1、12017 学年第一学期 9+1 高中联盟期中考高三年级数学学科 参考答案一、选择题（共 10 小题，每题 4 分，共 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C B A D D B A C D B二、填空题（共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分）11.2 12. , 13. , 14. ,2123815. , 16. 17.2438或 3)， 6三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分）18. （） 1()sin2cos2fxxx31sin2coi()6令 得2,6kxkZ,63所以 的单调递增区间为 . 7 分()fx,3kk（）由条
2、件 ，sin(2)16A， ，0526A解得 .3， .1sin2SbcA2bc又 ，化简得 ，o32()3bc则 ， 14 分2()9bcbc219.（）取 中点 ，连结 ，由重心性质可知 分别在 上且BCFA,DE,AFP，所以在 中有 .2,ADPEFP所以 ,又 面 , 面 ；所以 . 6 分BB面（）方法一：过 作 ，过 作DKAKGA连接 ，过 作GH，交线为PABC平 面 平 面 ,DKP平 面又 ， K，故 ，交PAG平 面 DAG面 面线为 ，所以 是直线 与面 所成的角 10 分DKH面 HBPDE， ， ，又31217K115 分sinFA方法二：以 中点为原点，建立如图
3、所示空间直角坐标系 .B, , ,2,30P120PBA(,3)又由条件 ,(0,1)(,)()AF.33(,),(,),(0,2)22FPAB设面 的法向量为 ，则PDE,)nxyzOA BPCD yxFEzHGFDCBA PK3,取 ，则 ， ,13 分302xyz3x1xyz(3,1)n,即所求角的正弦值为 . 15 分7sin|co,|AB 7（）方法三：过 作 延长线于点 ，连结 ，PHHF又 面 面 ,面 面 ,CABC面 .H由条件 ,3,1,120BF, ，又由条件 ,F6P3PAF, ,2cos43A7sin4.11 分172PAFS由 ，得 ,BPAFBV31324Bh,
4、,即所求角的正弦值为 . 15 分27Bh7sin720. （） ,()axfe. 3 分()1axf 当 时， ,所以 在 上单调递减; 0()0f()fxR当 时，令 得 ，令 得 ,axlna()0fxlna所以 在 上单调递减，在 上单调递增. 7 分()fxln,)a,CPBA DFE H4（）法一：令 ，由题意只需证 .()1axgxfemin()0gx又 ,()xf所以由（）可知当 时， 在 上单调递减，又 ,0a()gxR()所以当 时， ，所以当 时存在实数 ，使 . 10 分x()x0a0x01f当 时，由（）可知 在 上单调递减，在 上单调递增,0aln(,)ln()a所
5、以 .lnminl 1l()()aagxe令 ，则1l,0ah.22ln()令 得 ，令 得 ,0x1a()hx1a所以 在 上单调递增，在 上单调递减.()h, ,又 ，所以 .1a()0所以 ，所以当 时存在实数 ，使 .min()gxa0x0()1f综上，当 时，存在实数 ，使 15 分0x()1f法二：因为 ，所以-9 分1)0(f（1）若 ，则 在 上递减，所以当 时能使 ；-11 分axR0x1)(0xf（2）若 ，则 ，而 在 上单调递减，所以取0lna)(fln,a时能使 ；-13 分axln01)(0fxf（3）若 ，则 ，而 在 上单调递增，所以取1lxfl(,)a时能使
6、。 -15xl0 )(0fxf5分综上，当 时，存在实数 ，使 1a0x0()1f21.（）因为直线 ， ，与圆 相切，1:OPyk2:QykxM由 可得 是方程02631kx12,22000(3)63yk的两个不相等的实数根，因为点 在椭圆 上，所以 ，2013ykx0(,)MxyC22001xy6 分2011（）解一：（i）当直线 不落在坐标轴上时，设 ， ，,OPQ1(,)Pxy2(,)Q因为 ，所以 ，即 ，120k120yx22114y因为 ， 在椭圆 上，所以 ，1(,)Pxy2(,)C222 211 1()4xx整理得 ，2所以 12y所以 11 分3OPQ（ii）当直线落在坐标
7、轴上时，显然有 ，23OPQ综上：2因为 ， 16()()3OPMQS因为 ，2OQ6所以 的最大值为 . 15 分OPMQS1思路二：由 解得 ，2,ykx2121k所以 ，221121()OPxkx同理 ，2()Q因为16()()23OPMSOPQ11 分2221 112) 46()()kkkk解法二：又 24222112 11380()63OPMQkkkS ，2211()k令 ，则 ，210,t22219()334Stt当 ，即 时， 15 分t1kmax1解法三：由均值不等式知；2211()42211()4)3kkk所以 ，下同解法二；OPMQS22116()kk22.（）先用数学归纳
8、法证 .na7当 时， ;1n1,pa假设当 时， ，则当 时， .kk1nk11lnkka由可知 .1na再证 .,1 lnlnnn aaa令 ，则(),1fxx,l0所以 在 上单调递减，所以 .()fx,)()10fx所以 ，即 . 4 分1ln0na1na（）要证 ，只需证 ,122nn21ln2nnaa只需证 ，其中l0()nnaan先证 .2l1nn令 ，只需证 .(),fxx()0fx因为 ,2l2(所以 在 上单调递减，所以 .()fx1,)()1fx再证 .ln0naa令 ，只需证 .()2,1gxx()0gx8,1()ln2ln1xgx令 ,则 ,h21()0xh所以 在
9、上单调递增，所以 ,()x1,)()h从而 ，所以 在 上单调递增，所以 .0g(gx1,)()10gx综上可得 . 9 分122nna（）法一： ,121212 31l()llnnn aaaa 所以要证 121 1l()nnnpp 只需证 .12 13122n nnaa 先证： .12 131nnap由（） （）可知 ,112nnnna所以 ，由迭代可得 ,12nna111()()2nnnp所以 1 1223()()()n naa .011 1()()22nnnppp 再证： .1231n naa 9由（）可知 ,1112nn nnnaaa即 ，由迭代可得 .12nna 111()()2nnp所以 0111231()()2nnap .1()21nnp综上可得 .12 13122n nnaap 所以 . 15 分121 1l()n nnpp 法二：由题（）知，一方面， ，由迭代可得 ,12nna111()()2nnnap因为 ，所以 ，所以lx1l()nnp1212ln()lnlnaaa -12 分011 1()2()()nnnppp 另一方面，即 ，由迭代可得 .12nna111()()22nnna因为 ，所以 ， 所以xll1nn1()np101212ln()lnlnaaa 0111()()22np； 综上 . 15 分12np121 1l()n nnpp
