1、主讲教师：陈殿友 总课时： 128第六讲数列的极限第一章 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则 一、数列极限的定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 数列的极限数学语言描述 :一 、数列极限的定义引例 . 设有半径为 r 的圆 ,逼近圆面积 S .如图所示 , 可知当 n 无限增大时 , 无限逼近 S (刘徽割圆术 ) , 当 n N 时 ,用其内接正 n 边形的面积总有刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 定义 : 自变量取正整数的函数称为 数列 ,记作或 称为 通项 (一般项 ) .若数列 及常数 a 有下列关系 :当 n N 时 , 总有记作此时也称数列 收敛 , 否则称数列 发
2、散 .几何解释 : 即或则称该数列 的极限为 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如 ,趋势不定收敛发散机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 1. 已知 证明数列 的极限为 1.证 : 欲使 即 只要因此 , 取 则当 时 , 就有故机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 2. 已知 证明证 :欲使 只要 即取 则当 时 , 就有故故也 可取也可由N 与 有关 , 但不唯一 .不一定取最小的 N .说明 : 取机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 3. 设 证明等比数列证 :欲使 只要 即亦即因此 , 取 , 则当 n N 时 , 就有故的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、收敛数列的性质1. 收敛数列的极限唯一 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 收敛数列一定有界 .3. 收敛数列的保号性 .4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .三、极限存在准则由此性质可知 , 若 数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例如， 发散 !夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西审敛准则 .则原数列一定发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明 :
