1、习题解答习题一1-1 （1） r|是位移的模， r 是位矢的模的增量，即| r|=|r2-r1|，r=|r 2|-|r1|；（2） dt是速度的模，即 dt=|v|= ts.r只是速度在径向上的分量.有 r=r （式中 r叫做单位矢） ，则 dtrtdr式中 dtr就是速度径向上的分量，与不同如题 1-1 图所示. 题 1-1 图(3) dtv表示加速度的模，即|a|= dtv， 是加速度 a 在切向上的分量.有 V=V (表轨道节线方向单位矢） ，所以tvt式中 d就是加速度的切向分量.( tr与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)1-2 后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面
2、直角坐标系中，有 r=xi+yj，jdtyitxdrav22故它们的模即为 22222dtytxattvyxyx而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 2dtrtrv其二，可能是将与误作速度与加速度的模。在 1-1 题中已说明 dtr不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样， 2dtr也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分 22trdta径。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢 r 在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢 r 及速度 v 的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。1-3 （1）r=(3t+5)i+( 21t2+3t
3、-4)j m(2)将 t=1,t=2 代入上式即有r1=8i-0.5j mr2=11j+4j mr=r 2-r1=3j+4.5j m(3) r 0=5j-4j,r4=17i+16j 105321sjijirtv(4) 1)(3sjtid则 v 4=3i+7j ms-1(5) v 0=3i+3j,v4=3i+7j201smjvta(6) 21sjd这说明该点只有 y 方向的加速度，且为恒量。题 1-4 图1-4 设人到船之间绳的长度为 l，此时绳与水面成 角，由图可知l2=h2+s2将上式对时间 t 求导，得dstl根据速度的定义，并注意到 l,s 是随 t 减少的， dsvtlv船绳 ,0即
4、cos0vltsd船或 hlv2/120)(船将 v 船 再对 t 求导，即得船的加速度32020002)(svhsllsdtsldtva船船1-5 dxtdtva分离变量： vdv=adx=(2+6x 2)dx两边积分得 cxv321由题知，x=0 时，v 0=10,c=50 1325sm1-6 tdta4分离变量，得dv=(4+3t)dt积分，得 123ctv由题知，t=0,v 0=0,c 1=0故 24又因为 2tdtxv分离变量， d)(3 积分得 212ct由题知 t=0,x 0=5,c 2=5故 532tx所以 t=10 s 时 mxsv70512094310 121-7 tdtd
5、8,(1)t=2s 时，a =R=118236 ms -2an=R 2=1(922)21296 ms -2(2)当加速度方向与半径成 45角时，有145tn即 R 2=R亦即 (9t 2)218t则解得 t 3=2/9于是角位移为)sin(2coi0tRtvtxradt67.29321-8 （1） btvdts0Rtvan202)(则 24022bt加速度与半径的夹角为 20)(arctnbtv(2)由题意应有 242Rb即0)(,)(400btvbtv当t时，a=b1-9 依题意作出下图，由图可知题 1-9 图(1) )cos1()cos1(2intRy(2)sinco1(tRdtyvxdt
6、vayyxxcos21-10 设小球所作抛物线轨道如题 1-10 图所示题 1-10 图(1)在最高点，v1=vx=v0cos60an=g=10 ms-2又 12 mavn00)6cos(2211(2)在落地点，v2=v0=20 ms-1，而 na=gcos60mn806cos1)2(221-11 当 t=2s 时，=t=0.220.4 rads -1则 v=R=0.40.40.16 ms -1an=R 2=0.4(0.4)20.064 ms -2a =R=0.40.20.08 ms -2 2210.)8.()064.( s1-12 当滑至斜面底时，y=h，则 ghvA,A 物运动过程中又受到
7、 B 的牵连运动影响，因此，A 对地的速度为 jighuvA)sin2()cos2( 地题 1-12 图1-13 (1)大船看小艇，则有v 21=v2-v1，依题意作速度矢量图如题 1-13 图(a)题 1-13 图由图可知121250hkmvv方向北偏西87.364arctnrt2(2)小船看大船，则有 v12=v1-v2，依题意作出速度矢量图如题 1-13 图(b)，同上法，得v12=50 kmh-1方向南偏东 36.871-14 依题意作出矢量图如题 1-14 所示题 1-14 图v 雨船 =v 雨 -v 船v 雨 =v 雨船 +v 船由图中比例关系可知v 船 =v 雨 =8 ms-11
8、-15 若以大船为参照系，则快艇相对于大船的相对位矢为 r，而快艇对大船的相对速度为v=v-V=v+(-V)依据以上关系作出图 1-15(b)题 1-15 图设相对位矢 r 与海岸夹角为 ，则有20sinxD又设快艇对船的相对速度 v与海岸线的夹角为 则由图(b)可知，要使船在 x 处出发时能栏截大船，应有 (若 ，则艇将从大船后方穿过)但 角的大小与艇速 v 与海岸线的夹角 有关， 值可取 0-180间任何值依据v=v-V 作图 1-15(c)，(图中之圆是以v为半径所作之圆，其表示 v 之模不变，但方向可变)如图(c)可知 的极大值是在 v与圆周相切之时，此时有题 1-15（c）图 Vvm
9、sin艇拦截大船的条件是 ，故有xD20解得 vVDx21)(0习题二2-1 因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为 a1，其对于 m2则为牵连加速度，又知 m2对绳子的相对加速度为 a，故 m2对地加速度，由图(b)可知，为a2=a1-a 又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力 f 在数值上等于绳的张力 T，由牛顿定律，有m1g-T=m1a1 T-m2g=m2a2 联立、式，得 211212)()magTfaag讨论 (1)若 a=0，则 a1=a2表示柱体与绳之间无相对滑动(2)若 a=2g，则 T=f=0，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时 m1,m2均作自由落体运动题 2-1 图2
10、-2 以梯子为对象，其受力图如图(b)所示，则在竖直方向上，NB-mg=0 又因梯无转动，以 B 点为转动点，设梯子长为 l，则NAlsin-mg 2lcos=0 在水平方向因其有加速度 a，故有f+NA=ma 题 2-2 图式中 f 为梯子受到的摩擦力，其方向有两种可能，即 f= 0mg 联立、式得 )(2tan,)(2tan00ggMm2-3 28316smfax27my(1) 20 187216453smdtavyyxx于是质点在 2s 时的速度8745sji(2) mji jijtattvryx874134)167(2)42(12202-4 (1) dtvka分离变量，得 tvd即 t
11、mk0ktevlnl tmk0(2) t tt mkkevdevx0)1(3)质点停止运动时速度为零，即 t，故有00ktmk(4)当 t= 时，其速度为 evevkm0100即速度减至 v0的 .2-5 分别以 m1,m2为研究对象，其受力图如图(b)所示(1)设 m2相对滑轮(即升降机)的加速度为 a，则 m2对地加速度 a2=a-a；因绳不可伸长，故 m1对滑轮的加速度亦为 a，又 m1在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以 m1在水平方向对地加速度亦为 a，由牛顿定律，有m2g-T=m2(a-a)T=m1a题 2-5 图联立，解得 a=g 方向向下(2) m2对地加速度为a2=a-a=
12、g方向向上m1在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即 a 绝 =a 相 +a 牵ga25422=arctan =arctan1=26.6，左偏上2-6 依题意作出示意图如题 2-6 图题 2-6 图在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下，而抛物线具有对 y 轴对称性，故末速度与 x 轴夹角亦为 30，则动量的增量为p=mv-mv 0由矢量图知，动量增量大小为mv 0，方向竖直向下2-7 由题知，小球落地时间为 0.5s因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为 v1=gt=0.5g，小球上跳速度的大小亦为 v2=0.5g设向上为 y
13、轴正向，则动量的增量p=mv 2-mv1 方向竖直向上，大小 p=mv 2-(-mv1)=mg碰撞过程中动量不守恒这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒2-8 (1)若物体原来静止，则p 1=t idtFd04056)(i kgms-1,沿 x 轴正向，1156.smkgipIv若物体原来具有-6 ms -1初速，则 tt FdvdFv0000 )(,于是tpFdp012 ,同理，v 2=v 1,I2=I1这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即
14、冲量)就一定相同，这就是动量定理(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即 t tdtI020)亦即 t2+10t-200=0解得 t=10 s，(t=-20 s 舍去)2-9 质点的动量为p=mv=m(-asinti+bcostj)将 t=0 和 t= 2分别代入上式，得p1=mbj,p 2=-mai,则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为I=p=p 2-p1=-m(ai+bj)2-10 (1)由题意，子弹到枪口时，有F=(a-bt)=0,得 t= ba(2)子弹所受的冲量 t tdtI021)(将 t= ba代入，得I2(3)由动量定理可求得子弹的质量 020bvam2-11 设一块为 m1，则另一块为 m2，m1=km2及 m1+m2=m于是得 1,2k又设 m1的速度为 v1,m2的速度为 v2，则有 21Tmv=m1v1+m2v2 联立、解得v2=(k+1)v-kv1 将代入，并整理得 21)(vkmT于是有 kT将其代入式，有
