1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（福建理科）数 学（理工农医类）第卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)若复数(a 2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1(2)设集合 A=x| ,B=x|0x 3, 那么“m A”是“m B”的1 0A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(3)设a n是公比为正数的等比数列，若 a1=7,a5=16,则数列a n前 7 项的和为A.63 B.64
2、 C.127 D.128(4)函数 f(x)=x3+sinx+1(x R),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为A.3 B.0 C.-1 D.-2(5)某一批花生种子，如果每 1 粒发芽的概率为 ,那么播下 4 粒种子恰有 25粒发芽的概率是A. B. C. D. 16259625192656(6)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=2, AA1=1, 则 BC1 与平面BB1D1D 所成角的正弦值为A. B. C. D. 635215105(7)某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为A.
3、14 B.24 C.28 D.48(8)若实数 x、y 满足 x-y+10，则 的取值范围是yxx0A. (0,1) B. (0,1) C. (1,+) D. 1, +(9)函数 f(x)=cosx(x)(x R)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数 y= -f(x) 的图象，则 m 的值可以为A. B. C. D. 22(10)在ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 若(a 2+c2-b2)tanB= ,则角 B3ac的值为A. B. C. 或 D. 或63652(11)双曲线 （a0,b0）的两个焦点为 F1、F 2,若 P 为其上一点，且12byx|PF1|
4、=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3) B. C.(3,+ ) D.,33,(12)已知函数 y=f(x), y=g(x)的导函数的图象如下图，那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是第卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置.（13）若(x-2) 5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 a1+a2+a3+a4+a5=_.(用数字作答)x=1+cos(14)若直线 3x+4y+m=0 与圆 y=-2+sin （ 为参数）没有公共点，则实数 m 的取值范围是 .（15）若三棱锥的
5、三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 .3（16）设 P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a、bP，都有 a+b、a-b， ab、P（除数 b0） ，则称 P 是一个数域.例如有理数集 Q 是数域；数集ab也是数域.有下列命题：2,FaQ整数集是数域； 若有理数集 ，则数集 M 必为数域；数域必为无限集； 存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17） （本小题满分 12 分）已知向量 m=(sinA,cosA),n= ，mn1，且 A 为锐角
6、.(3,)（）求角 A 的大小；（）求函数 的值域.(cos24sin()fxxR（18） （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，则面 PAD底面 ABCD，侧棱 PA=PD ，底面2ABCD 为直角梯形，其中 BCAD , ABAD, AD=2 AB=2BC=2, O 为 AD 中点.（）求证：PO平面 ABCD；（）求异面直线 PB 与 CD 所成角的大小；（）线段 AD 上是否存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为 ？若存在，求出32的值；若不存在，请说明理由.AQD（19） （本小题满分 12 分）已知函数 .321()fx（）设a n是正数组成的数列，前 n
7、项和为 Sn，其中 a1=3.若点(nN*) 在函数 y=f( x)的图象上，求证：点（ n, Sn）也在21(,)nay=f(x )的图象上；（）求函数 f(x)在区间（a-1, a）内的极值.（20） （本小题满分 12 分）某项考试按科目 A、科目 B 依次进行，只有当科目 A 成绩合格时，才可继续参加科目 B 的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试，科目 A 每次考试成绩合格的概率均为 ，科目 B 每次23考试成绩合格的概率均为 。假设各次考试成绩合格与否均互不影响。12（）求他不需要补考就可获得证书的概率；（）在这项考试过程中，假
8、设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 ，求 的数学期望 E .（21） （本小题满分 12 分）如图、椭圆 （ab0）的一个焦点是 F（1，0） ，O 为坐标原点.21xyab（）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点。若直线 l 绕点 F 任意转动，恒有,求 a 的取值范围.222OABp（22） （本小题满分 14 分）已知函数 f(x)=ln(1+x)-x（）求 f(x)的单调区间；（）记 f(x)在区间 （nN* ）上的最小值为 bx 令 an=ln(1+n)-bx.0,（）如果对一切 n，不等式 恒
9、成立，求实数 c 的取值范围；22nncap（）求证： 1313212441.nnaag数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题 5 分，满分 60 分.（1）B （2）A （3）C （4）B （5）B （6）D（7）A （8）C （9）A （10）D （11）B （12）D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分，满分 16 分.（13）31 （14） （15）9 （16）(,0)(1,)三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三
10、角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分 12 分.解：（）由题意得 3sinco1,mAg2sin()1,i().662A由 A 为锐角得 ,3（）由（）知 cos所以 2 213()2in1siin(si).fxxxx因为 xR，所以 ，因此，当 时，f(x)有最大值 .s,1当 sinx= -1 时，f(x )有最小值-3，所以所求函数 f(x)的值域是 .3,2（18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分 12 分.解法一：（）证明：在PAD 中 PA=PD, O 为 AD 中点
11、，所以 POAD ,又侧面 PAD底面 ABCD, 平面 平面 ABCD=AD, 平面 PAD，PADPO所以 PO平面 ABCD.（）连结 BO，在直角梯形 ABCD 中、BCAD，AD =2AB=2BC,有 ODBC 且 OD=BC, 所以四边形 OBCD 是平行四边形，所以 OBDC.由（）知，POOB,PBO 为锐角，所以PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角.因为 AD=2AB=2BC=2, 在 RtAOB 中，AB=1,AO=1,所以 OB ，2在 Rt POA 中，因为 AP ，AO 1，所以 OP1，2在 Rt PBO 中，tan PBO 22,arctn.POPBOB所
12、以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 .arctn2（）假设存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为 .3设 QDx ，则 ，由（）得 CD=OB= ，12DCSx2在 Rt POC 中， 2,PO所以 PC=CD=DP, SPCD = ,3)(43由 Vp-DQC=VQ-PCD,得 ，解得 x= ，所以存在点 Q 满足题意，此2312x 2时 .13AQD解法二：()同解法一.()以 O 为坐标原点， 的方向分别为 x 轴、CDOP、 、ury 轴、 z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz,依题意，易得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),
13、P(0,0,1),所以 101CP （ ， ， ） ， （ ， ， ） .ururcos0,所以-m 2a2b2+b2-a2b2+a2 a2 -a2b2+b2 对 m R 恒成立.当 m R 时，a 2b2m2 最小值为 0，所以 a2- a2b2+b20,b0,所以 a0,解得 a 或 a ,15152综合（i）(ii)， a 的取值范围为（ ，+ ）.解法二：（）同解法一，（）解：（i）当直线 l 垂直于 x 轴时，x=1 代入 .221(1),Aybaa因为恒有|OA| 2+|OB|21，即 1,21a解得 a 或 a .1515（ii）当直线 l 不垂直于 x 轴时，设 A（x 1，
14、y1）, B（x 2， y2）.设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)代入2ab得(b 2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,故 x1+x2=2222,.因为恒有|OA| 2+|OB|20 时，不合题意；当 a2- a2 b2+b2=0 时，a= ;15当 a2- a2 b2+b20,解得 a2 或 a2 （舍去） ，a ，因此 a .351515综合（i） （ii） ，a 的取值范围为（ ，+ ）.2（22）本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分 14 分.解法一：（I）因为 f(x)=ln(1+x)-x，所以函数定义域为（-1,+ ）,且 f (x)= -1= .1x
