1、幻方方面尚未解决的问题阿部（Gakuho Abe ）施学良 高治源译摘要：本文收集幻方方面 23 个尚未解决的问题或猜想，以及与提到的这些问题有关的一些最新结果。1 序言本文收集幻方方面尚未解决的 23 个问题或猜想，材料来源于新近的研究。我们将提出这些问题并给出最新结果，特别介绍一些新的有趣的幻方。在幻方方面获得的许多已知结果，可从下列日本刊物中找到：Fascinating Puzzles Monthly(FPM),Meeting of Puzzles(MP),Researches in Magic Squares(RMS)和 Monthly Abscus(MA)。幻方的基本概念可以从参考文
2、献3第 7 章和文献2、4第 3 章中查找。对幻方的历史和在日本的当前发展情况感兴趣的读者，可查阅参考文献1。广义幻方 A=(aij)， i 0,j n-1,是由 n2 个不同的非负整数组成的且具有每行、每列和各对角线上 n 个数之和均相等的特性的方阵。方阵的行（列）数 n 称做方阵的阶。如果使用自然数 1 至 n2，则称做幻方。由 n2 个不同的非负整数（或自然数 1 至 n2）组成的方阵，如各行和各列诸数之和均相等，则称做广义不完全幻方（或不完全幻方） 。幻方（a ij）如果对所有 0 i,j n-1,aij+an-1-j n-1-j=n2+1,称做对称幻方。此外，在幻方（a ij）中，如
3、果对每一个 i，a0i+a1i+1+a(n-1)i+(n-1)和a0i+a1i-1+a(n-1)I-(n-1)都相等，则称此幻方为全对角线幻方（或完美幻方） 。注意下标常用模 n 来表示。如果广义幻方 A=（ aij） 的子方阵 B=(akl),p k p+m,q l q+m (0 p,q p+m,q+m n-1)，是其本身的广义幻方，则我们说 A 包含广义幻方 B。特别地，如果幻方 A=（ aij） 包含广义方阵B=(akl),1 k,l n-2则幻方 A 是镶框幻方（图 1） 。对于 n 阶幻方，我们对其连线图定义如下：在包含 n2 个单元的方阵上，当且仅当aij+akl=n2+1用线条连
4、接 cij 和 ckl 形成的图称为连线图（见图 1） 。令 为 CF(A)的直角旋转图，或中心水平线、是中心垂直线或两条对角线之一的反射图。如果 CF(A)= CF(A)，则 是 CF(A)的自同构。如果直角旋转图是 CF(A)的自同构，则 CF(A)属旋转型， 。如果四个反射图都是 CF(A)的自同构，则 CF(A)属反射型。当然，也可能存在 CF(A)同属旋转型和反射型的情形。现在我们来说明一种规则幻方、 ，它仅限于奇阶幻方。令 n3 是奇2 11 13 271 33 17 10 7 21 230 1 28 10 11 513 3 2 161 15 14 412 6 7 910 16 3
5、 52 8 13 117 1 12 1415 9 6 4广义幻方 4 阶幻方 B B 的连线图 对称幻方数，a 1、a 2、b 1、 b2 是与互质的整数。使 =a1b2-a2b1 10 45 44 7 11 12 469 23 37 14 34 17 418 28 15 24 27 31 4249 20 36 25 18 26 148 19 21 30 33 22 247 35 16 32 13 29 34 5 6 43 39 38 40镶框幻方假设 亦与 n 互质。对于每一个整数 Z，(1 Z n 2)我们首先表示 Z 为Z-1=nr+s, (0 r,s n-1).我们规定方阵 X=(xi
6、j),0ijn-1 ，而令xij=Z,ia 1r+b1s+c1(modn)和ja 2r+b2s+c2(mod)当且仅当下列四个条件成立时，则 X 是 n 阶幻方：b1c2-b2c1 (e 1-1)/2 (mod e1),a2c1-a1c2 (e 2-1)/2 (mod e2),b1c2-b2c1+ b1 (e 1-1)/2 (mod f1),a2c1-a1c2+ a1 (f 2-1)/2 (mod f2),此处e1=( b2-b1,n)(即最大公约数 ),e2=( a2-a1,n)f1=( b2+b1,n)f2=( a2+a1,n)如果幻方 X 能用此法得到，我们说它是规则的。否则它是不规则的
7、。如果 n 阶方阵的各行各列包含所有按某种顺序排列的数0，1，n-1,此方阵称为拉丁方阵。对于 n 阶幻方 A=(aij),由 aij-1=rijn+si, 0r ij, si,n-1我们规定两个 n 阶方阵 R(A)=(rij)和 S(A)=(sij)。显然 A=nR(A)+s(a)+j，此处 J 是每个单元均为 1 的 nn 方阵。如 R(A)和 S(A)均为拉丁方阵，则 A 称做基本方阵。不然，A 称做非基方阵（见图 2） 。易知，规则幻方是基本幻方，尤其是非基幻方是不规则的。如果 R(A)和S(A)都具有每行和每列上 n 个数之和都相等的性质，则 A 称为有理的。如果 R(A)和 S(
8、A)都不具有这一性质，则称 A 为无理的（见图9） 。注意和 R(B)和 S(B)之一恰恰具有这一性质的幻方 B 是不存在的。显然，基本幻方是有理的。图 2 所示幻方 X 是非基幻方，因为 S(X)是拉丁幻方，而 R(X)则不是。2 问题和猜想确实存在 880 个 4 阶幻方。对于 16 个正整数的集合 I，我们用f(I)表示所有包含 I 中整数的 4 阶广义幻方的个数。问题 2.1. 确定 f(I)的最大值。注意 ,如果 I=1,8,10,17,则f(I)=1080(G.Abe)。确实存在 12 个 4 阶幻方的连线图。对于具有常数和的 4 阶广义幻方 X=( xij)，我们规定连线图 CF
9、(X)=( cij)，( cij)由当且仅当xij +xkl=m/2 时用线条连接 cij 和 ckl 而证。Tomiya Yokose 找到另外 12 个 4 阶广义幻方的连线图，G.Abe 又找到 10 个。从而，我们有 34 个 4 阶广义幻方的连线图。这些连线图和相应的广义幻方可以从 PRM No.153(1986)的论文中找到。问题 2.2 找出所有的阶广义幻方的连线图。1941 年，J.C.Barnett 指出：确实存在 174240 个阶镶框幻方，均属反射型。同年，L.Candy 和 H.Safford 证明，阶对称幻方的个数为 48544。之后，Shutaro Teramara
10、 宣布：存在 591008 个阶幻方，其连线图属反射型，有 21 个。但是，都存在微细误差：Hiro Yabe 用计算机发现，连线图为反射型的 5 阶幻方的个数为591008，假设恰恰存在 21 个此类幻方的连线图的话。问题 2.3 确定连线图属反射型的 5 阶幻方的个数。问题 2.4 确定连线图属旋转型的 5 阶幻方的个数。大家知道，在假设 4 阶广义幻方的连线图恰好有 34 个的情况下，6 阶镶框幻方个数确实是 736347893760（MP No.156(1987)） 。问题 2.5 所有 6 阶镶框幻方的个数确实是 736347893760 吗？大家知道，至少存在 6108 个 7 阶
11、不规则的全对角线幻方。其连线图 H.Candy 找到了两个 (19401941)，H.Benson 又找到了一个(1982)，G.Abe 找到了 62 个(19811985) ， Yosiro Marunaga 于 1985年又找到了 5 个。这些连线图及其分类可从 RMS No.14 的论文中得到。问题 2.6 确定 7 阶不规则的（或非基的）全对角线幻方的个数。问题 2.7 确定 7 阶不规则的（或非基的）对称全对角线幻方的个数。如果一个幻方能被分割成若干个同阶广义幻方，我们说此幻方是可分割的。设 A=(aij),0i,j n-1，是 n 阶偶阶幻方。如果每一个 4 阶子方阵（ akl）
12、, 2sk2s+3, 2tl2t+30 s,t n/2-2 都是广义不完全幻方，那么我们说 A 具有 4 阶广义不完全幻方的覆叠。如果每一个这种子方阵都是广义幻方，那么我们说 A 具有 4 阶广义幻方的覆叠。如果和aij+ai+1j+aij+1+ai+1j+1对每一个 0i,j n-2 均相等，则幻方 A=(aij)称做 22 等值单元化。 n 阶方阵 A=(aij)，0 i,j n-1，如果下列 4 行的 8 数之和，对于每一个 i,j 均相等，称做具有 Franklin 性质。aij+ai+1j+1+ai+2j+2+ai+31j+3+ai+3j+4+ai+2j+5+ai+1j+6+aij+
13、7aij+ai-1j+1+ai-2j+2+ai-31j+3+ai-3j+4+ai-2j+5+ai-1j+6+aij+7aij+ai+1j+1+ai+2j+2+ai+31j+3+ai+4j+3+ai+5j+2+ai+6j+1+ai+7jaij+ai+1j-1+ai+2j-2+ai+31j-3+ai+4j-3+ai+5j-2+ai+6j-1+ai+7j此处我们考虑各行诸数之和，唯一的条件是其诸数 alm的所有下标 lm 满足 0l,m n-1。例如，图 3（Yoshizane Tanaka,1683）所示幻方 X 被分割为 4 个 4 阶广义幻方，而且是 22 等值单元化的。此外，它具有 4 阶广
14、义不完全幻方的覆叠，也具有 Franklin 性质。问题 2.8 确定 22 等值单元化的 8 阶对称全对角线幻方的个数。问题 2.9 确定具有 4 阶广义幻方覆叠的 8 阶幻方的个数。问题 2.10 是否存在 9 阶无理的全对角线幻方？注意 9 阶非基的全对角线幻方的存在的，示于图 4。问题 2.11 是否存在具有 Franklin 性质的 10 阶 22 等值单元化不完全幻方？图 5 所示一个 13 阶幻方 A=(aij)，0i,j 12， 包含下列 3、4、11阶广义幻方。3、4、5、6 阶广义幻方已在图 5 中表出。(alm) 7l9, 3m5, 33 24 47 26 35 22 4
15、5 2816 57 2 55 14 59 4 5318 39 32 41 20 37 30 4363 10 49 8 61 12 51 634 23 48 25 36 21 46 2715 58 1 56 13 60 3 5417 40 31 42 19 38 29 4464 9 50 7 62 11 52 541 30 52 61 31 1 21 81 5111 9 24 77 66 44 16 67 5571 40 29 47 63 14 5 20 8059 10 8 25 76 65 39 18 6975 54 42 33 46 62 34 4 1970 58 28 3 27 78 50
16、 38 1723 74 53 43 13 64 57 36 612 72 60 32 2 26 79 49 377 22 73 48 45 15 68 56 35图 3图4(alm) 0l3, 4m7,(alm) 2l6, 6m10, (alm) 7l12, 0m5,(alm) 0l6, 6m12, (alm) 2l9, 3m10,(alm) 4l12, 0m8, (alm) 0l9, 3m12,(alm) 2l12, 0m10,52 100 103 5 142 108 74 19 162 157 13 155 1598 104 53 144 107 4 163 75 17 82 88 77
17、93105 51 99 106 6 143 18 161 76 16 154 23 147165 26 64 11 160 84 113 1 141 73 97 156 1428 63 164 158 85 12 3 140 112 48 122 50 12062 166 27 86 10 159 139 114 2 134 36 49 12196 7 152 57 167 31 118 72 65 133 37 123 47151 95 9 169 30 56 70 66 119 61 109 32 1388 153 94 29 58 168 67 117 71 116 54 22 1481
18、10 111 34 79 132 44 39 125 46 80 135 101 6960 59 136 91 38 126 131 45 124 35 90 137 3381 24 150 83 129 43 40 128 115 145 21 78 6889 146 20 87 41 127 130 42 55 25 149 102 92猜想 2.12 对于每一个 n5 的奇数和每一个 3kn-2 ,存在包含 k 阶广义幻方的 n 阶幻方。注意这一猜想对于n=5、7、9、11、13、15、17（G.Abe(n=7、13、15、17)和 Toshio Kobayashi(n=9)(1988
19、1990)）是正确的。猜想 2.13 对于每一个 n6 的偶数和每一个 3 k n-2,存在包含 k 阶广义幻方的 n 阶幻。这一猜想对于n=6、8、10（G.Abe（n=6）和 Kobayashi(n=8,10)）(1988 1990)）是正确的。图 5假设 n 阶幻方 A 包含不同阶的广义幻方 B1=A，B 2，B l。令ni表 Bi的阶，S i表 Bi的常数。我们用 Si/ni表示 Bi的单元和。例如，示于图 6（Toshio Kobayashi）的幻方 A 包含 3 个广义幻方（B l=A）,4阶的 B2和 3 阶的 B3） ，其单元和分别为111/6=18.5，71/4=17.5，5
20、1/3=17。寻找一个包含许多个具有不同单元和的广义幻方的幻方，似乎很难。图 6问题 2.14 确定包含 17 阶幻方中的阶和单元均不相同的广义幻方个数的最在值。注意，示于图7 的 17 阶幻方包含 10 个广义幻方包含 10 个广义幻方，其阶为k3、4、5、6、7、9、11、13、15、17，其单元和各不相同。264 25 256 33 266 23 20 270 210 81 191 100 138 153 148 141 14629 260 27 262 31 258 22 268 94 197 83 208 134 157 143 145 14728 261 30 259 26 263
21、 215 75 85 206 96 195 130 161 144 149 142257 32 265 24 255 34 236 54 193 98 212 79 196 163 189 87 91231 58 223 66 233 56 271 19 132 159 198 93 128 92 102 204 20062 227 60 229 64 225 216 74 113 178 126 180 89 174 164 108 17661 228 63 226 59 230 52 238 185 106 111 162 202 117 127 183 115224 65 254 35
22、219 70 249 41 109 104 181 151 168 121 136 172 16638 251 14 275 244 45 53 237 187 179 110 140 123 170 155 119 125274 15 232 57 222 67 51 77 76 272 217 246 55 43 42 250 269253 36 273 16 205 84 213 245 214 18 73 44 235 247 248 40 2113 276 37 252 17 243 239 186 69 78 137 158 12 285 280 1 182194 95 241 4
23、8 46 289 50 103 220 211 152 131 277 4 9 288 107201 88 72 160 154 124 47 175 192 190 86 177 2 281 284 11 221207 82 129 234 135 165 242 114 97 99 203 112 287 8 5 278 6839 199 49 218 184 122 169 150 101 156 118 173 10 283 282 3 20990 267 240 71 105 167 120 139 188 133 171 116 279 6 7 286 803 6 34 28 35
24、 520 31 2 18 15 2519 12 26 14 10 3029 22 9 11 13 278 36 16 33 17 132 4 24 7 21 23问题 2.16 是否存在连线图属旋转型的偶阶全对角线幻方？问题 2.17 是否存在连线图属旋转型的奇阶全对角线幻方？问题 2.18 是否存在一种构造所有各阶对称的非基的全对角线幻方的方法？问题 2.19 是否存在 n11 的奇阶无理的全对称线幻方？注意，13 阶无理的全对角线幻方是存在的，示于图 952 102 152 33 83 133 14 77 127 8 58 108 15879 142 23 73 123 4 54 117
25、167 48 98 148 29119 13 63 113 163 44 94 144 38 88 138 19 69159 40 103 153 34 84 134 15 78 128 9 59 10930 80 143 24 74 124 5 55 105 168 49 99 14970 120 1 64 114 164 45 95 145 39 89 139 20110 160 41 104 154 35 85 135 16 66 129 10 60150 31 81 131 25 75 125 6 56 106 169 50 10021 71 121 2 65 115 165 46 9
26、6 146 27 90 14061 111 161 42 92 155 36 86 136 17 67 130 11101 151 32 82 132 26 76 126 7 57 107 157 51141 22 72 122 3 53 116 166 47 97 147 28 9112 62 112 162 43 93 156 37 87 137 18 68 118问题 2.20 不存在单偶阶全对角线幻方。确定具有单偶阶幻方常数的破对角线线数的最大值。62 26 46 89 103 8 106 30 136 70 126 144 159128 32 135 54 118 146 166 59 52 24 90 99 2108 155 164 74 43 19 83 100 1 107 36 137 78
