1、绝密启封并使用完毕前 试题类型：A2015 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第卷(选择题 )和第卷(非选择题) 两部分.第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第卷一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1） 设复数 z 满足 i ，则|z|1+(A)1 (B) (C) (D)223(2)sin20cos10con 160sin10(A) (
2、B) (C) (D)32321212(3)设命题 P： n N， ，则 P 为n(A) n N， (B) n N， 22n(C) n N， (D) n N， n(4)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312(5)已知 M(x0， y0)是双曲线 C： 上的一点，F 1、F 2 是 C 上的两个焦点，21xy若 0，则 y0 的取值范围是12F(A)( ， ) (B)( ， )336(C)( ， ) (D)( ， )22
3、3(6)九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题: “今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为: “在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少? ”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有(A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛(7)设 D 为 ABC 所在平面内一点 ，则3(A) (B) 143BAC143AC(C) (D) (8)函数 f(x) 的部分图像如图所示，则 f(x)的单调递减区间为(A)(
4、 )，k (b)( )，k(C)( )，k (D)( )，k(9)执行右面的程序框图，如果输入的 t0.01，则输出的 n(A)5 (B)6 (C)7 (D)8（10 ） 的展开式中， 的系数为25()xy52xy(A)10 (B)20 (C)30 (D)60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，（12）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的（13）表面积为 16 20 ，则 r(A)1(B)2(C)4(D)812.设函数 f(x)e x(2x1)ax a，其中 a 1，若存在唯一的整数 x0，使得 f(x0) 0，则 a 的取值范围是( )A.
5、 ，1) B. ) C. ) D. ，1)32e3,24e3,24e32e2r r正视图正视图俯视图r 2r第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题第(24)题未选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分(13)若函数 f(x)xln (x )为偶函数，则 a 2a(14)一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标准方程为 .(15)若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为 .104xyyx(16)在平面四边形 ABCD 中，ABC75 ，BC2，则 AB 的取值范围是 .
6、三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分 12 分)Sn为数列a n的前 n 项和.已知 an0，()求a n的通项公式：()设 ，求数列 的前 n 项和(18)如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC120 ，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE 2DF，AEEC.(1)证明：平面 AEC平面 AFC(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位：千元)对AB CFED年销售量 y(单位： t)和年利润 z(单位：千元)的影响，对近 8
7、年的年宣传费 xi和年销售量 yi(i1，2 ，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw(xi )28i=1(wi )28i=1(xi )(yi8i=1)(wi )8i=1(yi )46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中 wi ， ， ix8i=1i()根据散点图判断，yabx 与 ycd 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回x归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由 )()根据()的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；()以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z0.2yx .根据()的结果回答下列
8、问题：（i） 年宣传费 x49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii） 年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(u 1 v1)，(u 2 v2). (un vn)，其回归线 v u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： AA12(),niiiiivuu年宣传费(千元)年销售量/t(20)(本小题满分 12 分)在直角坐标系 xoy 中，曲线 C：y 与直线 l:ykxa(a0)交于 M，N 两点，24x()当 k0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；()y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPMOPN？说明理由.(21)(本小题满分 12 分
9、)已知函数 f(x) 31,()ln4agx()当 a 为何值时，x 轴为曲线 的切线；()yf()用 表示 m，n 中的最小值，设函数 ，讨in, ()min(),(0)hxfxg论 h(x)零点的个数请考生在(22) 、(23) 、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 .(22)(本题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径， AC 是O 的切线，BC 交O 于点 ECDAEBO（I） 若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；（II） 若 OA C
10、E，求ACB 的大小. 3(23)(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中.直线 :x2，圆 ：(x1) 2(y2) 21，以坐标原点为极点， 1C2x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I） 求 ， 的极坐标方程；12（II） 若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 ， ，求3C4R2C3MNC2MN 的面积 (24)(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 |x1|2| xa|，a0.()当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；()若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围2015 年普通高等学校招生全国
11、统一考试理科数学试题 A 答案一、 选择题（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B（7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D二、填空题 （13）1 （14） 235()4xy（15）3（16）二、 解答题（17）解：（I）由 ，可知243nnaS21143.nnaS可得 即11()211()()()nnnn由于 可得0a1.a又 ，解得214311()3a舍 去 ，所以 是首相为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为n 21.na（II）由 a11().(2)323nbnn设数列 的前 n 项和为 ，则T12nTb 11()()()()35723.(2
12、)nn （18）解：（I）连结 BD，设 BD AC=G，连结 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中不妨设 GB=1.由 ABC=120，可得 AG=GC= .由 BE 平面 ABCD, AB=BC 可知 AE=EC.3又 AE EC，所以 EG= ，且 EG AC.在 Rt EBG 中，可得 BE= 故 DF= .在 Rt FDG 中，可得 FG= .262在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2，BE= ，DF= ，2可得 FE= .从而3222,EGFEGF所 以又 因为, .ACFAC可 得 平 面 AC平 面所以平面 平 面（III ） 如图，以 G 为坐标原点，分别以 GB，GC
13、的方向为 x 轴，y 轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标系 G-xyz. B由（I）可得 所以2(03,)(10),(),(03,)AEFC， ， ， ， ， ，故2(12),.ECF， ， cos, .AEF所以直线 AE 与直线 CF 所成直角的余弦值为 .3（19）解：（I）由散点图可以判断， 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型。 ycdx2 分（II）令 ，先建立 y 关于 w 的线性回归方程。由于wx12()108. 6niiiiid。563.cyw所以 y 关于 w 的线性回归方程为 ，因此 y 关于 x 的回归方程为 。 1068yw10.68yx6 分（III ） （ i）由（II ）知，当 x=49 时，年销售量 y 的预报值10.6849576.y年利润 z 的预报值。 9 分57.2.3（ii）根据（II ）的结果知，年利润 z 的预报值0.(168)1.620.zxx所以当 ，即 x=46.24 时， 取得最大值3.2xz故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大。 12 分（20）解：（I）有题设可得 又(2,)(,)MaNaM或 （ -2,a） .2=y4xxa， 故 在处的导数值为 ，C 在点 出的切线方程为(,)a(2),0yxaxya即，即 .24在
