1、11.试说明生产函数的边际报酬递减与边际技术替代率递减之间的关系。 （华中科技大学 2004 试）答：（1）边际报酬递减规律是指在技术水平不变的条件下，在连续等量的把一种可变生产要素增加到一种或几种数量不变的生产要素上去的过程中，当这种可变生产要素的投入量小于某一特定值时，增加该要素投入所带来的边际产量是递增的；当这种可变要素的投入量连续增加并超过这个特定值时，增加该要素投入所带来的边际产量是递减的。边际报酬递减规律是短期生产的一条基本规律。从理论上讲，边际报酬递减规律成立的原因在于：对于任何产品的短期生产来说，可变要素投入和固定要素投入之间存在着一个最佳的数量组合比例。随着可变要素投入量的逐
2、渐增加，生产要素的投入量逐步接近最佳的组合比例，相应的可变要素的边际产量呈现出递增的趋势。一旦生产要素的投入量达到最佳的组合比例时，可变要素的边际产量达到最大值。在这一点之后，随着可变要素投入量的继续增加，生产要素的投入量越来越偏离最佳的组合比例，相应的可变要素的边际产量便呈现出递减的趋势了。（2）边际技术替代率递减规律是指在维持产量不变的前提下，当一种生产要素的投入量不断增加时，每一单位的这种生产要素所能替代的另一种生产要素的数量是递减的。边际技术替代率递减的主要原因在于：任何一种产品的生产技术都要求各要素投入之间有适当的比例，这意味着要素之间的替代是有限的。简单地说，以劳动和资本两种要素投
3、入为例，在劳动投入量很少和资本投入量很多的情况下，减少一些资本投入量可以很容易的通增加劳动投入量来弥补，以维持原有的产量水平，即劳动对资本的替代是很容易的。但是，在劳动投入增加到相当多的数量和资本投入量减少到相当少的数量的情况下，再用劳动去替代资本就将是很困难的了。（3）生产函数的边际报酬递减和边际技术替代率递减的共同原因是两种生产要素之间存在着一个最佳的数量组合比例，且以生产技术不变为假设前提。其区别表现在：边际报酬递减是短期生产函数或一种可变生产要素的生产函数的性质。一种可变生产要素的生产函数表示在技术水平和其他投入不变的条件下，一种可变生产要素的投入量与其所生产的最大产量的之间的关系。而
4、边际技术替代率递减反映了两种可变生产要素的生产函数的性质。长期内，生产者可以调整全部生产要素的数量。边际技术替代率表示在保持产量水平不变的条件下，增加一个单位的某种要素的投入量可以替代的另一种生产要素的投入量。11生产规模扩大导致收益的变动可分为哪些阶段？它说明了什么问题？（浙大 1999 试）答：一般来说，企业的规模扩大导致收益的变动可分为三个阶段：规模报酬递增、不变、递减。在企业开始生产的最初阶段，由于最初要素的投入带来了生产专业化程度的提高，劳动生产效率提高，合理的、先进的管理进一步充分发挥了各要素的组合功能，所以最初阶段企业的规模收益呈递增趋势；随着规模的进一步扩大，递增收益的因素吸收
5、完了，生产要素的组合受到了技术的限制，因此规模收益转为常数状态；接下来如果再增加生产要素的投入，所带来的是管理效率的降低，生产效率的下降。从以上分析中不难看出，企业要保持生产的效率，各生产要素的投入的平衡至关重要，当诸要素能力不均衡时，如果还存在潜在生产力，那么最低生产能力因素的略微提高，将会带来整体生产投入的提高，反之，如果整体生产能力已趋极限，继续增加投入，将是得不偿失的。12简述生产规模变动对生产收益的影响。 （南京大学 2005 试）答：一般说来，企业生产规模变动对生产收益的影响呈现出如下的规律：当企业从最初的很小的生产规模开始逐步扩大的时候，企业面临的是生产收益递增的阶段。在企业得到
6、了由生产规模扩大所带来的产量递增的全部好处之后，一般会继续扩大生产规模，将生产保持在生产收益不变的阶段。这个阶段有可能比较长。在这个阶段之后，企业若继续扩大生产规模，就会进入一个生产收益递减的阶段。生产规模变动对生产收益的影响体现在规模报酬的变动上,企业的规模报酬变化可以分为规模报酬递增，规模报酬不变和规模报酬递减三种情况。具体来讲：（1）生产规模扩大导致生产收益递增规模报酬指企业的生产规模变化与所引起的产量变化之间的关系。企业只有在长期内才可以变动全部生产要素，进而变动生产规模，因此，企业的规模报酬分析属于长期生产理论问题。在生产理论中，通常是以全部的生产要素都以相同的比例发生变化来定义企业
7、的生产规模的变化。相应的，规模报酬变化是指在其他条件不变的情况下，企业内部各种生产要素按相同比例变化时所带来的产量变化。规模报酬递增是指产量增加的比例大于各种生产要素增加的比例。例如，当全部的生产要素劳动和资本都增加 100%时，产量的增加大于 100%。产生规模报酬递增的主要原因是由于企业生产规模扩大所带来的生产效率的提高。（2）生产规模扩大导致生产收益不变2规模报酬不变是指产量增加的比例等于各种生产要素增加的比例。例如，当生产要素（劳动和资本）都增加 100%时，产量也增加 100%。（3）生产规模扩大导致生产收益递减规模报酬递减是指产量增加的比例小于各种生产要素增加的比例。例如，当全部的
8、生产要素（劳动和资本）都增加 100%时，产量的增加小于 100%。产生规模报酬递减的主要原因是由于企业生产规模过大，使得生产的各个方面难以得到协调，从而降低了生产效率。规模报酬变动的主要原因是内在经济和内在不经济、外在经济和外在不经济。规模报酬递增是指产量增加的比例大于各种生产要素增加的比例。产生规模报酬递增的主要原因是由于企业生产规模扩大所带来的生产效率的提高。它表现为：生产规模扩大以后，企业能够利用更先进的技术和机器设备等生产要素，使得企业内部的生产分工能够更合理和专业化。3 计算题1.从边远小镇到县城要绕很远的山路，政府考虑修一条隧道，并通过对行车征收费用收回投资。设 Q 为每天过往车
9、辆数，P 为征收费用（元） ，需求函数为 P250.5Q。隧道建成后，每天分摊建设费用 500 元，不计维护费用。如果建设费用和征收费用都归承包商，有人愿意承包吗？若需要补贴，应如何补贴？（华中科技 2004 试）解：每天的征收费用为2(50)50TRQP欲每天征收费用最多，则4MP解得， 12.此时征收费用为：2.501.32.50TR显然如果建设费用和征收费用都归承包商，由于承包商平均每天的成本大于收益，所以没有人愿意承包。政府需要给予承包商一定的补贴，补贴方式多样，可以免税、一次性财政补贴、分期财政补贴等，但无论那种方式，都要使承包商分摊到的实际费用每天小于 312.5 元。2某企业的生
10、产函数为： 其中，A、X 均为常数，试问：pkpaXAQ/21)(K1 时，其他条件不变，将该企业分为两个规模相等的企业，总利润如何变化？（比较企业分立前后的总利润）K1 时，其他条件不变，将该企业与另一个完全相同的企业合并，总利润如何变化？（比较企业分立前后的总利润）（北大1997 试）解：由于 ，所以：pkpk tXataAt )(1)(2当 k1 时为规模报酬递增企业，则企业分立后总利润将下降；当 k1 时为规模报酬递减企业，则两企业合并后总利润也将下降。3某一岛国有一种报纸，该报纸的需求函数为 Q=15S P-3，其中 S 为报纸报道丑闻的面积（平方英寸） ，报道 S 平方英寸的丑21
11、闻的成本为 10S，印刷和投递的成本为 0.1Q。（1）求利润最大化时价格和丑闻量。（2）此时的报纸数量。（3）如果政府决定对每份报纸收取 0.1Q 的从量税，请问报纸价格、丑闻量还有报纸数量如何变化?（4）如果政府限定丑闻量为上一问的 S*，那么此时的价格和报纸数量。（5）限定丑闻量时的价格和报纸量与征税时有何变化？为什么？（6）如果政府更关心消费者的利益，则政府应征税还是限定丑闻量？说明理由。 （北大 2005 试）解：（1）根据题设条件得知：3，3215PSQ3215.01.0PSQSTC所以利润函数为： ).(32121为使利润最大化，分别对丑闻量和价格求偏导，令其为零： 2315.5
12、00PSS，15.0P23.468S（2）利润最大化时的报纸数量为： 3153.468(0.15)498Q（3）当政府决定对每份报纸收取从量税时，发行报纸的成本为： QSSTC2.0321P所以新的利润函数为：112325(0)QTCSSP为使利润最大化，分别对 S 和 P 求偏导，令其为零： ， ，23113422090S3.07.16S2.543Q（4）如果政府限制丑闻量为 ，则利润函数为：76.*32121* )(5.0)(5PSPS为使利润最大化，对价格求导，令其为零：1*314*22()().0d15.由需求函数知，此时的报纸数量为：1*2()34QS（5）限制丑闻量时价格降低，报纸
13、数量增加。这是因为约束条件发生了变化，当限制丑闻量时，增加报纸发行量的边际成本下降。（6）应采取限制丑闻量的措施。由第（3）及（4）问计算知，在限制丑闻量情形下，报纸价格降低，需求增加，因而消费者剩余增加，故政府应采取限制丑闻量的措施。.42132144假定企业的生产函数为 ，如果资本存量固定在 9 个单位上（K=9） ，产品价格（P）为每单位 6 元，工资率21LKQ为每单位 2 元，请确定：)(w（1）该企业的规模收益状态；（2）企业应雇用的最优的（能使利润最大的）劳动数量；（3）如果工资提高到每单位 3 元，最优的劳动数量是多少？（天津财经学院 2000 试）解：（1）当 K、L 同比例
14、增加 倍时，有),(2)(2),( 11LKFLF所以该企业的规模报酬不变。（2）企业利润最大时，企业处于均衡状态，满足均衡条件 ，所以rwMPRTSKLL， ，得21LKMP21LPKrPK当 ， 时，w9r成本 ，生产函数LLTC422 2121216)9(LLKQ当 P=6 时，利润 TCPQ36)6(2114182为使利润最大化，应使 ，则 ，所以企业雇用最优的劳动数量为 。048L481L（3）如果工资提高到 时，有：3wrK39成本 rLTC69利润 21，要得到最优的劳动数量，须使利润最大化，即 时，由 得， 。8 006182L9L5Q=f（L，K）=AL K （A0，00，M
15、P K0； ./,0/22KQL（2）证明其满足欧拉定理。（3）证明其扩展线为通过原点的一条直线（当 w=$4，r=$2 下） 。（4）劳动的产出弹性为： LQeL5资本的产出弹性为： 1KQe（5）证明 MRTSLK只取决于 K/L，而不依赖于生产规模，而且 MRTSLK随 L/K 的增加而递减。（6）若市场为完全竞争市场，则使用资本的成本占总成本比例（称为资本的相对份额）为 1 。（7）同（6） ，劳动的相对份额为 。0 1，A0解：（1）因为 ,0所以 1KLQMPL 0)(10)(12 22 KLAKPQLK（2）因为 QkAkkf 1)(即 L,两边对 偏微分，可得：QKff所以 L
16、令 1 则 ff可得 QKffL所以满足欧拉定理。（3）因为 LKMPRTSKLL1最优要素组合条件为 代入上式rwL1所以（1 ）wL rK=0 （w=4， r=2）2（1 ）L K=0 即 K)(6上式即为扩展线的函数，因为 为常数，它所对应的扩展线为一条过原点的直线。（4）劳动的产出弹性 LQKLAQLe1资本的产出弹性 1)()( KK（5） )(1LfMPRTSKLL)(LLK所以，MRTS LK随 的增加而递减。（6）完全竞争条件下生产者的均衡条件为： rwMPKL即 11rKL故劳动的相对份额为： w（7）资本的相对份额为： rL6. 考虑一般性的柯布-道格拉斯生产函数： ，其中
17、：q 为产量；x 1，x 2 分别为两0,21Axqa种要素投入。考虑比较静态的情形：当要素投入的相对价格 w1w 2 变化而产量保持不变时，生产者会使用相对便宜的要素去替代相对贵的要素。试解出该生产函数的要素替代弹性 。(人大 2006 试)解：（1）替代弹性用来测度生产要素投入比率变动率对于生产要素边际技术替代率变动的敏感性程度。替代弹性 表示如下：替代弹性 1212122112 )()()()(xMPdMPxxd（2）由柯布-道格拉斯生产函数的表达式可知：211Ax122xA7121221xAxMP)(1212xd因此，柯布-道格拉斯生产函数： 的替代弹性恒为 1。0,21Aqa7已知生
18、产函数 ， 表示产量， 表示资本， 表示劳动。令上式223.5.0),(KLKfQQL的 =10。K（1）写出劳动的平均产量 函数和边际产量 函数；)(LAP)(LMP（2）分别计算当总产量、平均产量和边际产量达到极大值时厂商雇佣的劳动；（3）证明当 达到极大时 。L2L解：对于生产函数 23.05.KKQ因令 K=10则 221.01L5.3（1）劳动的平均产量函数 LQAPL25.0325.01劳动的边际产量函数 dLML10).32(2（2）i）对于总产量函数 25.q欲求总产量极大值，只要令其边际产量为零，即01L求得 L=10又因 )(dQ8所以 L=10 为极大值点即当总产量达到极
19、大值时，厂商雇佣的劳动为 10。ii）同样，对于平均产量函数 LAPL325.0125.0)(d令 0)(Ld即325.642（负值舍去）8L又因 064)(3LAPd故 为极大值点。即当平均产量达到极大时，厂商雇佣的劳动为 8。iii）对于劳动的边际产量 ML1由于 为负向倾斜的直线，而且劳动 不可能小于零。故当 时， 为极大值 10，亦即当边际产量达到极大LP0LLMP值时，厂商雇佣的劳动为 0。（3）证明：由（2）ii）可知：由 L=8 时劳动的平均产量达到极大值则LAPL325.018而当 L=8 时， 2ML故当 达到极大时，APLP8已知某厂商的生产函数为 ，又设 元， 元。8/5
20、/3KQ3L5KP（1）求产量 Q=10 时的最低成本支出和使用的 L 与 K 的数量。（2）求产量 Q=25 时的最低成本支出和使用的 L 与 K 的数量。（3）求总成本为 160 元时厂商均衡的 Q、L 与 K 的值。解：（1）由已知，成本方程为TC53则： min8/5/30KL设拉格朗日函数为9（1）)10(538/5/3KLLX对（1）式分别求 L、K 及 的偏导数并令其为零，可得（2）8/58/5/ L（3）/3/3/05（4）10108/5/38/5/ KLX由（2）（3） ，得（5）LK818/3/5将（5）式代入（4）式可得0L805minTC所以，当产量 Q=10 时的最低
21、成本支出为 80 元，使用的 L 与 K 的数量均为 10。（2）求既定产量下的最低成本支出和投入生产要素组合除了用（1）题所用方法求解外，还可根据的厂商均衡条件求解。KLLPM/对于生产函数 8/5/3Q/L8/3/KP由厂商的均衡条件 得LLPM/538/538/所以 K代入当产量 Q=25 时的生产函数 28/5/3L求得 25因为 0minTC所以，当产量 Q=25 时的最低成本支出为 200 元，使用的 L 与 K 的数量均为 25。（3）花费给定成本使产量最大的厂商均衡条件为KLLPM/对于生产函数 8/5/3Q108/3/5/KLMP则 58/538/3/所以 L代入总成本为 1
22、60 元时的成本函数 160K求得 2则 28/5/38/5/3Q所以，当总成本为 160 元时厂商的均衡产量为 20，使用的 L 与 K 的数量均为 20。9已知生产函数为 )2,min(L（1）如果产量 Q=20 单位，则 L 与 K 分别为多少？（2）如果价格为（1，1） ，则生产 10 单位产量的最小成本是多少？解：（1）对于定比生产函数 ),i(Q有如下关系式： 2因为 0所以 ，L1K（2）由 ， 得Q205又因 1KLP所以 10TC10已知厂商的生产函数为： ； ； 。请分别求：LQ4K2)4,3(KLMinQ（1）厂商的长期生产扩展线函数；（2）当 时使成本最小的投入的组合。10,rw解：（1）对于生产函数 来说， ，L42/1/LPK 2/1/LP由 可得：rMPKLrw2/1/整理后可得：
