数值分析习题.doc

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1、1第一章 绪论习题主要考察点:有效数字的计算、 计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。1 若误差限为 ,那么近似数 0.003400 有几位有效数字?(有效数字的计算)510.2 具有 4 位有效数字的近似值是多少?(有效数字的计算)9.33 已知 , 是经过四舍五入后得到的近似值,问 , 有几位2a978.b ba有效数字?(有效数字的计算)4 设 , 的相对误差为 ,求 的误差和相对误差?(误差的计算)0xxln5 测得某圆柱体高度 的值为 ,底面半径 的值为 ,已知hcm20*rcm5*, ,求圆柱体体积 的绝对误差限与相对误差cmh2.|*r1.|hv2限。(误差限的计算)6 设 的

2、相对误差为 ,求 的相对误差。(函数误差的计算)x%anxy7 计算球的体积,为了使体积的相对误差限为 ,问度量半径 时允许的相对误差限为多%1r大?(函数误差的计算)8 设 ,求证:10dxeInn(1) )2,(1I(2)利用(1)中的公式正向递推计算时误差逐步增大;反向递推计算时误差逐步减小。(计算方法的比较选择)2第二章 插值法习题主要考察点:拉格朗日插值法的构造,均差的 计算,牛顿插值和埃尔米特插值构造,插值余项的计算和应用。1 已知 ,求 的拉氏插值多项式。(拉格朗日插值)1)2(,)1,2)(fff )(xf2 已知 ,用线性插值求 的近似值。(拉格朗日线性插值)940xy 73

3、 若 为互异节点,且有),.(njx )()()( 1110 njjjjjjjj xxxxl 试证明 。 (拉格朗日插值基函数的性质),.)(0 nklnjjk4 已知 ,用抛物线插值计35274.06.sin,3487.0.si,314567.2.si 算 的值并估计截断误差。(拉格朗日二次插值)67n5 用余弦函数 在 , , 三个节点处的值,写出二次拉格朗日插xcos01x2值多项式, 并近似计算 及其绝对误差与相对误差,且与误差余项估计值比较。(拉6格朗日二次插值)6 已知函数值 ,求函数的四阶均21)6(,8)4(,6)3(,10)(,)0( fffff差 和二阶均差 。(均差的计算

4、)6,431,f 47 设 求 之值,其中 ,而节点)()()(10nxxx 1,0pxf np互异。(均差的计算),0ni8 如下函数值表 x0 1 2 4)(f1 9 23 3建立不超过三次的牛顿插值多项式。(牛顿插值多项式的构造)9 求一个次数小于等于三次多项式 ,满足如下插值条件: , ,)(xp2)1(p4)(, 。(插值多项式的构造)3)2(p12)(310 构造一个三次多项式 ,使它满足条件)(xH(埃尔米特插值)。1)(,)2(,0)1(,)0( HH11 设 。(1)试求 在 上的三次埃尔米4/9,4/,2103xxf )(xf4/9,1特插值多项式 ,使得 , 以升幂形)(

5、 ),20),(fHjfj (x式给出。(2)写出余项 的表达式。(埃尔米特插值及其余项的计算)。xxR12 若 ,试证明:0)(,)(2bfafcxf(插值余项的应用)| |mx81| |ma2babx 13 设 求 使 ;,)(,)0(,)2(fff )(xp)2,10()ixfi又设 ,则估计余项 的大小。(插值误差的估计)M| fr4第三章 函数逼近习题主要考察点:最小二乘法,最佳平方逼近,正交多项式的构造。1 设 ,求 于 上的线性最佳平方逼近多项式。(最佳平方逼近)xfsin)()(f1,02 令 ,且设 ,求 使得 为 于 1,exap10)(10)(xpf1,上的最佳平方逼近多

6、项式。(最佳平方逼近)3 证明:切比雪夫多项式序列 )arcos()(xkxTk在区间 上带权 正交。(正交多项式的证明)1,214 求矛盾方程组: 的最小二乘解。(最小二乘法)2431x5 已知一组试验数据 kx2 2.5 3 4 5 5.5y4 4.5 6 8 8.5 9试用直线拟合这组数据. (计算过程保留 3 位小数)。(最小二乘线性逼近)6 用最小二乘原理求一个形如 的经验公式,使与下列数据相拟合。2bxakx19 25 31 38 44y19 32.3 49 73.3 97.8(最小二乘二次逼近)5第四章 数值积分习题主要考察点:代数精度的计算,构造插 值型求积公式(梯形,辛甫生公

7、式),复化求 积的计算,高斯公式的构造。1 给定求积公式 试确定 使它的代数精度尽可能)(0)()( hcfbfhafdxfh cba,高。(代数精度的应用和计算)2 求积公式 ,试确定系数 , 及 ,使该求)()1()()( 0010 fBfAff 0A10B积公式具有尽可能高的代数精确度,并给出代数精确度的次数。(代数精度的应用和计算)3 数值积分公式 ,是否为插值型求积公式,为什么?又该公式)2(13)(30fdxf的代数精确度为多少?(插值型求积公式特征)4 如果 ,证明用梯形公式计算积分 所得到的结果比准确值大,并说明其)(xf badxf)(几何意义。(梯形求积)5 用 的复化梯形

8、公式计算积分 ,并估计误差。(复化梯形求积)n21x6 设 ,则用复化辛甫生公式计算2)1(,9)5.0(,6)(,4)5.0(,1)( fffff,若有常数 使 ,则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。1dxM|)4(复化辛甫生公式)7 已知高斯求积公式 将区间0,1二等分,用复)573.0()573.0()(1 ffdxf化高斯求积法求定积分 的近似值。(高斯公式)108 试确定常数 A,B,C 和 ,使得数值积分公式 有a )(0)()(2 aCfBfaAfdxf 尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少?它是否为高斯型的?(代数精度的应用和计算,高斯点的特征)9 设 是

9、0,1区间上带权 的最高次幂项系数为 1 的正交多项式系)(xPn x)((1)求 。2(2)构造如下的高斯型求积公式 。(高斯求积))()()(1010 xfAfdxf6第五章 线性方程组的直接解法习题主要考察点:高斯消去法, LU 分解法,平方根法和追赶法解线性方程组。1 用高斯消去法解方程组 。 (高斯消去法的应用)1206219433x2 用 LU 分解法求解线性方程组 。 (LU 分解法的应用)321x3 设 ,求 A 的 LU 分解。 (LU 分解法的应用)3214A4 试用“追赶法”解方程组 ,其中: , (追赶法的应用)bx520143A97b5 设 ,求 (条件数的计算)12

10、A2)(condA6 求证: , (范数的性质)I17 求证: 。 (范数的性质)A128 对矩阵 ,求 , , 和 。 (范数,条件数210A122)(condA的计算)9 方程组 ,其中 , 是对称的且非奇异。设 有误差 ,则原方程组变bAxnRAA化为 ,其中 为解的误差向量,试证明: ,)(x 212Axn其中 和 分别为 的按模最大和最小的特征值。 (范数的性质,误差的分析)1n710 证明:若 为严格对角占优矩阵,则 非奇异。 (严格对角占优矩阵的性质)nijaA)( A第六章 线性方程组的迭代解法习题主要考察点:雅可比、高斯 -塞德尔迭代法解线性方程组,及其收敛性讨论。1 证明:

11、迭代格式 收敛,其中 。(迭代法收敛fBxkk)()1( 21,8.039fB性判断)2 若用雅可比迭代法求解方程组 迭代收敛的充要条件是)(21221abxa。(雅可比迭代法的收敛性)12a3 用雅可比、高斯-塞德尔迭代法,求解方程组 4321x是否收敛?为什么?若将方程组改变成为 321x再用上述两种迭代法求解是否收敛?为什么?(雅可比、高斯-塞德尔迭代法的收敛性)4 证明解线性方程组 的雅可比迭代收敛,其中 。(雅可比迭代收敛bAx 1024A性判断)5 已知方程组 ,其中 ,bx13.02b(1) 试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。(2) 若有迭代公式 ,试

12、确定 的取值范围,使该迭代公式收敛。)()()1(Axxkkk(雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法和一般迭代法的收敛性讨论)6 给出矩阵 ,( 为实数),试分别求出 的取值范围:12aA(1) 使得用雅可比迭代法解方程组 时收敛;bAx8(2) 使得用高斯-塞德尔迭代法解方程组 时收敛。(雅可比、高斯-塞德尔迭代法及bAx收敛性讨论)7 设 ,21A1b(1) 设 是由雅可比迭代求解方程组 所产生的迭代向量,且 ,试写)(kxbAxTx)1,()0出计算 的精确表达式。)(2) 设 是 的精确解,写出误差 的精确表达式。*xbA*)(xk(3) 如构造如下的迭代公式 解方程组 ,试确定 的范)(

13、)()1( bAxkbAx围,使迭代收敛。(雅可比迭代及其收敛判断)8 对于给定的线性方程组 321x(1)讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。(2)对收敛的方法,取初值 ,迭代两次,求出 。(雅可比,T)0,()0 )3(2)1(,x高斯-塞德尔迭代法的计算和比较)9 证明对称矩阵 1A当 为正定矩阵,且只有当 时,用雅可比迭代法求解方程组122才收敛。(雅可比迭代法的收敛性)bAx9第七章 非线性方程求根习题主要考察点:二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根,迭代法求根的收 敛性和收敛速度的讨论。1 用二分法求方程 的正根,要求误差小于 0.05。 (二分法)012x2 说明方程 在

14、区间1,2内有惟一根 ,并选用适当的迭代法求 (精4ln*x*x确至 3 位有效数) ,并说明所用的迭代格式是收敛的。 (迭代法)3 设有解方程 的迭代法 (1)证明 均有0cos21xnncos3241R0( 为方程的根) 。(2)此迭代法的收敛阶是多少,证明你的结论。 (3) 取*limxn用此迭代法求方程根的近似值,误差不超过 ,列出各次迭代值。 (和收敛性讨40 30论)4 设 , ,试证明:由 ,得到的序)(x1)(ax ,10)(1nxn列 收敛于 。 (收敛性证明)n5 设方程 在0,1 内的根为 ,若采用迭代公式 ,试0sin23x*x nnxxsi321证明: 均有 为方程的

15、根);此迭代的收敛阶是多少,证明你的结论。Rx0 *(lm(迭代法和收敛性讨论)6 方程 在 附近有根,把方程写成 3 种不同的等价形式:123x5.0x(1) ,对应迭代格式:221nnx(2) ,对应迭代格式:3x3(3) ,对应迭代格式:1211nnx讨论这些迭代格式在 时的收敛性。若迭代收敛,试估计其收敛速度,选一种收敛5.0x格式计算出 附近的根到 4 位有效数字。 (收敛速度的计算和比较).07 设 23)()axf(1) 写出解 的牛顿迭代格式;10(2) 证明此迭代格式是线性收敛的。(牛顿迭代的构造与收敛速度)8 设计一个计算 的牛顿迭代法,且不用除法(其中 ) 。 (牛顿迭代法)a10a9 用牛顿法求 的近似值,取 或 11 为初始值,计算过程保留 4 位小数。 (牛顿510x迭代的构造)10 设 是非线性方程 的 m 重根,试证明:迭代法*x)(f)(1nnxf具有至少 2 阶的收敛速度。 (收敛速度证明)11 设 是非线性方程 的 m 重根,证明:用牛顿迭代法求 只是线性收敛。 (收*x0)(f *x敛速度证明)12 设 , 在 附近有直到 阶的连续导数,且 ,a)()(xp 0)()(1 aap,试证:迭代法 在 附近是 阶收敛的。 (收敛速度证明)0)(p )(1nnxap

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