1、数值分析练习题 付敏编1第一章 绪论姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。1 若误差限为 ,那么近似数 0.003400 有几位有效数字？（有效数字的计算）510.2 具有 4 位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）9.33 已知 ， 是经过四舍五入后得到的近似值，问 ， 有几位2a978.b ba有效数字？（有效数字的计算）4 设 ， 的相对误差为 ，求 的误差和相对误差？（误差的计算）0xxln5 测得某圆柱体高度 的值为 ，底面半径 的值为 ，已知hcm20*rcm5*， ，求圆柱体体积 的绝对误差限与相对误差cmh2.|*r1.
2、|hv2限。（误差限的计算）6 设 的相对误差为 ,求 的相对误差。（函数误差的计算）x%anxy7 计算球的体积，为了使体积的相对误差限为 ，问度量半径 时允许的相对误差限为多%1r大？（函数误差的计算）8 设 ，求证：10dxeInn（1） )2,(1I（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）数值分析练习题 付敏编2第二章 插值法姓名 学号 班级 习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。1 已知 ，求 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）1)2(,)1,2)(fff )(
3、xf2 已知 ，用线性插值求 的近似值。（拉格朗日线性插值）940xy 73 若 为互异节点，且有),.(njx )()()( 1110 njjjjjjjj xxxxl 试证明 。 （拉格朗日插值基函数的性质）,.)(0 nklnjjk4 已知 ，用抛物线插值计35274.06.sin,3487.0.si,314567.2.si 算 的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值）67n5 用余弦函数 在 ， ， 三个节点处的值，写出二次拉格朗日插xcos01x2值多项式, 并近似计算 及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉6格朗日二次插值）6 已知函数值 ，求函数的四阶均21)6(,8
4、)4(,6)3(,10)(,)0( fffff差 和二阶均差 。（均差的计算）6,431,f 47 设 求 之值，其中 ，而节点)()()(10nxxx 1,0pxf np互异。（均差的计算）,0ni8 如下函数值表 x0 1 2 4)(f1 9 23 3建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）9 求一个次数小于等于三次多项式 ，满足如下插值条件： ， ，)(xp2)1(p4)(数值分析练习题 付敏编3， 。（插值多项式的构造）3)2(p12)(10 构造一个三次多项式 ，使它满足条件)(xH（埃尔米特插值）。1)(,)(,0)(,)0( HH11 设 。(1)试求 在 上的三
5、次埃尔米4/9,4/1,2023xxf )(xf4/9,1特插值多项式 ，使得 ， 以升幂形)( ),20),(fHjfj (x式给出。(2)写出余项 的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。xxR12 若 ，试证明：0)(,)(2bfafcxf（插值余项的应用）| |mx81| |ma2babx 13 设 求 使 ；,)(,)0(,)2(fff )(xp)2,10()ixfi又设 ，则估计余项 的大小。（插值误差的估计）M| fr数值分析练习题 付敏编4第三章 函数逼近姓名 学号 班级 习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。1 设 ，求 于 上的线性最佳平方逼近多项式
6、。（最佳平方逼近）xfsin)()(f1,02 令 ，且设 ,求 使得 为 于 1,exap10)(10)(xpf1,上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）3 证明：切比雪夫多项式序列 )arcos()(xkxTk在区间 上带权 正交。（正交多项式的证明）1,214 求矛盾方程组： 的最小二乘解。（最小二乘法）2431x5 已知一组试验数据 kx2 2.5 3 4 5 5.5y4 4.5 6 8 8.5 9试用直线拟合这组数据. (计算过程保留 3 位小数)。（最小二乘线性逼近）6 用最小二乘原理求一个形如 的经验公式,使与下列数据相拟合。2bxakx19 25 31 38 44y19 32
7、.3 49 73.3 97.8（最小二乘二次逼近）数值分析练习题 付敏编5第四章 数值积分姓名 学号 班级 习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。1 给定求积公式 试确定 使它的代数精度尽可能)(0)()( hcfbfhafdxfh cba,高。（代数精度的应用和计算）2 求积公式 ，试确定系数 , 及 ，使该求)()1()()( 0010 fBfAff 0A10B积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。（代数精度的应用和计算）3 数值积分公式 ，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式)2(13)(30fdxf的
8、代数精确度为多少？（插值型求积公式特征）4 如果 ，证明用梯形公式计算积分 所得到的结果比准确值大，并说明其)(xf badxf)(几何意义。（梯形求积）5 用 的复化梯形公式计算积分 ，并估计误差。（复化梯形求积）n21x6 设 ,则用复化辛甫生公式计算2)1(,9)5.0(,6)(,4)5.0(,1)( fffff，若有常数 使 ，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。1dxM|)4（复化辛甫生公式）7 已知高斯求积公式 将区间0,1二等分，用复)573.0()573.0()(1 ffdxf化高斯求积法求定积分 的近似值。（高斯公式）108 试确定常数 A，B，C 和 ，使得数值积分公式
9、有a )(0)()(2 aCfBfaAfdxf 尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？（代数精度的应用和计算，高斯点的特征）9 设 是0,1区间上带权 的最高次幂项系数为 1 的正交多项式系)(xPn x)(（1）求 。2数值分析练习题 付敏编6（2）构造如下的高斯型求积公式 。（高斯求积）)()()(1010 xfAfdxf第五章 非线性方程求根姓名 学号 班级 习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求根的收敛性和收敛速度的讨论。1 用二分法求方程 的正根，要求误差小于 0.05。 （二分法）012x2 说明方程 在区间1，2内有惟一
10、根 ，并选用适当的迭代法求 （精4ln*x*x确至 3 位有效数） ，并说明所用的迭代格式是收敛的。 （迭代法）3 设有解方程 的迭代法 (1)证明 均有0cos21xnncos3241R0（ 为方程的根） 。(2)此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论。 (3) 取*limxn用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过 ，列出各次迭代值。 （和收敛性讨40 30论）4 设 ， ，试证明：由 ，得到的序)(x1)(ax ,10)(1nxn列 收敛于 。 （收敛性证明）n5 设方程 在0,1 内的根为 ，若采用迭代公式 ，试0sin23x*x nnxxsi321证明： 均有 为方程的根)；此迭代的收敛
11、阶是多少，证明你的结论。Rx0 *(lm（迭代法和收敛性讨论）6 方程 在 附近有根，把方程写成 3 种不同的等价形式：123x5.0x(1) ，对应迭代格式：221nnx(2) ，对应迭代格式：3x3(3) ，对应迭代格式：1211nnx讨论这些迭代格式在 时的收敛性。若迭代收敛，试估计其收敛速度，选一种收敛5.0x格式计算出 附近的根到 4 位有效数字。 （收敛速度的计算和比较）.07 设 23)()axf数值分析练习题 付敏编7(1) 写出解 的牛顿迭代格式；0)(xf(2) 证明此迭代格式是线性收敛的。（牛顿迭代的构造与收敛速度）8 设计一个计算 的牛顿迭代法，且不用除法（其中 ） 。
12、 （牛顿迭代法）a10a9 用牛顿法求 的近似值，取 或 11 为初始值，计算过程保留 4 位小数。 （牛顿510x迭代的构造）10 设 是非线性方程 的 m 重根，试证明：迭代法*x)(f)(1nnxf具有至少 2 阶的收敛速度。 （收敛速度证明）11 设 是非线性方程 的 m 重根，证明：用牛顿迭代法求 只是线性收敛。 （收*x0)(f *x敛速度证明）12 设 ， 在 附近有直到 阶的连续导数，且 ，a)()(xp 0)()(1 aap，试证：迭代法 在 附近是 阶收敛的。 （收敛速度证明）0)(p )(1nnxap数值分析练习题 付敏编8第六章 常微分方程数值解姓名 学号 班级 习题主
13、要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和稳定性的讨论，线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。1 用改进的欧拉公式，求以下微分方程 1,0)0(2xy的数值解（取步长 ） ，并与精确解作比较。 （改进的尤拉公式的应用）.h2 用四阶龙格库塔法求解初值问题 ，取 , 求 时的数值解. 0)(1y2.h40,x要求写出由 直接计算 的迭代公式，计算过程保留 3 位小数。（龙格库塔方nyx,1n法的应用）3 用梯形方法解初值问题 ，证明其近似解为 ，并证明当)0(ynnhy2时，它收敛于原初值问题的准确解 。0h xe4 对于初值问题 ，证明当 时，欧拉公式绝对稳定。（显式和隐式欧拉1)0(y2.0
14、h公式的稳定性讨论）5 证明梯形公式 无条件稳定。（稳定性讨论）),(),(211 nnn yxfyxf6 设有常微分方程的初值问题 ，试用泰勒展开法，构造线性两步法数值计算0)(公式 ，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误)( 1011 nnn fhyy差主项。（局部截断误差和主项的计算）7 已知初值问题 01.)(2yx取步长 ，利用阿当姆斯公式 ，求此微分方程在0，10h )3(211nnfhy上的数值解，求此公式的局部截断误差的首项。（阿当姆斯公式的应用）数值分析练习题 付敏编9第七章 线性方程组的迭代解法姓名 学号 班级 习题主要考察点：雅可比、高斯-塞德尔迭代法解线性方程组，及其收
15、敛性讨论。1 证明：迭代格式 收敛，其中 。（迭代法收敛fBxkk)()1( 21,8.039fB性判断）2 若用雅可比迭代法求解方程组 迭代收敛的充要条件是)(21221abxa。（雅可比迭代法的收敛性）12a3 用雅可比、高斯-塞德尔迭代法，求解方程组 4321x是否收敛？为什么？若将方程组改变成为 321x再用上述两种迭代法求解是否收敛？为什么？（雅可比、高斯-塞德尔迭代法的收敛性）4 证明解线性方程组 的雅可比迭代收敛，其中 。（雅可比迭代收敛bAx 1024A性判断）5 已知方程组 ，其中 ，bx13.02b(1) 试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。(2)
16、 若有迭代公式 ，试确定 的取值范围，使该迭代公式收敛。)()()1(Axxkkk（雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法和一般迭代法的收敛性讨论）6 给出矩阵 ，（ 为实数），试分别求出 的取值范围：12aA(1) 使得用雅可比迭代法解方程组 时收敛；bAx(2) 使得用高斯-塞德尔迭代法解方程组 时收敛。（雅可比、高斯-塞德尔迭代法及数值分析练习题 付敏编10收敛性讨论）7 设 ，21A1b(1) 设 是由雅可比迭代求解方程组 所产生的迭代向量，且 ，试写)(kxbAxTx)1,()0出计算 的精确表达式。)(2) 设 是 的精确解，写出误差 的精确表达式。*xbA*)(xk(3) 如构造如下的迭代公式 解方程组 ，试确定 的范)()()1( bAxkbAx围，使迭代收敛。（雅可比迭代及其收敛判断）8 对于给定的线性方程组 321x（1）讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。（2）对收敛的方法，取初值 ，迭代两次，求出 。（雅可比,T)0,()0 )3(2)1(,x高斯-塞德尔迭代法的计算和比较）9 证明对称矩阵 1A当 为正定矩阵，且只有当 时，用雅可比迭代法求解方程组122才收敛。（雅可比迭代法的收敛性）bAx
