1、二、 导数应用习题课一、 微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用第 三 章 拉格朗日中值定理 一、 微分中值定理及其应用1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 2. 微分中值定理的主要应用(1) 研究函数或导数的性态(2) 证明恒等式或不等式(3) 证明有关中值问题的结论3. 有关中值问题的解题方法利用 逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法 :(1)证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .多用 罗尔定理 ,可考虑用柯西中值定理 .必须 多次应用中值定
2、理 .(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用 泰勒公式 ,(5) 若结论为不等式 , 要注意 适当 放大 或 缩小 的技巧 .有时也可考虑 对导数用中值定理 .例 1. 设函数 在 内可导 , 且证明 在 内有界 . 证 : 取点 再取异于 的点 对为端点的区间上用拉氏中值定理 , 得(定数 )可见对任意 即得所 证 .例 2. 设 在 内可导 , 且证明至少存在一点 使上连续 , 在证 : 问题转化为证设辅助函数显然 在 0 , 1 上满足罗尔定理条件 , 故至使即有少存在一点例 3. 且试证存在证 : 欲证因 f ( x ) 在 a , b 上满足拉氏中值定理条件 , 故有将 代入 , 化简得故有即要证例 4. 设实数 满足下述等式证明方程 在 ( 0 , 1) 内至少有一个实根 .证 : 令 则可设且由罗尔定理知存在一点 使即例 5. 设 函数 f (x) 在 0, 3 上连续 , 在 (0, 3) 内 可导 , 且 分析 : 所给条件可写为试证必存在 想到找一点 c , 使证 : 因 f (x) 在 0, 3上连续 , 所以在 0, 2上连续 , 且在0, 2上有最大值 M 与最小值 m, 故由 介值定理 , 至少存在一点 由 罗尔定理 知 , 必存在 例 6. 设函数 在 上二阶可导 ,且 证明证 : 由泰勒公式得两式相减得
