1、二、 最大值与最小值问题一、 函数的极值及其求法 第五节函数的极值与 最大值最小值第 三 章 一、 函数的极值及其求法定义 :在其中当 时 ,(1) 则称 为 的 极大点 ,称 为函数的 极大值 ;(2) 则称 为 的 极小点 ,称 为函数的 极小值 .极大点与极小点统称为 极值点，统称为 极值 .极大值与极小值为极大点 ,不是极值点 .为极小点 ,注意 :2) 对常见函数 , 极值可能出现在 导数为 0 或不存在的点 .1) 函数的极值是函数的 局部性质 .定理 1 (极值第一判别法 )且在空心邻域内有导数 ,(1) “左 正 右 负 ” ,(2) “左 负 右 正 ” ,(自证 )点击图中
2、任意处动画播放 暂停例 1. 求函数 的极值 .解 :1) 求导数2) 求极值可疑点令 得 当 时3) 列表判别是极大点， 其极大值为是极小点， 其极小值为定理 2 (极值第二充分条件 )二阶导数 , 且则 在点 取极大值 ;则 在点 取极小值 .证 : (1)存在由第一充分条件知(2) 类似可证 .例 2. 求函数 的极值 . 解 : 1) 求导数2) 求驻点令 得驻点3) 判别因 故 为极小值 ;又 故需用第一判别法判别 .定理 3 (判别法的推广 )则 :数 , 且1) 当 为偶数 时 ,是极小点 ;是极大点 .2) 当 为奇数 时 ,为极值点 , 且不是极值点 .当 充分接近 时 , 上式左端正负号由右端第一项确定 ,故结论正确 .证 : 利用 在 点的泰勒公式 , 可得所以 不是极值点 .极值的判别法 ( 定理 1 定理 3 ) 都是充分的 . 说明 :当这些充分条件不满足时 , 不等于极值不存在 .例如 :为极大值 , 但不满足定理 1 定理 3 的条件 .1.极值定义 -极值的局部性理解3.极值的判别 :第一充分条件 :第二充分条件 :充分条件的推广 :极值的定义2.极值点与驻点的关系 :
