1、 http:/第 1 页 共 10 页2004 年普通高等学校招生全国统一考试(四川、吉林、黑龙江、云南等地)理 科 数 学本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分. 共 150 分. 考试时间 120 分钟.第 I 卷参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件 A、B 相互独立，那么P（AB）=P（A）P（B）如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率Pn(k)=C Pk(1P) nk 一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 .在 每
2、 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1已知集合 （ ） NMxNxM则 集 合,32|,4|A B C D 2|x|21|x 3|2 （ ）54lim2xnxA B1 C D1 5243设复数 = （ ）1,23则iA B C D2 1214已知圆 C 与圆 关于直线 对称，则圆 C 的方程为 （ ）1)(2yxxyA B C D)122x 1)(22yx球的表面积公式S=4 2R其中 R 表示球的半径，球的体积公式V= ，34其中 R 表示球的半径http:/第 2 页 共 10 页1)(22yx5已知函数 的图象过点 ，则 可以是
3、（ ）)tan(x)0,12(A B C D6612126函数 的图象 （ ）xeyA与 的图象关于 y 轴对称 B与 的图象关于坐标原点对称xeyC与 的图象关于 轴对称 D与 的图象关于坐标原点对称xey 7已知球 O 的半径为 1，A、B、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 ，则2球心 O 到平面 ABC 的距离为 （ ）A B C D333268在坐标平面内，与点 A（1，2）距离为 1，且与点 B（3，1）距离为 2 的直线共有（ ）A1 条 B2 条 C3 条 D4 条9已知平面上直线 l 的方向向量 e= 点 O（0，0）和 A（1，2）在 l 上的射影分),5(别是
4、O和 A，则 e，其中 = （ ）AOA B C2511D210函数 在下面哪个区间内是增函数 （ ）xxysincoA B C D)3,()2,()25,3(,211函数 的最小正周期为 （ ）xy24cossinA B Chttp:/第 3 页 共 10 页D2 12在由数字 1，2，3，4，5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中，大于 23145 且小于43521的数共有 （ ）A56 个 B57 个 C58 个D60 个第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上.13从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其中有 个红球，
5、则随机变量 的概率分布为14设 满足约束条件：yx,则 的最大值是 .,120yxz2315设中心在原点的椭圆与双曲线 =1 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，2则该椭圆的方程是 .16下面是关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 12 分）已知锐角三角形 ABC 中
6、， .51)sin(,53)sin(BA（）求证： ；BAta2t（）设 AB=3，求 AB 边上的高.18 （本小题满分 12 分）已知 8 支球队中有 3 支弱队，以抽签方式将这 8 支球队分为 A、B 两组，每组 4 支.求：（）A、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；（）A 组中至少有两支弱队的概率. 0 1 2Phttp:/第 4 页 共 10 页19 （本小题满分 12 分）数列 的前 n 项和记为 Sn，已知 证明：a ).3,21(,1nSan（）数列 是等比数列；（） .41nnaS20 （本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=1，C
7、B= ，侧棱 AA1=1，侧面2AA1B1B 的两条对角线交点为 D，B 1C1的中点为 M.（）求证 CD平面 BDM；（）求面 B1BD 与面 CBD 所成二面角的大小.21 （本小题满分 12 分）给定抛物线 C：y 2=4x，F 是 C 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点。（）设 l 的斜率为 1，求 与 的夹角的大小；OAB（）设 ，若 4,9，求 l 在 y 轴上截距的变化范围.Bhttp:/第 5 页 共 10 页22 （本小题满分 14 分）已知函数 f(x)=ln(1+x) x，g( x)=xlnx.（）求函数 f(x)的最大值；（）设 0ab,证明
8、0g(a)+g(b)-2g( )(b-a)ln2.2ba2004 年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案（理） （选修）1.C 2.A 3.C 4.C 5.A 6.D 7.B 8.B 9.D 10.B 11.B 12.C130.1，0.6，0.3 145 15 1612yx17本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质，考查运算能力，满分 12 分.本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力，满分 12 分.（）证明： ,51)sin(,53)sin(BAhttp:/第 6 页 共 10 页.2tan51sinco,2.51sincosin,3BAABA所以
9、.ta2t（）解： ，,43)ta(,3)si( A即 ，将 代入上式并整理得43tan1tBABAtn2ta.04tan2解得 ，舍去负值得 ，26t26tan设 AB 边上的高为 CD.tantBA则 AB=AD+DB= .623ttCD由 AB=3，得 CD=2+ . 所以 AB 边上的高等于 2+ .6618本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分 12 分.（）解法一：三支弱队在同一组的概率为 .714851C故有一组恰有两支弱队的概率为 .761解法二：有一组恰有两支弱队的概率 .764825348253（）解法一：A
10、 组中至少有两支弱队的概率 21485348253C解法二：A、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为 1，由于对 A 组和 B 组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以 A 组中至少有两支弱队的概率为 .19本小题主要考查数列、等比数列的概念和性质，分析和推理能力，满分 12 分。证明：（） ,2,11nnnSaSahttp:/第 7 页 共 10 页 整理得 ),()2(1nnSS ,)1(21nnSS所以 故 是以 2 为公比 的等比数列.1（）由（）知 于是 ).(141nSn ).2(41)(41 naSnSn又 故 ,312Sa,22a因此对于任意正整数 都有,.41nnS20本小
11、题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.满分 12 分.解法一：（）如图，连结 CA1、AC 1、CM，则 CA1= .2CB=CA 1= ，CBA 1为等腰三角形，2又知 D 为其底边 A1B 的中点，CDA 1B. A 1C1=1，C 1B1= ，A 1B1=23又 BB1=1，A 1B=2. A 1CB 为直角三角形，D 为 A1B 的中点，CD= A1B=1，CD=CC 1，又 DM= AC1= ，DM=C 1M.2CDMCC 1M，CDM=CC 1M=90，即 CDDM.因为 A1B、DM 为平在 BDM 内两条相交直线，所以 CD平面 BDM.（）
12、设 F、G 分别为 BC、BD 的中点，连结 B1G、FG、B 1F，则 FG/CD，FG= CD.21FG= ，FGBD.2由侧面矩形 BB1A1A 的对角线的交点为 D 知 BD=B1D= A1B=1，2所以BB 1D 是边长为 1 的正三角形.于是 B1GBD，B 1G= B 1GF 是所求二面角的平面角，.23又 B 1F2=B1B2+BF2=1+（ = ，)http:/第 8 页 共 10 页 .321)(32cos 2121 FGCB即所求二面角的大小为 .3arcos解法二：如图，以 C 为原点建立坐标系.（）B（ ，0，0） ，B 1（ ，1，0） ，A 1（0，1，1） ，2
13、2D（ ，M（ ，1，0） ，), ),2,(),(,2( DMAC则 CDA 1B，CDDM.001B因为 A1B、DM 为平面 BDM 内两条相交直线，所以 CD平面 BDM.（）设 BD 中点为 G，连结 B1G，则 G（ ） ， 、 、 ） ，4,232(D),432(1.,.011面 角等 于 所 求 的 二 面 角 的 平的 夹 角与 又BDC .3|cos1C所以所求的二面角等于 .arcos21本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。满分 12 分。解：（）C 的焦点为 F（1，0） ，直线 l 的斜率为 1，所以 l 的方程为
14、 .1xy将 代入方程 ，并整理得 xyxy42.062x设 则有 ),(),(21BA.,2121.31)(, 21 xxyxyxO 464| 21221 .43|),cos(BAhttp:/第 9 页 共 10 页所以 夹角的大小为OBA与 .413arcos（）由题设 得 F),(),(12yxyx即 .12),(yxx由得 ， 2,4,212xy.12x联立、解得 ，依题意有2x.0 又 F（1，0） ，得直线 l 方程为),(),(B或),1(2(1xyxy或当 时， l 在方程 y 轴上的截距为9,4,或由 可知 在4，9上是递减的，,12121 ,4334,43直线 l 在 y
15、轴上截距的变化范围为 .,22本小题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力，满分 14 分.（）解：函数 的定义域为 .)(xf ),1(令 .1)(xf 0)xf解 得当 当 又,0(,xf时 .)(,f时 ,0)(f故当且仅当 x=0 时， 取得最大值，最大值为 0.)（）证法一： 2ln)(lln)2( bababgag .ln2la由（）结论知 ),0,1(0)1n(xx且http:/第 10 页 共 10 页由题设 ,021,02,0baba得因此 )ln(l,ba所以 .022ll ba又 .2ln)(ln)(lnlln,2 ababba 综上 .)()(2)(0agg证法二： .1l,lxx设 ),2()()aaxF则 .2lnxag当 在此 内为减函数.,0)(,0xx时 ),0(xF在当 上为增函数.)( aFa在因 此时从而，当 有极小值,x时因此 即 ,0)(0)(bFab所 以 ).2()(bagag设 则 ,2ln(xFxG ).ln(lln)( xxxG当 因此 上为减函数.),C时 ,在因为 0)(,0(bab所 以即 .2ln2)agg
