1、2.2 薛定谔绘景与海森堡绘景一、量子动力学的两种描述方法n 薛定谔绘景： i）态矢随时间变化（通过作用于态矢的时间演化算符描述）， ii）观测量算符与时间无关。n 海森堡绘景 : i)态矢与时间无关 , ii)观测量算符随时间变化n 海森堡绘景和薛定谔绘景是等价的。二、么正算符n 量子力学中么正算符有多种功用：n 1）一种表象的基矢与另一表象的基矢可由么正算符联系，态矢本身不变，但其展开系数则因表象而变；n 2）作用于态矢的空间平移和时间演化算符。在这种么正算符作用下，态矢改变，但态矢的内积不变 ：三、么正变换对态或算符作用的等价性n 由于n 可有两种等价方法： 1）态矢变（ ），算符不变；
2、 2）态矢不变，算符变n 例如对于无穷小平移算符 ，n 方法一： 的期待值 n 方法二： ，n 两者都得到相同的结果n 经典物理并无态矢的概念，但有平移、时间演化等。平移和时间演化等作用于物理量如坐标，角动量等可观测量而使其改变。因此，方法 2）似乎与经典力学的联系更密切。四、薛定谔绘景与海森堡绘景中的态矢和观测量 n 在 薛定谔绘景 中态矢随时间变化，这里 ，算符不变 。n 在 海森堡 绘景， n 但 n 在 时， ，n 在这两种绘景中，算符的期待值是相同的，五、海森堡运动方程 n 对 不是时间显函数的情形（适于大部分物理问题），（对 ）n 得 Heisenberg运动方程：它是根据 的定义
3、和 u的性质推导出来的。五、海森堡运动方程（续 ) n 经典物理中，对不是时间显函数的 ，有由此，根据 Dirac的量子化规则便得海森堡运动方程。但在海森堡运动方程中 可以无经典对应，例如自旋算符也满足 （但 不能写成 q 和 p的函数）n 即经典力学可由对应关系 推出，反之却不然六、量子力学与经典力学观察量的对应时间演化算符的薛定谔方程和海森堡运动方程的使用都需要有合适的哈密顿算符 H。n 对有经典对应的物理体系，我们假定 H与经典物理有相同的形式而将经典的 和 用量子力学的相应算符来代替。n 当对应规则牵涉不对易观测量时，则要求 H是厄米的。 例如，经典力学的乘积 xp之量子力学对应为 。
4、n 物理体系无经典对应时，需要猜想 H算符的形式。猜想形式的正确性以所用 H给出与实验观测结果相同来检验。n 在实际应用中经常需要计算 或 与 及 的函数的对易关系。对此可使用公式：n 这里 F及 G分别是可以用 和 级数展开的函数，这两式可通过级数展开及重复使用 而得。七、自由粒子的运动由经典哈密顿的形式：并将观测量 和 理解成 Heisenberg绘景的算符，1） 即对自由粒子，动量算符是运动常量，即 。n 一般而言，若 与 H对易，则 是运动常量。2）与匀速直线运动的经典轨迹方程相似。n 由于 不同时刻的坐标算符不对易根据测不准关系，表明粒子的位置会随时间而变得越来越不确定 (对应于波动
5、力学的 波包扩展 )八、 Ehrenfest定理n 考虑粒子在势场 中运动。n 是 x， y， z算符的函数n 由于 与 对易， 与自由粒子情形相同。n 即 ，与牛顿第二定律相仿（海森堡绘景）n 取期望值， （适用于薛定谔和海森堡绘景）n 由于 Ehrenfest定理里无 (要求空间和时间平移算符中相关常数相等 ),波包中心的运动与经典粒子受势场 作用的形式相同n 经典粒子运动轨迹反映的是量子体系波包中心的位置变化！九、基矢n 在薛定谔绘景中，基矢满足 。因 A与时间无关，故 ，基矢不随时间变化，这与态矢随时间变化是极不相同的。n 在海森堡绘景中，由 时 可推得基矢的本征方程为即基矢随时间变化为 。可见海森堡绘景的基矢与薛定谔绘景的态矢旋转方向相反，前者满足错号的薛定谔方程： 。n 注：基矢对应的本征值则由上可知不随时间变化，与么正等价观测量具有相同本征谱这点相一致。十、算符和态矢的展开n 算符的展开：与基矢随时间按 变化的情况一致n 态矢的展开：两绘景中态矢的展开系数是相同的n （薛定谔绘景）基矢 态矢n （海森堡绘景）基矢 态矢基矢与态矢点积对 i)基矢不变、态矢反时针旋转，或 ii)基矢顺时针旋转相同角度、态矢不变是相同的。n 注：原则上可以在海森堡绘景中坚持用不随时间变化的基矢，这时展开系数也将不随时间变化。只是这样的话，基矢便不再是 时的算符本征态了，理论上更复杂。
