1、185第 8 章 时域连续系统的复频域分析8.1学习要点1 微分方程的变换解描述 阶线性时不变连续系统的微分方程的一般形式为n(8-1)()(1)10()()nnmmaytytayttbffbff 式(8-1)中， 是因果激励， 为系统的 个初始状态。 ()ft (1)(0),n n全响应的 域表达式为s(8-2)12 (1)00 ()()()() mn jii iji n ni ii ibsFasysyYaa 零输入响应的 域表达式为s12 (1)0()()0()nii iix niisysyYa 零状态响应的 域表达式为s0()()mjjfniibsFYa分别对 和 进行 Laplace
2、反变换，可得零输入和零状态响应的时域表达式，即()xYsf()xyt-1L()xYs()fyt-1L()fYs2 系统函数系统函数定义为系统的零状态响应的象函数 与激励的象函数 之比，用()fYs()Fs186表示，即()Hs(8-3)()defYsBHFA系统函数 只与描述系统的微分方程系数 有关，即只与系统本身(结构、元件参数()s ,ijab等)有关，而与外界因素(激励、初始状态)无关。引入系统函数的概念后，系统零状态响应的象函数可写为(8-4)()()fYsHFs由于 ，故系统冲激响应 的 Laplace 变换L()1thtL()s即系统的冲激响应 与系统函数 是一 Laplace 变
3、换对，即()htHs(8-5)()hts因此系统函数既可以由零状态下的系统模型求得，也可以由系统冲激响应 取 Laplace 变()ht换求得。系统的阶跃响应 是输入 时的零状态响应，由于 ，故有()st()ftuL1()uts1()sHs一般，系统零状态响应的象函数为 ()()fYF3 电路的 s 域框图表 8-1 电路元件的 s 域模型电阻 电感 电容R()vti()itvL()vtiC基本关系 1()titivR0()1()()tLdiivi 01()()tCtidvit187R()VsIsL()I(0)iV()Is1C(0)vsV串联形式 I()()0)LsIi ()()CvsIsR(
4、)VsI()IsLi()V1()Is(0)CvVss域模型 并联形式 ()sIR0)1(LiIss()()(0)CIv4 系统的 s 域框图1) 基本运算部件的 域模型表 8-2 基本运算部件的 s 域模型名称 时域模型 域模型s数乘器(标量乘法器)a()ft()ft或()ft()fta()F()Fs或()s()加法器 112ft2()ft112Fs2()Fs积分器ft()tfxd()s(1)0fs(1)0fFs积分器（零状态）()ft0()tfxdgg()Fs1G()s2) 连续时间系统的 域模型s由于含初始状态的框图比较复杂，而通常关心的是系统的零状态响应，所以常采用零状态的 域框图。s(
5、1) 一阶系统的 域框图一阶系统的 域框图如图 8-1 所示。1881s0a()Fs()fY图 8-1 一阶系统的 域框图s(2) 二阶系统的 域框图s二阶系统的 域框图如图 8-2 所示。 1s0a()F()fYs1图 8-2 二阶系统的 域框图s(3) 阶系统的 域框图ns阶系统的 域框图如图 8-3 所示。 1s0a()F()fYs1n1图 8-3 阶系统的 域框图ns一般 阶系统的 域框图如图 8-4 所示，其中令 。ns 1m1s0a()Fs ()fYs1sn1 1s0b1nb 图 8-4 一般 阶系统的 域框图ns(4) 组合系统的 域框图s级(串) 联组合系统的 域框图级联 域框
6、图如图 8-5 所示。s189()Fs1H2()s()nHs Y图 8-5 系统的级联 域框图并联组合系统的 域框图并联 域框图如图 8-6 所示。s 1()s2H()ns()Fs()Ys图 8-6 系统的并联 域框图反馈系统的 域框图s反馈系统的 域框图如图 8-7 所示。()Fs ()Ys1()Hs2图 8-7 反馈系统方框图5 信号流图与梅森公式几条基本的信号流图化简规则列于表 8-3 中。表 8-3 信号流图的化简规则化简规则 原信号流图 等效信号流图支路串联 FY1H23XFY123H支路并联213H123结点消除1F1Y123X21F1Y13H2 2242自环消除 FY1H2Xt
7、Y1HtX2F梅森公式可表示如下：190(8-6)1kHG其中 为总传输值，H称为图行列式，定义为：(8-7),1iijijkjiLL式中：为第 个环路的传输值iL为所有环路的传输值之和i为所有相互不接触的两个环路的传输值的乘积之和,jij为所有相互不接触的三个环路的传输值的乘积之和,jkijL为第 个正向传输路径的传输值kG为与 不相接触的子图部分的 值k 6 系统函数与时域响应若对 求拉普拉斯反变换，则 的每个极点将对应一个时间函数。也就是说，()Hs()Hs冲激响应 的函数形式完全取决于 的极点；而幅度和相角将由极点和零点共同决定。ht因此， 完全由 的零、极点位置决定。()的极点在 平
8、面的位置有三种情况： 的左半开平面(不含虚轴) 、虚轴上和 的右()sss s半开平面。1) 若 的极点位于 平面的坐标原点，即 ，则 为 的形式，其对应的冲()H0ip()Hs1激响应的模式为阶跃函数。2) 若 的极点位于 平面的虚轴上，则 为 或 的形式，其对应()ss()s0220s的冲激响应的模式为等幅振荡。3) 若 的极点位于 平面的实轴上，即 ( 为实数) ，则 为 的形式，() pa()1a当 时，极点位于 平面的正实轴上，冲激响应的模式为单调增长指数函数；当0as时，极点位于 平面的负实轴上，冲激响应的模式为单调衰减指数函数。4) 若 的极点位于 平面的共轭复数处， 为 或 的
9、()Hs ()Hs02)a20()sa形式，若 ，共轭极点位于 平面的右半平面，相应的冲激响应的模式为增幅振荡；若0as，共轭极点位于 平面的左半平面，相应的冲激响应的模式为减幅振荡。图 8-8 画出了一阶极点与其所对应的响应函数。如 在 左半开平面有 重极点，则系统单位冲激响应 满足 ；如()sr ()htlim()0t191在虚轴上或 右半开平面有 重极点，则系统冲激响应 是增幅的。()Hssr()ht图 8-9 画出了的部分二重极点与其所对应的响应函数。最后还要强调指出的是， 的零点分布可影响冲激响应 的幅度和相位，但不影()Hs响系统的冲激响应的模式。0 2 4 6 8 10 12 1
10、40.20.40.60.811.21.41.61.820 2 4 6 8 10 12 140.10.20.30.40.50.60.70.80.910 2 4 6 8 10 12 140.10.20.30.40.50.60.70.80.910 2 4 6 8 1012141020304050600 2 4 6 8 10 12 14123456789x 1010 2 4 6 8 10 12 14-0.4-0.200.20.40.60.810 2 4 6 8 10 12 14-4-30-20-10010200 2 4 6 8 10 12 14-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60
11、.81 jO图 8-8 一阶极点与所对应的响应192jO0 2 4 6 8 10 12 1424681012140 2 4 6 8 10 12 140.10.20.30.40.50.60.70.8,20p3,.55,62p7,82pj0 2 4 6 8 10 12 14-15-10-5051015图 8-9 重极点与其所对应的响应7 系统函数与频域响应由系统的零、极点分布不但可以确定系统时域响应的模式，也可以定性了解系统的频域特性，即可由系统函数 大致地描绘出系统的频响特性曲()Hs线 ， 。()Hj(8-8)112()()()()() mjjnniizjzjjzjKKppp对于任意零点 和极
12、点 ，相应的复数因子都可以表示为零点与极点矢量，如图 8-10jzi所示。193jO1ABpzReIm图 8-10 和 矢量1jz1jpjjBeijiA其中， 分别是零、极点矢量的模； 分别是零、极点矢量与正实轴的夹角。则,jiBA,ji(8-9)12121( )12()1 ()() mnmnjijjj jniBHjKeAHe 式(8-9)中(8-10)1()mjjniBjKA(8-11)1()mnjij由图 8-10 可见，随着 变化， 长短会变化； 也会变化。当 从 ，可由,jiB,ji 0矢量图解法得到相应的 ， 曲线。()H()8 系统的稳定性稳定性是系统自身的固有特性，它取决于系统本
13、身的结构和参数，而与激励无关。一个连续系统，如果对任意有界输入产生的零状态响应也是有界的。则称该系统是有界输入有界输出意义下(BIBO)的稳定系统。即对有限正实数 和 ，若所有激励满足fMy，并且系统零状态响应满足 ，则系统是稳定系统。()fftM()fyt可以证明，线性连续系统是稳定系统的充分必要条件是系统的冲激响应 绝对可积。()ht设 为有限正实数，系统稳定的充分必要条件可表示为194(8-12)()htdM如前所述，若 的极点全部在 左半平面，则 是按指数规律衰减的因果函数，()Hss()ht是绝对可积的，所以 对应的系统也是稳定系统，其逆也成立。因此有如下结论：()ht一个因果连续系
14、统，若系统函数 的极点全部在 左半平面，则该系统是稳定系统。()s9 连续系统的稳定性准则设 阶线性连续系统的系统函数为 n()BsHA式中(8-13)1210()nnnAsasasa的极点就是 的根。若 的根全部在 左半平面，则 称为霍尔维()Hs0()0()As兹多项式。为霍尔维兹多项式的必要条件是： 的各项系数 都不等于零，并且 全为Asi ia正实数或全为负实数。若 全为负实数，可把负号归于 的分子 ，因而该条件又ia()Hs()Bs可表示为 。显然，若 为霍尔维兹多项式，则系统是稳定系统。0ia()s罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯一霍尔维兹准则(R-H 准则)。罗斯 -霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯-霍尔维兹准则)。罗斯阵列是由 的系数 构成的表，该表的具体组成如下：)Asia行 第一列1 n2n4na 2 1a35 3 ncncnc 4 1d35d n若 为偶数，则第二行最后一列元素用零补上。罗斯阵列共有 行，第三行及以后各行1n的元素按以下规则计算：， ， (8-14)2113nnac415nnac
