1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷（文史类）数学试题卷(文史类)共 5 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式：如果事件 A、 B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B).如果事件
2、 A、 B 相互独立，那么 P(AB)=P(A)P(B). 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 Pn(K)=kmPk(1-P)n-k一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知a n为等差数列， ,则 等于281a5a(A)4 (B)5 (C)6 (D)7(2)设 x 是实数，则“x 0”是“|x| 0”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(3)曲线 C: ( 为参数) 的普通方程为cos1.inx
3、y(A) (B) 2212211xy(C) (D) 1xy(4)若点 P 分有向线段 所成的比为- ，则点 B 分有向线段 所成的比是AB3PA(A)- (B)- (C) (D)3321212(5)某交高三年级有男生 500 人，女生 400 人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取 25 人，从女生中任意抽取 20 人进行调查.这种抽样方法是(A)简单随机抽样法 (B)抽签法 (C)随机数表法 (D)分层抽样法(6)函数 的反函数是210xy(A) (B) (x ) lg() 1lgy0(C) ( x (D) ( x1y01 1(7)函数 f(x)= 的最大值为(A) (B) (C)
4、 (D)125122(8)若双曲线 的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上，则 p 的值为263xyp(A)2 (B)3 (C)4 (D)4 2(9)从编号为 1,2,10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个，则所取 4 个球的最大号码是6 的概率为(A) (B) (C) (D)184122535(10)若(x+ )n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中 x4 项的系数为2(A)6 (B)7 (C)8 (D)9 (11)如题（11 ）图，模块均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成，模块由 15 个棱长为 1 的小正方体构成.现从模块 中选出三个放到模块 上，使得模块成为一个棱长为
5、 3 的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为(A)模块， (B)模块， ，(C)模块， (D)模块，（12 ）函数 f(x)= (0x2 )的值域是sin54co(A)- (B)- (C)- (D)- 1,41,31,22,3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填写在答题卡相应位置上.（13 ）已知集合 ，则45AB和2和5=和 AU和CB.（14 ）若 则 .0,x13114242-和+(x-)（15 ）已知圆 C： （a 为实数）上任意一点关于直线 l：x-y+2=00y的对称点都在圆 C 上，则 a= .（16 ）某人有 3 种颜色的灯泡（每种颜色
6、的灯泡足够多） ，要在如题（16 ）图所示的 6 个点A、B、C 、A 1、 B1、C 1 上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有 种（用数字作答）.三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17 ） （本小题满 13 分， （）小问 5 分， （）小问 8 分.）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c.已知 ，求：223abc（）A 的大小;（） 的值.2sincosi()（18 ） （本小题满分 13 分， （）小问 8 分， （）小问 5 分.）在每道单项选择题给出的 4 个备选答案中，只有一个
7、是正确的.若对 4 道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这 4 道题中：（）恰有两道题答对的概率;（）至少答对一道题的概率.（19 ） （本小题满分 12 分， （）小问 6 分， （）小问 6 分.）设函数 若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直线 12x+y=632()91(0).fxax平行，求：（）a 的值;（）函数 f(x)的单调区间.（20 ） （本小题满分 12 分， （）小问 6 分， （）小问 6 分.）如图（20）图， 为平面， AB=5,A,B 在棱 l 上的射影和,lA分别为 A，B，AA 3 ，BB2.若二面角 的大小为 ，求：23（）点 B 到平面 的距离;（
8、）异面直线 l 与 AB 所成的角（用反三角函数表示） .（21 ） （本小题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分.）如题（21）图，M （-2，0）和 N（2 ，0）是平面上的两点，动点 P 满足： 2.PN（）求点 P 的轨迹方程 ;（）设 d 为点 P 到直线 ： 的距离，若 ,求 的值.l12x2PMNPd（22 ） （本小题满分 12 分， （）小问 6 分.（）小问 6 分）设各项均为正数的数列a n满足 .3211,(N*)nnaa（）若 求 a3,a4,并猜想 a2008 的值（不需证明）;21（）若 对 n2 恒成立，求 a2 的值 .12nA绝密启用前20
9、08 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题（文史类）答案一、选择题：每小题 5 分，满分 60 分.(1)C 【解析】本小题主要考查等差数列的性质。由 得：28512a，故选 C。56a(2)A 【解析】本小题主要考查充要条件的判定。由 充分 而0x|或 ，不必要，故 选 A。|0x0x(3)C 【 解析】本小题主要考查圆的参数方程。移项，平方相加，故选 C。22cosin22(1)1y（ ）(4)A 【解析】本小题主要考查线段定比分点的有关计算。如下图可知， B 点是有向线段 PA 的外分点， ，故选 A。 |32PB(5)D 【解析】本小题主要考查抽样方法。若总体由差异明显的几
10、部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样。故选 D。(6)D 【解析】本小题主要考查反函数的求法。由 得：210()xy，即 。又因为 时， ，从而有21lgxylg1xy01x2，即原函数值域为 。所以原函数的反函数为20x(,，故选 D。l()1y(7)B 【解析】本小题主要考查均值定理。 （当且1()2xfx仅 ，即 时取等号。故选 B。 1xx(8)C 【解析】本小题主要考查双曲线和抛物线的几何性质。双曲线的左焦点坐标为： ，抛物线 的准线方程为 ，所以 ，2(3,0)16p2ypx2px2316p解得： ，故选 C。 4p(9)B 【解析 】本小题主要考查组合的基本知识及等可能事件
11、的概率。，故选 B。354102P(10)B 【解析 】本小题主要考查二项式定理的基础知识。因为 的展开式1()2nx中前三项的系数 、 、 成等差数列，所以 ，即 ，0nC1224n0214nnC980解得： 或 （舍） 。 。令 可得，88811()rrrrrTxx4r，所以 的系数为 ，故选 B。 2r4x28()7(11)A 【解析】本小题主要考查空间想象能力。先补齐中间一层，只能用模块或，且如果补则后续两块无法补齐，所以只能先用补中间一层，然后再补齐其它两块。 (12)C 【解析】本小题主要考查函数值域的求法。令 ，54cos(13)xt则 ，当 时， ，2216(5)sintx0x
12、2216()09sintx当且仅224299()01si1() 4454cotttfxx当 时取等号。同理可得当 时， ，综上可知 的值域为3tx1()2fx()fx，故选 C。1,2二、填空题：每小题 4 分，满分 16 分.(13) |2 , 3| 【解析】本小题主要考查集合的简单运算。 ，1,23UB()23UABa(14) -23 【解析】本小题主要考查指数的运算。1313142422()()()xx11322443x(15) -2 【解析 】本小题主要考查圆的一般方程及几何性质，由已知，直线经过了圆心 ，所以 ，从而有 。0y,a0aa(16) 12 【解析】本小题主要考查排列组合的
13、基本知识。先安排底面三个顶点，共有 种不同的安排方法，再安排上底面的三个顶点，共有 种不同的安排方法。3A 12C由分步记数原理可知，共有 种不同的安排方法。312AC三、解答题：满分 74 分.(17)（本小题 13 分）解：()由余弦定理， 22cos,abA3cos,.6cA故所 以() 2sincosi()BCncosin)iis()in1.2BCA(18)（本小题 13 分）解：视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是 4 次独立重复试验，且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为 .14由独立重复试验的概率计算公式得：()恰有两道题答对的概率为42413()C()P7.8()解法
14、一：至少有一道题答对的概率为0444131()()75.26解法二：至少有一道题答对的概率为1223404443113C()()C()()085265617.(19)(本小题 12 分)解：()因 2()91fxax所以 322()9.3x即当2().3aaf时 ， 取 得 最 小 值因斜率最小的切线与 平行，即该切线的斜率为-12，126xy所以29,9.3a即解得 ,0,3.a由 题 设 所 以()由()知 2()91,afxx因 此212()3690,3.()0()(,),1.(,3fxfxff令 解 得 ：当 时 ， 故 在 ， ） 上 为 增 函 数 ；当 时 ， 故 在 （ ， ）
15、 上 为 减 函 数 ；当 x+时 ， 故 在 （ ， ） 上 为 增 函 数由 此 可 见 ， 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 ） 和 （ ， ） ；单 调 递 减 区 13.间 为 （ ， ）（20 ） （本小题 12 分）解：（1）如答（20 ）图，过点 B C A A 且使 B C=A A.过点 B作 BD CB，交 CB的延长线于 D.由已知 AAl ，可得 DBl，又已知 BBl，故 l平面BB D，得 BDl 又因 BDCB，从而 BD平面 ,BD 之长即为点B 到平面 的距离.因 B C l 且 BB l，故BB C 为二面角 -l- 的平面角.由题意，BB C=.因此
16、在 RtBB D 中，BB=2, BB D=- BB C= ,BD=BBsinBBD32 3= .（）连接 AC、 BC.因 B C A A， B C=A A,AA l,知 A ACB 为矩形，故 ACl.所以BAC 或其补角为异面直线 l 与 AB 所成的角.在BB C 中，B B=2，B C=3，BB C= ，则由余弦定理，32BC= .22cos19因 BD 平面 ，且 DC CA，由三垂线定理知 AC BC.故在ABC 中， BCA= ， sinBAC= .2195BCA因此，异面直线 l 与 AB 所成的角为 arcsin（21 ） （本小题 12 分）解：（I）由双曲线的定义，点
17、P 的轨迹是以 M、 N 为焦点，实轴长 2a=2 的双曲线.因此半焦距 c=2，实半轴 a=1，从而虚半轴 b= ,3所以双曲线的方程为 x2- =1.23y(II)解法一：由（I）由双曲线的定义，点 P 的轨迹是以 M、 N 为焦点，实轴长 2a=2 的双曲线.因此半焦距 e=2，实半轴 a=1，从而虚半轴 b= .3R 所以双曲线的方程为 x2- =1.3y(II)解法一：由（I）及答（ 21）图，易知 |PN| 1,因|PM|=2|PN| 2, 知|PM|PN|,故 P 为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2. 将代入，得 2|PN|2-|PN|-2=0，解得|PN|= ,所以1717,44舍 去|PN|= .174因为双曲线的离心率 e= =2,直线 l:x= 是双曲线的右准线，故 =e=2,ca12|PNd所以 d= |PN|,因此122|4|17PMPNd解法：设 P（ x,y） ，因 |PN| 1 知|PM|=2|PN|2 2|PN|PN|,故 P 在双曲线右支上，所以 x 1.由双曲线方程有 y2=3x2-3.因此 222|()()341.Nx从而由|PM|=2|PN| 2 得
