1、双曲线专题复习讲义知识梳理1. 双曲线的定义（1）第一定义：当 时, P的轨迹为双曲线; 1212|PFaF当 时, 的轨迹不存在; 2|PFa当 211| 时, 的轨迹为以 21、 为端点的两条射线（2）双曲线的第二义平面内到定点 与定直线 l(定点 F不在定直线 l上)的距离之比是常数 e( 1)的点的轨迹为双曲线2. 双曲线的标准方程与几何性质标准方程 )0,(12bayx )0,(2baxy焦点 )0,c， ),0c焦距 c2范围 Ryx,| Rxy,|顶点 )(a )(a对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称离心率 (1,)ce准线 cx2cy2性质渐近线 aby xba与双曲线 1
2、2byax共渐近线的双曲线系方程为： )0(2byax与双曲线 2共轭的双曲线为21yb等轴双曲线 ayx的渐近线方程为 x ，离心率为 2e.； 重难点突破1.注意定义中“陷阱”问题 1：已知 12(5,0)(,F，一曲线上的动点 P到 21,F距离之差为 6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足 ，二要注意是一支还是两支12|aFA BCPO xy， P的轨迹是双曲线的右支.其方程为 )0(1692xyx12|610PF2.注意焦点的位置问题 2：双曲线的渐近线为 xy23，则离心率为 点拨：当焦点在 x轴上时， ab， 1e；当焦点在 y轴上时， 23ba， 1e热点考点题型探析考点
3、 1 双曲线的定义及标准方程题型 1：运用双曲线的定义例 1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的解析如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，则 A（1020，0） ，B（1020，0） ，C （0，10
4、20）设 P（x,y）为巨响为生点，由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上，PO 的方程为 y=x，因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB| |PA|=3404=1360由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 12byax上，依题意得 a=680, c=1020， 13405681222yxacb故 双 曲 线 方 程 为用 y=x 代入上式，得 ，|PB|PA|, 1068),568,(,50 POPy故即答：巨响发生在接报中心的西偏北 450距中心 m10处.【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”
5、【新题导练】1.设 P 为双曲线 12yx上的一点 F1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF 2|=3：2，则PF 1F2的面积为 （ ）A 36B12 C 312D24解析： :|:,13,2,121PFcba由 又 |aPF由、 解得 .4|,6|21,5| 1221 为2FP直角三角形， .246|2121 S故选 B。2.如图 2 所示， 为双曲线 19:yxC的左焦点，双曲线 上的点 iP与 3,7i关于 y轴对称，则 FFP654321的值是（ ）A9 B16 C18 D27 解析 615243P，选 C3. P是双曲线 )0,(12bayx左支上的一点，F 1、F
6、2分别是左、右焦点，且焦距为 2c，则 1F的内切圆的圆心的横坐标为（ ）（A） a（B） b（C） c（D） cba解析设 21P的内切圆的圆心的横坐标为 0x，由圆的切线性质知， axccF001 2|)(|题型 2 求双曲线的标准方程例 2 已知双曲线 C与双曲线 162x 4y=1有公共焦点，且过点（3 2，2）.求双曲线C的方程【解题思路】运用方程思想，列关于 cba,的方程组解析 解法一：设双曲线方程为 2x y=1.由题意易求 c=2 5.又双曲线过点（3 ，2） ， 2)3(a 24b=1.又 a2+b2=（2 5） 2， a2=12， b2=8.故所求双曲线的方程为 12x
7、8y=1.解法二：设双曲线方程为 k6 421，将点（3 2，2）代入得 k=4，所以双曲线方程为 2x 8y1.【名师指引】求双曲线的方程，关键是求 a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.【新题导练】4.已知双曲线的渐近线方程是 2xy，焦点在坐标轴上且焦距是 10，则此双曲线的方程为 ； 解析设双曲线方程为 24，当 0时，化为 12yx， 2015，当 时，化为 42， 4，综上，双曲线方程为2105xy或 120x5.以抛物线 y382的焦点 F为右焦点,且两条渐近线是 03yx的双曲线方程为_.解析 抛物线 x的焦点 为 ),3(，
8、设双曲线方程为 2，9)2(34，双曲线方程为 192yx6.已知点 ,0M， (3,)N， (1,0)B，动圆 C与直线 MN切于点 B，过 、 N与圆C相切的两直线相交于点 P，则 点的轨迹方程为A21()8yxxB21()8yxxC2（x 0） D2()0解析 2NBMP， P点的轨迹是以 M、 N为焦点，实轴长为 2的双曲线的右支，选 B考点 2 双曲线的几何性质题型 1 求离心率或离心率的范围例 3 已知双曲线21,(0,)xyabb的左，右焦点分别为 12,F，点 P 在双曲线的右支上，且 12|4|PF，则此双曲线的离心率 e 的最大值为 【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为
9、最值问题来解决解析(方法 1)由定义知 12|PF，又已知 12|4|P，解得183a， 23a，在 中，由余弦定理，得 2221 8917496cos ecPF，要求 的最大值，即求 21cosPF的最小值，当 21时，解得 53即 的最大值为 53(方法 2) acPFaPF21| 222 ，双曲线上存在一点 P 使 14，等价于 35,4e(方法 3)设 ),(yx，由焦半径公式得 axPFex21 ，214， )(aex， 35， ， ， e的最大值为 53【名师指引】 （1）解法 1 用余弦定理转化，解法 2 用定义转化，解法 3 用焦半径转化；（2）点 P 在变化过程中， |2PF
10、的范围变化值得探究；（3）运用不等式知识转化为 cba,的齐次式是关键【新题导练】7.已知双曲线21xymn的一条渐近线方程为 43yx，则该双曲线的离心率 e为 解析当 0,时， 169， 9252mne，当 0,n时， 916m，16252ne， e3或 548. 已知双曲线 )0,(2bayx的右顶点为 E，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为 A、 B 两点，若AEB=60，则该双曲线的离心率 e 是（ ）A 215 B 2 C 15或 2 D不存在解析设双曲线的左准线与 x 轴交于点 D,则 cabA， caE2， 2cab3， 2e题型 2 与渐近线有关的问题例 4若双曲
11、线 )0,(12bayx的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A. 2 B. 3 C. 5 D.2【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通 cba,的关系解析 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故 2， 5122ae,所以 e【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过 c,的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程【新题导练】9. 双曲线2149xy的渐近线方程是 ( )A. 3 B. 49yx C. 32yx D. 94yx解析选 C10.焦点为（0，6） ，且与双曲线 12yx有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）A 124yx B 412xC 124xy D
12、 124yx解析从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选 B基础巩固训练1. 以椭圆21694xy的右焦点为圆心，且与双曲线2196xy的渐近线相切的圆的方程是 （A） 209xy （B） 210xy （C） 1 （D） 9解析椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为 b，选 A 2.已知双曲线的两个焦点为 1(0,)F、 2(10,)， M是此双曲线上的一点，且满足120MF， 12|FM，则该双曲线的方程是 （ ）A 9xy B 9yx C2137xyD2173xy解析由 12|和 4021PF得 6|2PF，选 A3.两个正数 a、b 的等差中项是 ，一个等比中项是 5，且
13、,ba则双曲线12yx的离心率为( ) A 53 B 4 C 5 D 41解析 1,cba，选 D4.设 1e， 2分别为具有公共焦点 F与 2的椭圆和双曲线的离心率， P为两曲线的一个公共点，且满足 021P，则 1)(e的值为( C )A 2 B1 C2 D不确定解析 C. 设 aF|， mPF2|1， a|1，maPF|2， 24)()(c 212ec5.已知 F1，F 2分别是双曲线 )0,(2bayx的左、右焦点，过 F1且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A， B 两点，若ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）(A). ),( (B). )1,( (C). )3
14、,1( (D). )2,3(解析 02122 eeaccab ，选 B6.曲线 )6(60myx与曲线 )95(1952nynx的 （ ）A焦距相等 B焦点相同 C离心率相等 D以上都不对解析 方程 )6(61022myx的曲线为焦点在 x 轴的椭圆，方程)95(952nynx的曲线为焦点在 y 轴的双曲线，)5(6)10( m，故选 A综合提高训练7. 已知椭圆 1532nymx和双曲线 1322nymx有公共的焦点， （1）求双曲线的渐近线方程（2）直线 l过焦点且垂直于 x 轴，若直线 l与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为 4，求双曲线的方程解析（1）依题意，有 22353n，即 28
15、n，即双曲线方程为263xyn，故双曲线的渐近线方程是 2016xy，即 xy43， （2）设渐近线 x43与直线 cl:交于 A、B ，则 2|c，21cSOAB，解得 1即 2ba，又 43a， 193,62b双曲线的方程为 3962yx8.已知 21,F是双曲线 12ba的左，右焦点,点 yxP,是双曲线右支上的一个动点,且 1P的最小值为 8,双曲线的一条渐近线方程为 34. 求双曲线的方程;解析 时 取 等 号， 当 且 仅 当 axcex,8.1 acF的 最 小 值 为. 12by双 曲 线的一条渐进线方程为xy34ab，又 22b 由得 9,54,2xc所 以 所 求 双 曲
16、线 方 程 为 16y9.已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为 2,0，右顶点为 3,0.（）求双曲线 C的方程（）若直线 :2lykx与双曲线恒有两个不同的交点 A和 B且 2O（其中O为原点） ，求 k的取值范围解（1）设双曲线方程为21yab由已知得 3,c，再由 22，得 1b故双曲线 C的方程为21xy.（2）将 2ykx代入213xy得 2(3)690kxk由直线 l与双曲线交与不同的两点得 222063(1)6()0kk即 213k且 2. 设 ,(,)AABxy，则2269,13ABABxyxyk，由 2O得 2ABxy，而 ()()(1)()bxkkx2222967(1)31
17、3kk.于是27，即 290k解此不等式得 213.k 由+得 213故的取值范围为 3(,),1参考例题：已知双曲线 C： )0,(12bayx的两个焦点为 21,F，点 P 是双曲线 C 上的一点， 021PF，且 21PF（1）求双曲线的离心率 e；（2）过点 P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于 21,P两点，若 1274OP，120，求双曲线 C 的方程（1）设 rF，则 r21， 21FP， rF522121， 5221Pace（2）由（1）知 e，故 21eab，从而双曲线的渐近线方程为 xy2，依题意，可设 )2,(),(),1xPxyxP，由 472211O，得 491 由
18、 0221P，得 1230xy，解得 321xy点 ),(yx在双曲线 12bax上， 9)4(9)(2121bax，又 b2，上式化简得 18 由，得 a，从而得 2b故双曲线 C 的方程为 182yx双曲线专题练习一一、填空题1椭圆 与双曲线 的焦点相同，则 k= 。192kyx132ykx2双曲线 的渐近线为 两渐近线夹角为 。43已知 为椭圆的两个焦点， 为它的短轴的一个端点，若该椭圆的长轴长为 ，12F、 A 4则 面积的最大值为 A4过点（-6，3）且和双曲线 x2-2y2=2有相同的渐近线的双曲线方程为 。5过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的取值范围是 1342y6、若双曲线
19、的一个焦点是（0，3） ，则 k的值是 。88kx7. 已知直线 y=kx-1与双曲线 ,试列出实数2xk需满足的不等式组,使直线与双曲线交同支于两点， 。8点 P是双曲线 上一点，F 1、F 2是双曲线焦点，若F 1PF2=120o，342y则F 1PF2的面积 。9过点（，）的直线 L与椭圆 x22y 22 交于 、 两点，线段 的中点为，设直线 l的斜率为 k1（k 10） ，直线的斜率为 k2，则 k1k2的值为_.10若对任意 kR，直线 by)(与双曲线 12y总有公共点，则 b范围 。11若方程 x+k- =0只有一个解，则实数 k的取值范围是_。 21x12给出问题：F 1、F 2是双曲线 =1的焦点，点 P在双曲线上.若点 P到焦点 F1的206y距离等于 9，求点 P到焦点 F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为 8，由
