1、1序 言概率论与数理统计主要考查考生对研究随机现象规律性的基本概念、基本理论和基本方法的理解，以及运用概率统计方法分析和解决实际问题 的能力。在随机事件和概率部分要理解基本概念，会分析事件的结 构正确运用公式、掌握一些技巧，熟练的计算概率。在随机变量及其概率分布部分要熟练掌握用随机变量表达事件以及计算概率的方法，还要熟练掌握有关分布函数、概率分布和概率密度的计算。对于二维随机变量要熟练掌握有关联合分布函数、 边缘分布和条件分布的 计算，掌握有关判断独立性的方法，会求两个随机变量的简单函数的分布。关于数字特征要熟练掌握数学期望，方差定 义、性 质和计算，会计算协方差，相关系数和矩。大数定律和中心
2、极限定理的基础是切比雪夫不等式，要会用此不等式证明有关不等式，会利用中心极限定理进行有关的概率的近似 计算。在数理统计部分，要熟练掌握平均 值， 样本方差的性质和计 算，会根据 x分布， t 分布，F 分布的定义和性 质推导有关正态总体某些统计量的分布。要熟练的求参数的矩估计、最大似然估计，并判断无偏性，会求正态总体参数的置信区间，会进行正态总体参数的显著性检验。大多数试题是考查理解能力和综合应用能力，解 题时一定要 “找准模型”还要应用高数工具去解决问题。这就要对 考试大纲中所要求的各种模型的特性、公式以及性质要能充分把握，深刻理解，还应计算准确。2概 率 习 题例 1 设 p(A)=0.4
3、 ,p(A+B)=0.7,若事件 A,B 互斥，则 p(B)=_若事件 A,B 独立，则p(B)=_例 2 设 A,B 是任意两个随机事件，则 _BABAP例 3 设 A,B 是任意两个概率不为 0 的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是( )（A） （B）B与 不 相 容 与 相 容（C） （D）p()=()()(p例 4 设 A，B 为两个随机事件且 则下列式子正确的是( )A（A） p(A+B)=p(A) （B）p(AB)=p(A)（C） （D）p(B-A)=p(B)-p(A) ()(例 5 的 对 立表 示 若和 的 概 率 分 别 为及 其 和 事 件，设 随 机 事 件 BAU0.
4、6 3,.4事件。那么积事件 _BP的 概 率例 6 已知 p(A)=p(B)=p(C)= 则事件 A,B,C 全不发11,()0,()(),46pCpB生的概率为_例 7 设两两相互独立的事件 A,B,C 满足条件 1,()(),2ApC且 ?9()16pABC,求 p()=例 8 设 A，B 是两个事件，且 00, ，则必有( )p(B)=（A） （B）()()pA（C） （D ）p()()例 9 已知事件满足条件 且 p(A)=P , 则 p(B)=_()()A例 10 设事件 A，B 满足 ，则( )13（A） A 是必然条件 （B） ()0pA（C） （D） B例 11 设 0p(A
5、)1 ,0p(B)1, ,则有( )()()1（A） 事件 A 与 B 互不相容 （B） 事件 A 与 B 相互对立（C） 事件 A 与 B 不独立 （D） 事件 A 与 B 相互独立例 12 已知 0p(B)1 ,且 ，则下列结论成立的是pp2121（A） p21（B） BAB21（C） p21（D） 1122()()()pA例 13 设两个相互独立的事件 A，B 都不发生的概率为 ，A 发生 B 不发生的概率与19B 发生 A 不发生的概率相等，则 p(A)=?例 14 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽取一个，抽取后不再放回，则第二次抽取的是次品的概率 P=?
6、例 15 袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个黄球，30 个白球，今有两个人依次随机的从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是?例 16 设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别是 1% 和 2% ，现在从由 A 和 B 的产品分别占 60% 和 40% 的一批产品中随机抽取一件，发现是次品则该次品属于 A生产的概率是 ？例 17 设三次独立试验中，事件 A 出现的概率相等，若已知 A 至少出现一次的概率等于 ，则事件 A 在一次试验中出现的概率为 ?1927例 18 设一次试验中，事件 A 发生的概率为 P,现进行 n 次独立试验，则 A 至少发生一次的概率为 _,而事件
7、A 至多发生一次的概率为_.例 19 已知随机事件 A 的概率 p(A)=0.5 , B 的概率为 p(B)=0.6 , 条件概率 ，()0.8pB则 p(A+B)=4例 20 甲乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 , 0.5 ,现已知目标被击中，则它是甲击中的概率是?例 21 三个箱子，第一个箱子中有黑球 4 个， 白球 1 个。第一个箱子中有黑球 3 个， 白球 3 个。第三个箱子中有黑球 3 个，白球 5 个。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为_已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为_.例 22 设 2 箱内装有同种零件，第一箱
8、为 50 件，10 件一等品，第二箱 30 件，18 件一等品，先从 2 箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取 2 个零件，求: （1）先取出的零件是一等品的概率， （2）在先取的是一等品条件下，后取的仍是一等品的条件概率 q。例 23.设有来自三个地区的各 10 名，15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份，7 份和 5 份，随机地抽取一个地区的报名表，从中先抽 2 份。求 （1）先抽到的一份是女生表的概率 p（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q例 24. 设将 C,C,E,E,I,N,S 等 7 个字母随意地排成一行，那么恰好排成英文
9、单词SCIENCE 的概率为?例 25 从 0，1，2，.9，等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： 。或三 个 数 字 中 不 含，和三 个 数 字 中 不 含 50502AA例 26 随机地向半圆 （a 为正整数）内掷一点，点落在半圆内任何2xy区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与 X 轴的夹角小于 的4概率为多少？例 27 实习生用同一台机器接连独立的制造了 3 个同种零件，第 个零件是不合格品的i概率 以 X 表示 3 个零件中合格品的个数，则 PX=2=?1(,2)iPi5例 28 随机变量 X 的分布函数 : 则 X 的分布律为3 ,18.0 ,4x
10、XpxF例 29 已知随机变量 X 的概率密度函数 则 X 的分布函数 F(x)?(),2)fxe例 30 设 与 分别为随机变量 与 的分布函数。设1()F212是某一随机变量的分布函数。在下列给定的各组数值12()Fxabx中应取（ ）（A） （B）3,52,3ab（C） （D）1,2ab1,例 31 设 和 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为1X，分布函数分别为 , 则 （ ）12(),fx12(),Fx（A） 必为某一随机变量的概率密度()fx（B） 必为某一随机变量的概率密度f21（C） 必为某一随机变量的分布函数()Fx（D） 必为某一随机变量的分布函数21例
11、 32 设随机变量 X 的概率密度为 ，若 k 使 , 则 k1,032(),69xf其 它 23pX的取值范围是例 33 随机变量 X 的密度函数为 ，且()x6， 是 X 的分布函数。则对于任意实数 a，有（ ）()x()Fx（A） （B）01addxF021（C） （D）()()(a例 34 假设随机变量 X 的绝对值不大于 1, 在事件 出1,84pX1X现的条件下，X 在( -1, 1 ) 内任一子区间取值的条件概率与该子区间长度成正比。试求：（1）X 的分布函数 (FxpXx（2）X 取负值的概率 p 例 35 若随机变量 在 上服从均匀分布，则方程 有实根的概率为(1,6) 21
12、0x_例 36在区间 中随机地取两数，则事件“两数之和小于 ”的概率为_(0,) 65例 37 设随机变量 X 的概率密度为 以 Y 表示 X 的三次重复观察中2,01()xf其 它事件 出现的次数,则 PY=2=_12例 38 假设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.7 可以直接出厂，以概率 0.3 须进一步调试。经调试后以概率 0.8 可以出厂，以概率 0.2 定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了 台仪器（假定每台仪器的生产过程相互独立） 。(2)n求：（1）全部能出厂的概率 （2）其中恰好有 2 件不能出厂的概率（3）其中至少有 2 件不能出厂的概率 例 39 设方程 中 B, C 分别是
13、连掷 2 次 1 枚骰子先后出现的点数。求此方20xB程有实根的概率和有重根的概率。例 40 设随机变量 X 服从正态分布 。且二次方程 无(,)0N240yX7实根的概率为 ，则 _12例 41 设随机变量 X 服从均值为 10，均方差为 0.02 的正态分布。已知。则 X 落在区间 内的概2(),(.5)0938uxed (9.5,10)率为_例 42 若随机变量服从均值为 2，方差为 的正态分布，且 ,224.3p则 _0pX例 43 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩 72 分，96 分以上的占考生总数的 2.3%。试求考生的外语成绩在 60 分到
14、 84 分之间的概率。附表X 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0()x0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999例 44 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红、绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立。且红绿两种信号显示的时间相等。以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数。求 X 的概率分布。例 45 设随机变量服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量 在（0，4）内概率2Y密度 ?()Yfy例 46 设随机变量 X 的概率密度为 求 的概率密度 。()0xxefXe()Yfy例 47 设随机变量 X 的
15、概率密度函数为 ，求随机变量 21()Xfx31X的 。()Yfy例 48 设 X 和 Y 为两个随机变量。且 8，则30,7PXY407pXPY=_max(,)例 49 设相互独立的两个随机变量 X,Y,具有同一分布律，且 X 的分布律为:X 0 1P 2则 的分布律为 max,ZY例 50 设 相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 的分布律为 ，又设 ，写出二维随机变1,2,3Pi max,;in,XY量（X,Y）的分布律。例 51 设两个随机变量 X 与 Y 相互独立且同分布 11,2P.则112P（A） （ B） XY1PXY（C） （ D） 104P4例 52 上 服 从 均
16、匀 分 布 ，在 区 间设 随 机 变 量 0,1X随机变量的 条 件 下 ，在 10xX。概 率的 概 率 密 度 ；的 联 合 概 率 密 度 ；和 上 服 从 均 匀 分 布 ， 求在 区 间 1I,YXPY例 53 已知随机变量 X 和 Y 的联合概率密9度为 求 X 和 Y 的联合分布函数 F(x,y) 010,4, yxyx例 54 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y ）联合分布律，及关于 X 和 Y 的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中空白处XY 1y23y.iiPXx1x(1) 8(2)2(3).jjPYy16(4) 1带 的数为原题所给
17、。例 55 假设随机变量 相互独立,且同分布。1234,X。试求行列式 的概率分布0.6,0.,1,i iPXPi1234X例 56 设二维随机变量（X， Y）的概率密度为(2),0(,),xyefxy 其 它求随机变量 ZX2Y 的分布函数。例 57 设随机变量 X 与 Y 相互独立，其概率密度函数分别为 1,()0Xxf其 它求 Z2X Y 的概率密度函数。,0()yYef例 58 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N（0，1）和 N（1，1） ， 则（ ）（A） （B）102PX2PXY（C） Y（D） 110例 59 设 是两个相互独立且均服从正态分布 的随机变量
18、。则随机变量,21(0,)N的数学期望 ? E?D例 60 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量 3X2Y 的方差为?例 61 已知 即 则 Z3X2 的数学期望2X,10 ,!2kekPEZ_例 62 已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为 则 X 的数学期望为：21()xfe_ X 的方差为_例 63 设二维随机变量（X,Y）在区域 D：0x1, 内服从均匀分布。求关于 X 的y边缘概率密度函数及随机变量 Z2X 1 的方差。例 64 设随机变量 X 服从参数为 _DXP的 指 数 分 布 ， 则例 65 某流水生产线上每个产品不合格的概率为 ，各产品合格与否相互独(01)p立。当出现一个不合格品时，即停机检修。设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为 X。求 X 的数学期望 EX 和方差 DX。例 66 已知 23 ,10,4N,1322 YXZ Yxy(1) 求 EZ，DZ; (2) ; (3) X 与 Y 是否独立？为什么？Z例 67 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面朝上和反面朝上的次数。则 X和 Y 的相关系数等于 ( )
