1、2003CMCMSARS 传播的数学模型及对经济的影响指导老师：覃思义李彦麟 李小华 刘 纽SARS 传播的数学模型及对经济的影响摘要本文针对 SARS 的传播以及对经济的影响分别建立了数学模型。首先，对附件 1 提供的早期模型，认为“传染概率”的说法欠妥，传染期限 L 的确定缺乏医学上的支持，使模型的说服力降低。模型中借鉴广东香港的参数来预测北京的疫情走势，不失为一种方法，但在不同地区因政策，地域的不同，病毒的传播和控制呈现不同的特点，使不同城市之间的可比性降低。故借鉴法存在一定的适用范围，且不能对首发城市进行预测。对于第二问，在分析常用传染病模型的局限性后，文中把患者所处的状态明确划分为潜
2、伏阶段、发病阶段和隔离阶段，根据各阶段的转化关系建立了第一个数学模型。考虑到发病和被隔离等事件发生的随机性，本文在原有模型的基础上适当改进，建立了随机模拟模型。通过对 5 月 10 日以前数据的拟合，并经过 500 次模拟，对北京的疫情进行了预测：7 月上旬北京将基本解除疫情，累计病例约 2800 多人。预测结果与实际情况符合得很好。另外，改变有关参数，发现提前 5 天采取严格的隔离措施，将使疫情解除的时间提前约 10 天，累计人数降至 1958 人；若延迟 5 天采取措施，疫情将推迟 11 天，累计人数达 4487 人。根据这些预测，文中对卫生部门采取控制措施提出了相关建议。对第三个问题，本
3、文研究 SARS 对入境旅游人数的影响，建立了数学模型。通过数据拟合的方法确定日增长病例数对旅游人数的影响，预测 912 月份入境旅游人数分别为 24.02，36.06，33.04，25.85 万人。与往年同期相比，9 月降低了 23.5 个百分点，10 月以后影响逐步减小，经济进入恢复时期。对于第四个问题，给报刊写了一篇通俗短文，说明了建立传染病数学模型的重要性。最后在模型的评价中，对该模型优于原附件 1 模型的方面作了说明，特别说明了建立一个真正能预测和为预防、控制提供可靠、足够的信息的模型需要满足的条件和困难之处。1一、 问题的提出2002 年至 2003 年，SARS（严重急性呼吸道综
4、合症,俗称非典型肺炎）悄然无息地靠近我们的生活，在潜伏一段时间后忽然爆发，在全球掀起了轩然大波。作为重灾区的国家之一，我国的经济发展和人民生活受到了很大的影响。我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。对此，要求对 SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：1、对附件 1 所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。2、对 SARS 的传播建立一个自己的模型，并说明：(1) 为什么优于附件 1 中的模型；(2) 怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，以及这样做的困难之处。(3) 对于卫生部
5、门所采取的措施做出评论，如：提前或延后 5 天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。（附件 2 提供的数据供参考。）3、收集 SARS 对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。（附件 3 提供的数据供参考。）4、给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。二、 对早期模型的评价附件 1 的模型主要采用“数据拟合”和“借鉴参数”的方法对北京疫情走势进行预测。在数据拟合方面，该模型中有两个疑点：1、感染期限 L 的确定。由于被严格隔离、治愈、死亡等原因，感染者在某一时段后不再具有对易感人群的传染力，故对病毒的传染加上感染期限是合理的。但在对该参数的确定上
6、，作者为了较好地拟合各阶段的数据 ,通过人为调试来确定 L 的取值，缺乏医学上的支持，使模型的说服力减弱，合理性和可靠性大大降低。2、文中认为“K 代表某种环境下一个人传染他人的平均概率 ”。但从模型的公式中可以看出，参数 K 的实际意义是一个病人平均每天传染其他人的个数。两者之间有实质的区别，文中的说法显然不妥。从预测思想来看，该模型是借鉴先发地区广东、香港的有关参数对北京的疫情进行预测的。由于广东、香港的疫情和控制都在北京之前，已经过了高峰期，到 5 月 8 日为止每日新增病例已降至 10 来例，基本处于后期控制阶段。而当时北京的疫情刚过了高峰期，正处于社会剧烈调整时期，数据较为凌乱，略有
7、下降趋势，但不明显。可见在当时，采取这种借鉴是无奈之举。但是由于城市之间的政策，风俗习惯等不同，城市之间的可比性不强，借鉴存在很大的局限性。如在香港，由于对传播机制认识不足，中途又出现高度感染的特殊情况。另外使用借鉴法无法对首发城市进行预测。2三、 传播模型（一）问题的分析在 SARS 爆发的初期，由于潜伏期的存在，人们对病毒传播速度和危害程度的认识不够，未能及时识别这一传染病的存在。但当病患数不断增加，政府开始采取应对措施对其进行控制，同时社会舆论加大宣传力度，人们的警觉性提高，病毒的传播速度下降。因此，我们通常把传染病的传播模式近似分为两个阶段：第一、自由传播阶段（即控前阶段）：在采取切实
8、有效的控制措施之前的一段时间。第二、控后阶段：介入人为因素之后的一段时间。由于 SARS 的传播涉及的因素很多，如潜伏期、人群的迁入迁出，感病者的数量、易感者的数量、传染率和治愈率的大小等。而且在以上因素中，潜伏期的大小、传染率和治愈率的大小因人而易，具有一定的随机性。不可能一开始就把所有的因素全部考虑在内建立模型。对此，我们将作出相应的假设进行简化。分析附件 2 所给出的数据，发现 6 月 1 日至 15 日，已确症病例累计数为2522 人，其中夹杂 3 天累计数为 2523 人。但 6 月 16 日后累计数降至 2521 人，认为累计数的减少可能是误诊引起的。由于误诊的可能性很低，故在这里
9、忽略不计。（二）基本假设1、国家卫生部提供的北京疫情统计真实可信。 （误诊数仅为 1，可忽略不计）。2、由于非典的主要传播途径是近距离接触，通过受感染者咳嗽或打喷嚏时产生的飞沫传播，这里将所有传播途径都视为与病源的直接接触。3、不考虑出生与自然死亡的过程和人群的迁入迁出（或认为迁入和迁出基本平衡） ，认为疾病传播期间所考察地区的总人数为常数。4、根据国家卫生部资料可知处于潜伏期的 SARS 病人不具有传染性。5、目前尚不清楚康复患者是否具有免疫力，但据国家卫生部资料可知康复后的病患无一例复发。故假设康复患者退出传染系统。6、根据资料显示，SARS 病毒的潜伏期一般为 27 天，平均约为 5 天
10、。 （这一条件将在后期的模型中有所改动）（三）常用基本模型目前常用的传染病模型，通常将传染病流行范围内的人群分为三类： S 类：易感者，指未得病者，但与感病者接触后容易受到感染。I 类：感病者，指染上传染病的人。R 类：移出者，指因患病而被隔离，或因病愈而具有免疫力的人，他们即非感病者，也非易感者，实际上他们已经退出了传染病系统。并通过三类之间的互相转化关系建立微分方程组进行求解：3(1)NRIShdtIkISdt变量和符号说明：传染率：每个病人平均每天有效接触（足以使被解除者感染）的人k数。退出率：单位时间内治愈和死亡人数占感病者人数的百分数。hS(t)易感人群的总数。I(t)感病者总数。R
11、(t)退出者总数。N一个城市总人口数。观察附件二中给出的数据，我们发现截至 6 月 23 日，感病者累计为 2521人，远远小于北京城市的总人口数 150 万人，故认为感病者和退出者对易感人群的总数影响不大，易感者总人数 I 为一常数。原方程变形为：（2）hIdtRkN注意到退出者不是我们研究的范围，故方程组（2）实际上是一个常微分方程（3）IhkNIdt其中 ，k不难用分离变量法解出：（4）teIt0)(其中 I0 为初始值。根据以上分析我们可以看出，常微分方程的传染病模型只适用于病例数与总人口数具有可比性的情况。当病例数远小于总人口数时，常微分方程模型的实质与附件 1 的模型相同，感病人数
12、将随时间以指数增长。考虑这一特点，我们用计算机跟踪病毒的个体传播情况，建立了模拟模型。4（四）计算机模拟模型：在该模型中，我们将传染系统中的人分为五类：自由携带者（ ）身上携带病毒并均匀散布在人群中的患者，根据tf基本假设自由携带者在潜伏期内不具有传染力， 日增患者（ ）每天被医疗部门发现并加以隔离的感病者 tx被隔离者（ ）因曾与自由携带者接触而被怀疑携带 SARS 病毒的y人 有效接触者（ ）每日与自由携带者接触并感染上病毒的人 1tz无效接触者（ ）每日与自由携带者接触但未染上病毒的人 2并作出如下假设：1、由于传染性 SARS 最初（12 天）的症状通常为发热（ ） ，发热通o38常为
13、高热1。症状明显，易于辨认，故可认为自由携带者发病后当天或第二天就立即入院治疗，入院后不会再参与疾病的传播。2、根据实际情况，假设 SARS 病人被发现的三天内，有关部门将采取措施，将部分与病源有效接触者隔离，这部分人即使发病后也不会参与疾病的传播。3、与病源有效接触者必然发病。根据基本假设，潜伏期一般为 2 至 7 天，这里取为 5 天。 （这一假设在改进模型中有进一步的讨论。 ）另外，对模拟模型中出现的符号变量说明如下：有效接触率，表示一个自由携带者平均每天有效接触的人数。1k无效接触率，表示一个自由携带者平均每天无效接触的人数。2与自由携带者接触后（包括有效接触和无效接触）的人群中可以控
14、制的人数所占的百分比。模拟模型中个体传播情况如图 1 所示：自由携带者 15 天处于潜伏期，不具有传染能力；5 天后发病，发病后每天有效接触 人，2 天后（第 7 天）被1k隔离，在隔离前每天无效接触 人。与病源接触后的可控人群（占接触者总人2k数的 ）在 3 天后被视为疑似病人。疑似病人中的有效接触者在接触病源的第7 天被发现确认为日增患者，而有效接触者中其他人作为自由携带者留在人群中，继续这之前的个体传播。自由携带者日增患者有效接触者无效接触者自由携带者被隔离者日增患者被隔离者7 天后第 6，7 天7 天中3 天后3 天后4 天后5图 1：个体传播示意图用数学模型描述各个变量之间的关系如下
15、：（5）6)1(),210(6512211izifxjifkjizifi由于北京在 4 月 20 日才开始建立每日疫情报道制度，故认为政府采取严格的隔离措施开始于 4 月 20 日，以这一天为分界线，之前属于自由传播阶段。根据这一模型，用计算机模拟北京 5 月 10 日之前 SARS 的传播情况，并对5 月 10 日以后的传播情况进行预测。图 2：5 月 10 日以前数据拟合图6图 3：5 月 10 日以后的预测曲线通过图 2 两条曲线的拟合，得到控前的有效接触率（表征病毒的传染力）k=1.351,可控率（表征政府的控制力度） ；控后 k1=0.8， =0.7。根5.0据这两个参数作出 5 月
16、 10 日的预测曲线见图 3。 ，根据预测，北京将在第 97 天（6 月下旬）实现零增长，累计病例数 2448 人。经过分析，以上确定型的模拟模型存在以下两点问题：第一、SARS 病毒的潜伏期一般是 27 天，模型将潜伏期确定为 5 天，从感染到被发现的时间确定为 7 天，可以明显地看到以 7 天为传播周期的曲线变动，而在实际曲线中，虽然数据有上下波动的趋势，但周期性并不明显。第二、在采用隔离政策时，模型假定与病源接触的人群以固定的比例 受到控制，这种假设加大了人为主观因素的影响。基于以上两点，在拟合 5 月 10 日之前的数据时，得到的有效接触率与实际统计数据有所偏差。这种偏差降低了模型的可
17、信度。基于此，我们查找有关统计数据，为参数的确定寻求医学上的支持，并以随机模拟取代完全确定性的模拟，对原模型进行改进，建立了随机模拟模型。（五）改进后的随机模拟模型1、根据上文的分析，在原有模型的基础上作出如下改进假设：假设一：假设潜伏期的长短服从以 5 天为期望值，2 天为方差的正态分布，即认为自由携带者将以 68%的概率在 37 天内发病，以 95%的概率在 19 天内发病。假设二：假设与病源接触的人群每天均以一定的比例 被隔离。该比例服从以 为期望值，0.05 为方差的正态分布。12、参数的确定：控前 k15 月 23 日，美国科学杂志及其网站上发表了两篇有关7SARS 的流行病学论文及
18、一篇长篇评论2 ，研究确定 SARS 病患的基本传播率（即文中的有效接触率）为 3。控前 表示有效接触者中在发病前未能受到有效隔离的人所占的比例。由于在 SARS 传播前期，对疾病未能作良好的监控，而在潜伏期内病患无法得知自己的真实情况。所以在这一阶段不妨设 ，即几乎没有病患在潜伏90.期内被隔离。这与控前的实际情况是吻合的。控后 k1控后的有效接触率实际上受多种因素综合影响。比如人们不愿外出，减少了与病源的接触机会，更注意卫生等，这些因素均使有效接触率明显降低。英国和香港的一个研究小组的研究表明，传染率（即本文的有效接触率）控后仍有较长一段时间在 1 左右徘徊。为简化模型，我们取 k1=1。
19、控后 控后的隔离措施被细化为几个等级，措施的级别越高，控制力度越大，社会付出代价越高，难度越大3。经研究发现，采取隔离措施后短期内使未隔离的病患在总自由携带者中占 40%90%的比例3，即 在 0.4 在 0.9之间。由于各地的控制力度不同，对应的 不同，对北京 4 月 20 日以前的数据进行拟合后得到当 时，拟合较好。从中可以看出北京的措施是比较严厉4.0的。3、预测结果由于缺乏 4 月 20 日之前的数据，不妨设初始 6 天的病例数分别为1，2，3，4，5，6（之后将对初始值的合理性进行讨论） 。为了较好地拟合数据，采用 3 月 15 日作为病毒传播的开始时间，认为在病毒传染前期，北京主要
20、以输入型传播为主，传播机理不明，输入病例数量无法确定。采用以上数据和相关参数，通过计算机编程，产生正态分布的随机数，并对传染情况进行 500 次模拟，取其平均数得到预测结果见表 1。表 1：实际值与预测值的比较日期 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 5.18实际值 38 39 43 23 18 17 15 14预测值 43. 40 37 30 30 26 23 20日期 5.19 5.20 5.21 5.22 5.23 5.24 5.25 5.26实际值 3 7 0 12 9 25 9 5预测值 18 16 15 14 13 11 10 9日期 5.27 5.28 5.29 5.30 5.31 6.1 6.2 6.3实际值 8 2 3 3 1 1 0 0预测值 9 8 7 6 6 5 5 4日期 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11实际值 0 0 0 0 0 0 0 0预测值 4 3 3 3 2 2 2 28图 4：改进后的拟合曲线图 5：改进后的预测曲线
