1、三角问题的题型与方法50第 1316 课时 课题：三角问题的题型与方法一复习目标：1熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等2熟悉三角变换常用的方法化弦法，降幂法，角的变换法等并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明3掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题4熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质5熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、6理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化二考试要求：1理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行
2、弧度与角度的换算。2掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。3掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。4能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。5了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的简图，理解 A、 的物理意义。6会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsin x, arcos x,arctan x 表示。7掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜
3、三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题。三教学过程：（）基础知识详析（一）三角变换公式的使用特点1同角三角函数关系式(1)理解公式中“同角”的含义(2)明确公式成立的条件。例如，tan +1=sec ，当且仅当 k22(3)掌握公式的变形特别需要指出的是 sin=tancos，cos=cotsin它使得“弦” 可以用“ 切”来表示(4)使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割” 用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法(5)几个常用关系式sin+cos，sin-cos，sincos ；(三式之间可以互相表示)同理可以由 sin-cos 或 sincos 推出其余两式三角问题的题
4、型与方法51 当 时，有 21sinsi0,2xsintax2诱导公式(1)诱导公式中的角是使公式成立的任意角(2)正确使用诱导公式的关键是公式中符号的确定(3)sin(k+)=(-1)ksin；cos(k+)=(-1) kcos(kZ)熟记关系式 ； sincoscos44xxcossin4xx3两角和与差的三角函数(1)公式不但要会正用，还要会逆用 (2)公式的变形应用要熟悉熟记：tan+tan=tan(+)(1-tantan)，它体现了两个角正切的和与积的关系(3)角的变换要能灵活应用，如 =(+)-，=-(-)，2=(+)+(-)等4倍角公式，半角公式(2)使用二倍角的正弦、余弦公式时
5、，公式的选择要准确如已知 sin，cos，tan 求 cos2 时，应分别选择 cos2=1(3)余弦的二倍角公式的变形升幂公式、降幂公式必须熟练掌握要明确，降幂法是三角变换中非常重要的变形方法对 sin3，cos3 的公式应记住(4)使用正弦、余弦的半角公式时，要注意公式中符号的确定方法正在使用无理表达式时，须要确定符号；在使用两个有理表达式时，无须确定符号，这是与选用无理表达式最大的区别，因此在化简、证明题中，5和差化积、积化和差公式，这两组公式现在不要求记忆，但要会使用(1)要明确，这两组公式是解决正、余弦的加、减、乘的运算关系式三角问题的题型与方法52(3)对下列关系式要熟记：6三角变
6、换：三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决7三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点(1)角的变换因为在ABC 中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC ；tan(A+B)=-tanC(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理r 为三角形内切圆半径，p
7、 为周长之半在非直角ABC 中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC(4)在ABC 中，熟记并会证明：A， B，C 成等差数列的充分必要条件是 B=60ABC 是正三角形的充分必要条件是A，B ， C 成等差数列且 a，b，c 成等比数列8三角形的面积公式：（1） aha bhb chc（h a、h b、h c 分别表示 a、b、c 上的高） 212（2） absinC bcsinA acsinB1（3） )sin(2B)sin(2)sin(2AB（4）2R 2sinAsinBsinC （R 为外接圆半径）（5） abc三角问题的题型与方法53（6） ； )()(csbas)
8、(21cba（7）rs9直角三角形中各元素间的关系：如图，在ABC 中，C90，ABc，AC b，BCa（1）三边之间的关系：a 2b 2c 2 （勾股定理）（2）锐角之间的关系：AB90 ；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinAcosB ，cos AsinB ，cactgA ctgB ，ctgAtgB bab10斜三角形中各元素间的关系:如图 6-29，在ABC 中，A 、B、C 为其内角，a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边（1）三角形内角和：ABC （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. Rcba2sinisin（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：
9、三角形任何一边的平方等于其他两边平方 的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2b 2c 22bccosA，b2c 2a 22cacosB，c2a 2b 22abcos C（4）射影定理：abcosC ccosB，bacosCccosA，cacosBccosA11解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三
10、角形解斜三角形的主要依据是：设ABC 的三边为 a、b、c ，对应的三个角为 A、B、C （1）角与角关系：A+B+C = ，（2）边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab b（3）边与角关系：正弦定理 （R 为外接圆半径） CB2sinisin余弦定理 c2 = a2+b22bccosC，b 2 = a2+c22accosB，a 2 = b2+c22bccos A它们的变形形式有：a = 2R sinA， ， bAi aos（4）面积公式：bcacchbhSa sin21isn211解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如 A、B、C ） ，由 A+B+C
11、 = 求 C，由正弦定理求 a、b三角问题的题型与方法54（2）已知两边和夹角（如 a、b、c） ，应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C = ，求另一角（3）已知两边和其中一边的对角（如 a、b、A） ，应用正弦定理求 B，由 A+B+C = 求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种情况（4）已知三边 a、b、c，应余弦定理求 A、B，再由 A+B+C = ，求角 C（二）三角函数性质的分析1三角函数的定义域这两种表示法都需要掌握即角 x 不能取终边在 y 轴上的角函数 y=cotx 的定义域是 x 或(k ，k+)(k Z)，这两
12、种表示法都需要掌握即角 x 不能取终边在 x轴上的角(2)函数 y=secx、y=cscx 的定义域分别与 y=tanx、y=cotx 相同2三角函数的值域(1)由|sinx|1、|cosx|1 得函数 y=cscx、y=secx 的值域是|cscx|1、|secx|1(2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域常用的一些函数的值域要熟记y=tanx+cotx(-，-2 2，+)3三角函数的周期性(1)对周期函数的定义，要抓住两个要点：周期性是函数的整体性质，因此 f(x+T)=f(x)必须对定义域中任一
13、个 x 成立时，非零常数 T 才是 f(x)的周期周期是使函数值重复出现的自变量 x 的增加值因为 sin(2k+x)=sinx 对定义域中任一个 x 成立，所以 2k(kZ，k0)是 y=sinx 的周期，最小正周期是2同理 2k(kZ，k0)是 y=cosx 的周期，最小正周期是 2因为 tan(k+x)=tanx 对定义域中任一个 x 成立，所以 k(kZ，k0)是 y=tanx 的周期，最小正周期是同理 k(kZ，k0)是 y=cotx 的周期，最小正周期是 三角问题的题型与方法55(3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用函数的递增或递减区间周期性的出现，每一个三角函数，都有无数个
14、递增或递减区间，这些递增区间互不连接，递减区间也互不连接函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化因为三角函数是周期函数，所以画三角函数图象时，只须画一个周期的图象即可4三角函数的奇偶性，单调性研究函数的单调性，关键是求函数的单调区间5三角函数的图象(1)画三角函数的图象应先求函数的周期，然后用五点法画出函数一个周期的图象(2)函数 y=sinx，y=cosx，y=tanx ，y=cotx 图象的对称中心分别为Z)的直线（三）思想方法1.三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如 1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。（2）项的分拆与角的配凑。
15、如分拆项：sin 2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），= 等。2（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切） 。（5）引入辅助角。asin+bcos= sin(+ )，这里辅助角 所在象限由 a、b 的符号确定，2ba角的值由 tan = 确定。ab（6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成 tan 的有理式。22.证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法
16、、相消法、数学归纳法。3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4.解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。（四）注意事项对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：1三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能三角问题的题型与方法56低，分母尽可能
17、不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值2三角变换的一般思维与常用方法注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如也要注意题目中所给的各角之间的关系21)()( 注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等熟悉常数“1”的各种三角代换：等6sin24ta0cos2insecotansecosin12222 注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为 的代数式，把三角式转化为代数式但往往代ta数运算比较繁熟悉公式的各种变形及公式的范围，如sin = tan cos ， ， 等2cos12tanicos1利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降
18、幂处理，如 ，2sinco1， 等从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化2cosinsi1 2cosinsi1简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化3几个重要的三角变换：sin cos 可凑倍角公式； 1cos 可用升次公式；1sin 可化为 ，再用升次公式；2cos1（其中 ）这一公式应用广泛，熟练掌握insinbaba abtn4. 单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数 y = sin x、y = cos x、y = tan x 、y = cot x 的图象都是“ 平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关
19、问题5. 三角函数的图象的掌握体现在：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等） ；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图6.三角函数的奇偶性“函数 y = sin (x) （R）不可能是偶函数”是否正确分析：当 时， ，这个函数显然是偶函数因此，这个判断是错误2xxycos2sin的我们容易得到如下结论： 函数 y = sin (x)是奇函数 kZ 函数 y = sin (x)是偶函数 函数 y =cos (x)是奇函数 2 函数 y = cos (x)是偶函数 k7.三角函数的单调性“正切函数 f (x) = tan x， 是定义域上的增函数”，是
20、否正确kZ分析：我们按照函数单调性的定义来检验一下：任取 ， ，显然 x1x 2，但 f (x1 )0f (x2 )，与增函数的定义相违背，因此201， ，这种说法是不正确的三角问题的题型与方法57观察图象可知：在每一个区间 上，f (x ) = tan x 都是增函数，但不能说2k， Zkf (x ) = tan x 在其定义域上是增函数（）范例分析例 1、已知 ，求（1） ；（2） 的值.2tansinco22cos.sini解：（1） ；31tacsisico (2) 2222 cosinoini.3411cosi2说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到） ，进行弦、
21、切互化，就会使解题过程简化。例 2、已知函数 f(x)=tan( sinx)3（1）求 f(x)的定义域和值域；（2）在（， ）中，求 f(x)的单调区间；（3）判定方程 f(x)=tan 在区间（ ，）上解的个数。2解：（1）1sinx1 sinx 。又函数 y=tanx 在 x=k+ (kZ)处无定义，332且 （ ， ） , （, ） ，2令 sinx= ，则 sinx=32解之得：x=k (kZ)f(x)的定义域是 A=x|xR，且 xk ，kZ3tanx 在（ ， ）内的值域为（，+） ，而当 xA 时，函数 y= sinx 的值域 B 满足2 13（ ， ） Bf(x)的值域是（，
22、+） 。（2）由 f(x)的定义域知， f(x)在0 ， 中的 x= 和 x= 处无定义。32设 t= sinx，则当 x0, )（ ， ）（ ， ）时，t0, ( , ，且以 t 为自变332)3量的函数 y=tant 在区间（0， ） ， （ ， 上分别单调递增。2三角问题的题型与方法58又 当 x0， 时，函数 t= sinx 单调递增，且 t0, 332)当 x（ ， 时，函数 t= sinx 单调递增，且 t（ , 2 3当 x ， 时，函数 t= sinx 单调递减，且 t（ , 3)32当 x（ ，）时，函数 t= sinx 单调递减，且 t（ 0， ）f(x)=tan( sin
23、x)在区间0， ,（ , 上分别是单调递增函数；在 上是单调133)2 ),32(,递减函数。又 f(x)是奇函数，所以区间（ ，0 ， ， 也是 f(x)的单调递增区间3)是 f(x)的递减区间。2,3(),2故在区间（， ）中,f(x) 的单调递增区间为： ， ， （ ， ） ， （ ， 单调递减2)32区间为 。),3(,(), （3）由 f(x)=tan 得：2tan( sinx)=tan( ) sinx=k+ （k Z）332sinx=k + (kZ)6又 1sinx1， 3232kk=0 或 k= 1当 k=0 时，从得方程 sinx= 6当 k=1 时，从得方程 sinx= +3
24、显然方程 sinx= ,sinx= + ，在（, ）上各有 2 个解，故 f(x)=tan 在区间366 32（ ， ）上共有 4 个解。说明：本题是正弦函数与正切函数的复合。 （1）求 f(x)的定义域和值域，应当先搞清楚 y= sinx 的值域与 y=tanx 的定义域的交集；（2）求 f(x)的单调区间，必须先搞清 f(x)的基本性质。如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。例 3 、 已知函数 的定义域为 ，值域为 5，1 ，求 baxaxaxf 2cosin32cos 20，常数 a、b 的值解： ，f i三角问题的题型与方法59baxa23cos2 ， ， 0x1 32cos1x当 a
25、 0 时，b f ( x ) 3a + b， 解得 .513， .52，当 a 0 时，3a + b f ( x ) b 解得 .1， .1a，故 a、b 的值为 或 522b说明：三角函数作为函数，其定义域和值域也是它的要素，要待定表达式中的常数值，需注意常数变化对值域的影响例 4、设 的周期 ，最大值 ，)0(cossin)(xbaxf T4)12(f（1）求 、 、 的值； （2） .的 值终 边 不 共 线 ， 求、 、的 两 根 ，为 方 程、 、若 tan)( f解：(1) ， ， ， 又 的最大值sia)(f2)x(f， ， 且 ，412ba12cosbsi4由 、 解出 a=2
26、 , b=3.(2) ， ，)3xsin(4co32xsin)(f 0)(f， )i(44， 或 ， 3k32 )32(k2即 ( 共线，故舍去 ) ， 或 ，、 6.3)6ktan)ta(Zk(说明：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。例 5、已知:sin 3+cos3=1，求 sin+cos; sin4+cos4;sin6+cos6 的值。解法一：令 sin+cos=t，则 sincos= 21tsin3+cos3=(sin+cos)(sin2sincos+cos 2)=t(1 )=1，得：21tt33t+2=0 (t1) 2(t+2)=0t 2 t=sin+cos=1，且 sincos= =0。21tsin4+cos4=(sin2+cos2)2 2sin2cos2=120=1sin6+cos6=(sin2+cos2)(sin4sin 2cos2+cos4)=1
