) 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。具有很强的描述能力和丰富的表达能力。(4) 参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间去。(5) 规格化的参数变量 t0,1, 使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义其边界。便于曲线和曲面的分段、分片描述。易于实现光顺连接。(6) 易于用矢量和矩阵表示几何分量，计算处理简便易行。 曲线和曲面可以分为两类。一类要求通过事先给定的离散的点，称为是 插值的曲线或曲面。另一类不要求通过事先给定的各离散点，而只是用给定各离散点
4、形成的控制多边形来控制形状，称为是 逼近的曲线或曲面 。 基本概念 插值 要求构造一条曲线顺序通过型值点，称为对这些型值点进行插值（ interpolation）。 逼近 构造一条曲线，使它在某种意义上最佳逼近这些型值点，称之为对这些型值点进行逼近（ approximation）。 参数连续性一函数在某一点 x0处具有相等的直到 k阶的左右导数，称它在 x0处是 k次连续可微的，或称它在x0处是 k阶连续的，记 作 Ck。 几何上 C0、 C1、 C2依次表示该函数的图形、切线方向、曲率是连续的。 几何连续性两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接点处具有 Ck连续性，则称它们在该点处具有 k阶几何连续性，记作 Gk 。 零阶几何连续 G0与零阶参数连续 C0是一致的。一阶几何连续 G1指一阶导数在两个相邻曲线段的交点处成比例，即方向相同，大小不同。二阶几何连续 G2指两个曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例 。 光顺 光顺（ smoothness） 是指曲线的拐点不能太多，要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺的条件应该是：（ 1）具有二阶几何连续（ G2）；（ 2） 不存在多余拐点和奇异点；（ 3）曲率变化较小。
