1、第二章 导数与微分教学目的1. 理解导数的概念及几何意义，会求平面曲线的切线和法线，了解导数的物理意义，理解函数连续性与可导性之间的关系2. 掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反函数的导数3. 掌握复合函数的求导法则，熟练复合函数的求导方法4. 熟练初等函数的求导方法，了解高阶导数的概念，会求简单的 n 阶导数5. 掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，会求其一二阶导数6. 掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分作近似计算教学重点1. 导数的概念，导数的几何意义2. 导数的四则运算法则，反函数求导方法3. 复合函数的求导法则4. 高阶导数的求
2、法5. 隐函数求导6. 微分的计算教学难点1. 导数定义的理解，不同形式的掌握2. 反函数求导3. 复合函数的求导方法4. 高阶导数的归纳方法5. 隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求导方法6. 微分的定义，利用微分作近似计算教学内容第一节 导数的概念一、两个引例1变速直线运动的速度位置函数 ，求非匀速运动的动点在某一时刻 的速度sft0t平均速度 00ftvt时刻的瞬时速度0t 000limtft2切线问题圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线” 但是对于其它曲线，用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适例如，抛物线 ，在原2xy点处切线定义 设有曲线
3、 及 上的一点 （图 2-1） ，在点 外另取 上一点 ，CMCN作割线 当点 沿曲线 趋于点 时，如果割线 绕点 旋转而趋于极限MNNM位置 ,直线 就称为曲线 在点 处的切线这里极限位置的含义是：只要T弦长 趋于零， 也趋于零MNT割线 的斜率为，00tanfxfy其中 为割线 的倾角当点 沿曲线 趋于点 时， 如果当NCM0x时，上式的极限存在，设为 ,即0xk00limxfx存在，则此极限 是割线斜率的极限，也就是切线的斜率 k图- 图-二、导数的定义导数的定义定义 2.1 （ 处的导数） 设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自0xxfy0变量 在 处取得增量 （点 仍在该邻域内）时，
4、相应地函数 取得增量xx0 y；如果 与 之比当 时的极限存在，则称函数00ffyyx在点 处可导，并称这个极限为函数 在点 处的导数，记为x fy0，即0xy xffxyyx 000limli0也可记作 ， 或0f0xd0xf函数 在点 处可导有时也说成 在点 具有导数或导数存在xf f0x导数的定义式的等价形式常见的有：hxffxfh000lim和 000lixfxfx注意：函数在一点的导数的几何定义： 是曲线 在 点的切ffy0xf，线斜率；路程 对时间 的导数 是 时刻的速度；tSt0tS在抽象情况下， 表示 在 点变化的快慢 0xfxfy0定义求导练习（求导公式）例 1 求函数 （
5、为常数）的导数Cf解 ，0limlim00 hChxfxfh例 2 求函数 （ 为正整数）在 处的导数nf a解： 121lililinnnxaxaxaff a1n公式 0C1nnx更一般地 1x例如 ， 2 2x例 3 求函数 的导数xfsin解 00sinsilimlmhhfxfx 0 0in1 2li2cosilcos2h hhxx 公式 xcossinxsin例 4 求函数 （ ）的导数xaf 10，解 00limlimxhhfafx01lilnhxxa公式 ， xlxe例 已知 ，讨论在点 连续性与可导性12f， 1解 limli11xfxf，在 不连续，即 在 不可导（利用定义）
6、f左、右导数单侧导数根据函数 在点 处的导数的定义， 是一个极限，而极限存在的充分xf00xf必要条件是左、右极限都存在且相等，因此 存在即 在点 处可导的充分xf0必要条件是左、右极限及00limhfxfx00limhff都存在且相等这两个极限分别称为函数 在点 处的左导数和右导数，记作f0x及 ，即0xf0f， hxfffh000limhxfffh000lim于是，函数在点 处可导的充分必要条件是左导数 和右导数 都存在且0x 0xf0f相等定义 如果函数 在开区间 内可导，且 及 都存在，就说fba， afbf在闭区间 上可导xfba，三、可导与连续的关系设函数 在点 处可导，则它在 连
7、续，反之不一定xfy00x证明： 0lim()xf，其中 当 时为无穷小x得xfy由此可见，当 时， 这就是说，函数 在点 处是连续0yxfy的所以，如果函数 在点 处可导，则函数在该点必连续xf另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例 讨论 在点 连续性与可导性1sin0fxx解 00lim()lis()xxf f在 处连续又 不存在01lilisnxxaf在 处不可导()f第二节（1） 函数和差积商的求导法则和反函数求导法则一、函数和、差、积、商的求导法则定理 1 设函数 均在 可导，则它们的和、差、积、商（分母为零uxv、 x点除外）仍在 可导（1） （2） xvuxvxucw
8、vvw（3） xuxu2这里仅证（2）()v hxvvh0lim xvuhuuxuh 1li0 xvvh0lihxvuhxuxhhh 000 limlilimvu注： 在 可导，在 连续，()vxx0li()(hvx例 已知 ，求4cosn2fe,0f例 ，求 sin2yxy解 c例 ， se解 ，21cossec sectanosxyx x公式 tane ot，2tanscxxx2csot例 ，求32il3y解 321cosx二、反函数的导数定理 设函数 在点 有不等于零的导数 ，且其反函数()yfx()fx在相应点处连续，则 存在，且1()xfy1（或 ）1()ffx 1()()fxfy证
9、明 设 的自变量有改变量，相应有因变量的改变量由 由反函1y x数的一一对应，当 时，必有 且由 在相应点的连续性，当00x1()xfy，必有 ，所以0yx10001()limli()liyxxf yfx即若 存在且不为零，则 由该公式我们可以由直接函数的导数，求dxdx出其反函数的导数例 求 的导数xyarcsin解 设 为直接函数，则 是它的反函数函数 在开xxyarcsinyxsin区间 内单调、可导，且 因此，由公式 ，2，YI 0oiydx1在对应区间 内有 但1，xIyxcos1sinarci（因为当 时， ，所以根号前只22sincoyy 20取正号） 公式 ，21arcsix2
10、1arcosxx，2tn 2t， axallog1lnx第二节 复合函数的导法则一、复合函数求导例如 2sin2,si0,lnsecyxxyx定理（复合函数求导法则） 如果 在点 可导，而 在点xuufy可导，则复合函数 在点 可导，且其导数为uxxfydyfu证 由于 在点 可导，因此0limuyf存在，根据极限与无穷小的关系有，fyu当 时，规定 ，显然这时 0u00yfuf用 除上式两边x，xufy0于是 00limlixxuf根据函数在某点可导必在该点连续的性质知道，当 时， ，从而0xu可以推知lili00ux，/ /0mli()xxyuffx证毕推广到多个中间变量的情形 dvyd例 1 ，求 xysinldy解 xxdcotsini1例 2 ，求 32xyy解 32232312 141xxxd 例 3 ，求 xeycoslndy解 所给函数可分解为 ， ， ulnvcosxe因 ， ， ，故ud1vsixxxx eeexy tancosiin不写出中间变量，此例可这样写：二二、分段xxxxx eeeedxy tacsinsco1sln 函数和抽象函数求导例 求201xfey解 ，0x2(1)xye，0021limlixxxfe例 ,当 取何值时， 在 可导？21fabab()fx1解 11li()li()xxf2m()f
