1、概率论与数理统计 （第四版）选做习题全解1A B124题 15.8 图3 1.一打靶场备有 5支某种型号的枪,其中 3支已经校正,2 支未经校正.某人使用已校正的枪击中目标的概率为 ,使用未经校正的枪击中目标的概率为 .他随机地取一支枪进行射击,已知他射击了 5次,都1p 2p未击中,求他使用的是已校正的枪的概率(设各次射击的结果相互独立). 2.某人共买了 11只水果,其中有 3只是二级品,8 只是一级品.随机地将水果分给 三人,各CBA、人分别得到 4只、6 只、1 只.(1)求 未拿到二级品的概率.C(2)已知 未拿到二级品,求 均拿到二级品的概率.BA,(3)求 均拿到二级品而 未拿到
2、二级品的概率.BAC3.一系统 由两个只能传输字符 0和 1的独立工作的子系统 和 串联而成(如图 15.3),每个子系L 1L2统输入为 0输出为 0的概率为 ;而输入为 1输出为 1的概率也是 .今在图中 端输入字符 1,求)(ppa系统 的 端输出字符 0的概率.b1L2Lb题 15.3图4.甲乙二人轮流掷一骰子,每轮掷一次,谁先掷得 6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、乙得胜的概率各为多少?5.将一颗骰子掷两次,考虑事件 “第一次掷得点数 2或 5”, “两次点数之和至少为 7”，求AB并问事件 是否相互独立.)(BPA,6. 两人轮流射击,每次各人射击一枪,射击的次序为 ,射击直至击中两枪
3、为止.， A,设各人击中的概率均为 ,且各次击中与否相互独立.求击中的两枪是由同一人射击的概率.p7.有 3个独立工作的元件 1,元件 2,元件 3,它们的可靠性分别为 设由它们组成一个“3 个.,321p元件取 2个元件的表决系统”,记为 2/3 这一系统的运行方式是当且仅当 3个元件中至少有 2个正常.G工作时这一系统正常工作.求这一 2/3 系统的可靠性. 8. 在如图 15.8 图所示的桥式结构电路中，第 个继电器触点闭合的概率为 ， 各继电i ip.543器工作相互独立.求：（1）以继电器触点 1 是否闭合为条件，求 A到 B 之间为通路的概率. （2）已知 A 到 B 为通路的条件
4、下，继电器触点 3 是闭合的概率.9.进行非学历考试，规定考甲、乙两门课程，每门课考第一次未通过都允许考第二次考生仅在课程甲通过后才能考课程乙，如两门课程都通过可获得一张资格证书设某考生通过课程甲的各次考试的概率论与数理统计 （第四版）选做习题全解2概率为 ，通过课程乙的各次考试的概率为 ，设各次考试的结果相互独立又设考生参加考试直至获1p2p得资格证书或者不准予再考为止以 表示考生总共需考试的次数求 的分布律以及数学期XX望 )(XE10.(1)5只电池,其中有 2只是次品,每次取一只测试,直到将 2只次品都找到.设第 2只次品在第次找到,求 的分布规律(注:在实际上第 5次检测可无需进行)
5、.)5432(2)5只电池,其中 2只是次品,每次取一只,直到找出 2只次品或 3只正品为止.写出需要测试的次数的分布律.11向某一目标发射炮弹设炮弹弹着点目标的距离为 (单位:10 ), 服从瑞利分布,其概率密度Rm为.0,0,25)(/2rerfrR若弹着点离目标不超过 5 时,目标被摧毁.m(1)求发射一枚炮弹能摧毁目标的概率.(2)为使至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率不小于 0.94,问最少需要独立发射多少枚炮弹.12设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为 ，击伤的概率为 ，击不中的概率为 .并设击伤两次312161也会导致潜水艇下沉.求释放 4 枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.（提示：先求击
6、不沉的概率.）13 一盒中装有 4 只白球，8 只黑球，从中取 3 只球，每次一只，作不放回抽样.14设元件的寿命 (以小时计)服从指数分布,分布函数为T .0,1)(3.0tetFt(1)已知元件至少工作了 30小时,求它能再至少工作 20小时的概率.(2)由 3个独立工作的此种元件组成一个 2/3 系统(参见第 7题),求这一系统的寿命 的概G2X率.15.(1)已知随机变量 的概率密度为 求 的分布函数.X,21)(xexfxX(2)已知随机变量 的分布函数为 另外有随机变量 试求 的分布律和分,F,0,1XYY布函数.16.(1) 服从泊松分布,其分布律为X ,210,!kekXP问当
7、 取何值时 为最大.kkP(2) 服从二项分布,其分布律为X .,210,)1(nkpknXn概率论与数理统计 （第四版）选做习题全解3问当 取何值时 为最大.kkXP17. 若离散型随机变量 具有分布律1 2 n kpn1称 服从取值为 的离散型均匀分布.对于任意非负实数 ，记 为不超过 的最大整数.X, xx记 证明 服从取值为 的离散型均匀分布.),10(U1n,218.设 求 的概率密度.),2XY19.设 的概率密度X.1,2,0,)(xxxfX求 的概率密度.XY120. 设随机变量 服从以均值为 的指数分布.验证随机变量 服从以参数为 的几何1XYe1分布.这一事实表明连续型随机
8、变量的函数可以是离散型随机变量.21.投掷一硬币直至正面出现为止,引入随机变量投掷总次数.,01、Y(1)求 和 的联合分布律及边缘分布律.X(2)求条件概率 .1|2,|XYPP22.设随机变量 随机变量 试求 和 的联合分布律及边缘分布律.)(),max(XY23. 设 ， 是相互独立的泊松随机变量，参数分别为 求给定 的条件下 的条X ,21nYX件分布.24. 一教授将两篇论文分别交给两个打字员打印.以 ， 分别表示第一篇第二篇论文的印刷错误.设 ， 相互独立.),(),(YY（1）求 ， 的联合分布律；X（2）求两篇论文总共至多 1 个错误的概率.25. 一等边三角形 (如图 15.
9、25)的边长为 1,在三角形内随机地取点 (意指随机点ROT ),YXQ概率论与数理统计 （第四版）选做习题全解4在三角形 内均匀分布). ),(YXROT(1) 写出随机变量 的概率密度. ),(YX(2) 求点 的底边 的距离的分布密度.QT26. 设随机变量 具有概率密度),(.,0,0),)1(、yxeyxfyx(1) 求边缘概率密度 )(,fYX(2) 求条件概率密度 .| xyxX27. 设有随机变量 和 ，它们都仅取 ， 两个值已知UV1,2/1P.|3| UPV(1)求 和 的联合分布密度.(2)求 的方程 至少有一个实根的概率.x02Vx(3)求 的方程 至少有一个实根的概率
10、 .)(28. 某图书馆一天的读者人数 ,任一读者借书的概率为 ,各读者借书与否相互独立.记一天)(Xp读者借书的人数为 ,求 与 的联合分布律.Y29. 设随机变量 X 和 Y 相互独立,且都服从 U(0,1),求两变量之一至少为另一变量之值两倍的概率 .30. 一家公司有一份保单招标，两家保险公司竞标.规定标书的保险费必须在 20 万元至 22 万元之间.若两份标书保险费相差 2 千或 2 千以上，招标公司将选择报价低者，否则就重新招标.设两家保险公司的报价是相互独立的，且都在 20 万至 22 万之间均匀分布.试求招标公司需重新招标的概率.31. 设 且 相互独立,求概率),0(),0(
11、21NYX.20112YP32. NBA 篮球赛中有这样的规律，两支实力相当的球队比赛时，每节主队得分与客队得分之差为正态随机变量，均值为 1.5，方差为 6，并且假设四节的比分差是相互独立的.问（1）主队胜的概率有多大？（2）在前半场主队落后 5 分的情况下，主队得胜的概率有多大？（3）在第 1 节主队赢 5 分得情况下，主队得胜的概率有多大？33. 产品的某种性能指标的测量值 X 是随机变量,设 X 的概率密度为其 他 0,)(21xexfXxyoRQ(x,y).题 15.2图概率论与数理统计 （第四版）选做习题全解5测量误差 YU( ),X,Y 相互独立,求 Z=X+Y 的概率密度 ,并
12、验证 )(zfZdueZP20/134. 在一化学过程中，产品中有份额 为杂质，而在杂质中有份额 是有害的，而其余部分不影响产XY品的质量.设 ，且 和 相互独立，求产品中有害杂质份额 的概率密度.)5.,(),1.0(UYYZ35. 设随机变量 的概率密度为X. 0,),(其 他 yxeyxfy(1) 求 的边缘概率密度.),(Y(2) 问 是否相互独立.X(3) 求 的概率密度、).(zfYX(4) 求条件概率密度 |yx(5) 求条件概率 .5|3P(6)求条件概率 |YX36.设图书馆的读者借阅甲种图书的概率为 ,借阅乙种图书的概率为 ,设每人借阅甲、乙图书p的行动相互独立，读者之间的
13、行动也相互独立.(1)某天恰有 n个读者,求甲、乙两种图书中至少借阅一种的人数的数学期望.37.某种鸟在某时间区间 下蛋数为 15 只,下 只蛋的概率与 成正比.一个收集鸟蛋的人在,0(t rr时去收集鸟蛋,但他仅当鸟窝多于 3 只蛋时他从中取走一只蛋.在某处有这种鸟的鸟窝 6 个(每个鸟窝0t保存完好,各鸟窝中蛋的个数相互独立).(1) 写出一个鸟窝中鸟蛋只数 的分布率.X(2) 对于指定的一只鸟窝,求拾蛋人在该鸟窝中拾到一只蛋的概率.(3) 求拾蛋人在 6 只鸟窝中拾到蛋的总数 的分布律及数学期望.Y(4) 求 4,YP(5) 当一个拾蛋人在这 6 只鸟窝中拾过蛋后,紧接着又有一个拾蛋人到
14、这些鸟窝中拾蛋,也仅当鸟窝中多于 3 只蛋时,拾取一只蛋,求第二个拾蛋人拾得蛋数 的数学期望.Z38. 设袋中有 只白球, 只黑球.在袋中取球 次,每次任取一只做不放回抽样,以 表rrN)(rnY示取到白球的个数,求 .)(YE39.抛一颗骰子直到所有点数全部出现为止,求所需投掷次数 的数学期望.Y概率论与数理统计 （第四版）选做习题全解640.设随机变量 相互独立.且 分别服从以 为均值得指数分布.求YX,YX,1, ).(2XYeE41.一酒吧间柜台前有 6 张凳子,服务员预测,若两个陌生人进来就坐的话,他们之间至少相隔两张凳子.(1) 若真有 2 个陌生人入内,他们随机地就坐,问服务员预
15、言为真的概率是多少?(2) 设 2 个顾客是随机坐的,求顾客之间凳子数的数学期望.42.设随机变量 相互独立，且都服从 又设 求概率1021,X ),10(U,1021XY的近似值.04YP43.来自某个城市的长途电话呼叫的持续时间 (以分计 )是一个随机变量,它的分布函数是X.0,0,e21)(33xxFx(其中 是不大于 的最大整数 ).3xx(1) 画出 的图形.)(F(2) 说明 是什么类型的随机变量.X(3) 求 (提示 ).6,4,3,4XPP )0()aFa44.一汽车保险公司分析一组(250 人) 签约的客户中的赔付情况 .据历史数据分析,在未来一周中一组客户中至少提出一项索赔
16、的客户数 占 10%.写出 的分布,并求 (即 )的概率.设12.503X各客户是否提出索赔相互独立. 45.在区间 随机地取一点 .定义)1,0( .70,minY(1) 求随机变量 的值域.Y(2) 求 的分布函数,并画出它的图形.(3) 说明 不是连续型随机变量, 也不是离散型随机变量 .46.设 是数学期望为 的指数分布总体 的容量为 2 的样本,设 ,试证明21XX21XY)4(YE47.设总体 是一个样本. 分别为样本均值和样本方差,试证nN,),(2122S422)(nSX48.设总体 具有概率密度:.0,0,1)(2xexfx概率论与数理统计 （第四版）选做习题全解7其中 为未
17、知参数, 是来自 的样本, 是相应的样本观察值.0nX,21 nx,21(1) 求 的最大似然估计量.(2) 求 的矩估计量.(3) 问求得的估计量是否是无偏估计量.49.设 以及 为分别来自总体 与 的样本,且它们1,21nX 2,nY ),(21N)(2相互独立. 均未知,试求 的最大似然估计量.,1,50.为了探究一批存贮着的产品的可靠性,在产品投入贮存时,即在时刻 时,随机地选定 只产品,0tn然后在预先规定的时刻 取出来进行检测(检测时确定已失效的去掉,将未失效的继续投入贮存),ktt,21今得到以下的寿命试验数据.检测时刻( 月) 1t2t kt区间 ,1it ,0(,(1 ,(1
18、),(1kt在 的(i失效数1d2 kdskinsd1这种数据称为区间数据.设产品寿命 服从指数分布,其概率密度为T未知,0)(其 它tetf0(1) 试基于上述数据写出 的对数似然方程.(2) 设 我们可以用数值解法求得 的最大似然估计值.在计算机上实现是容易的.特别,取检测.,1nsd时间是等间隔的,即取 验证,此时可得 的最大似然估计为,21,kiti kiiskdnt21)1(l51. 设某种电子器件的寿命（以小时计） 服从指数分布，概率密度为：T其 他 ，,0,e)(ttf其中 未知从这批器件中任取 只在时刻 时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间 结0n0t 0T束此时有 只器件失
19、效，试求 的最大似然估计)(nk52.设系统由两个独立工作的成败型元件串联而成(成败型元件只有两种状态:正常工作或失效).元件 1、概率论与数理统计 （第四版）选做习题全解8元件 2 的可靠性分别为 ,它们均未知.随机地取 个系统投入试验,当系统中至少有一个元件失效时21pN系统失效,现得到以下的试验数据: 仅元件 1 失效的系统数; 仅元件 2 失效的系统数; 元件 1,1n2n12n元件 2 至少有一个失效的系统数; 未失效的系统数. .这里 为隐蔽数据,也就是s Ns11 12只知系统失效,但不知道是由元件 1 还是元件 2 单独失效引起的,还是由元件 1,2 均失效引起的,设隐蔽与系统
20、失效的真正原因独立.(1)试写出 的似然函数.21,p(2)设有系统寿命试验数据 试求 的最大似然估计.1,3,5,20121snnN21,p53.(1)设总体 具有分布律X未知,今有样本 1 1 1 3 2 1 3 2 2 1 2 2 3 1 1 2.试求 得最大似然估计值和矩0 估计值.(2)设总体 服从 分布,其概率密度为X.,0,0,)()(1其 他xexf 其形状参数 为已知,尺度参数 未知.今有样本值 ,求 的最大似然估计值.a nx,21 54.(1)设 即 服从对数正态分布,验证),(ln2NXZX.21ep)(XE(2)设自(1)中总体 中取一容量为 的样本 求 的最大似然估
21、计,此处设 均n.,21nx 2,为未知.(3)已知在文学家萧伯纳的An Intelligent Womens Guide To Socialism一书中,一个句子的单词数近似地服从对数指数分布,设 及 为未知.今自该书中随机地取 20 个句子.这些句子中的单词数分2别为 52 24 15 67 15 22 63 26 16 32 7 33 28 14 7 29 10 6 59 30,问这本书中,一个句子的单词数均值的最大似然估计值等于多少?55.考虑进行定数截尾寿命试验，假设将随机抽取的 件产品在时间 时同时投入试验.试验进行n0t到 件 产品失效时停止, 件失效产品的失效时间分别为m)(n
22、m.mtt210是第 件产品失效的时间.设产品的寿命分布为韦布尔分布,其概率密度为mt 其 他00,)(1xexf1 2 3kp概率论与数理统计 （第四版）选做习题全解9其中参数 已知.求参数 的最大似然估计.56.设某大城市郊区的一条林荫道两旁开设了许多小商店，这些商店的开设延续时间（以月计）是一个随机变量，现随机地抽取 30 家商店，将它们的延续时间按自小到大排序，选其中前 8 家商店，它们的延续时间分别是3.2 3.9 5.9 6.5 16.5 20.3 40.4 50.9假设商店开设延续时间的长度是韦布尔随机变量. 其概率密度为其 他00,)(1xexf其中， .80（1）试用上题结果
23、，写出 的最大似然估计.（2）按（1）的结果求商店开始延续时间至少为 2 年的概率的估计.57.设分别自总体 和 中抽取容量 的两独立样本.其样本方差分别为),(21N),(221,n试证,对于任意常数 都是 的无偏估计,并确定常数 使.,21S ,bSaZba2ba,达到最小. )(ZD58.设总体 是来自 的样本.已知样本方差 nXNX,),(212 niIXS122)(是 的无偏估计.验证样本标准差 不是标准差 的无偏估计. 2S59.设总体 服从指数分布,其概率密度为 未知.从总体中抽取一容量X,01)(/其 他xexf0为 的样本 (1)证明 (2)求 的置信水平为 的单侧置信下限.
24、n.,21n .)2(nX1(3)某种元件的寿命(以小时计 )服从上述指数分布,现从中抽得一容量为 的样本,测得样本均值为6n5010(小时), 试求元件的平均寿命的置信水平为 0.90 的单侧置信下限 . 60. 设总体 是来自 的样本.nXUX,),0(21(1)验证 的分布函数为 ),max(21nY .,1,0/,)(yyFnY(2)验证 的概率密度为 /U.,0)(1其 他uufnU概率论与数理统计 （第四版）选做习题全解10(3)给定正数 ,求 的分布的上 分位点 以及上 分位点 ,10aU2/2/h2/1.2/1h(4)利用(2)(3) 求参数 的置信水平为 的置信区间. (5)
25、设某人上班的等车时间 未知.现在有样本,)0(X求 的置信水平为 0.95 的置信区间. 42,.1,7.,5.3,2.4541 xxx61.设总体 服从指数分布,概率密度为 X.,0,)(/其 他xexf.0设 是来自 的样本.试取 59 题中当 时的统计量 作为检验统计量,检验假nX,21 002Xn设 取水平为 (注意: ).:,:010H)XE设某种电子元件的寿命(以小时计 )服从均值为 的指数分布 ,随机取 12 只元件,测得它们的寿命分别为 340 , 430 , 560 , 920 , 1380 , 1520 , 1660 , 1770 , 2100 , 2320 , 2 件 3
26、50 , 2650 .试取水平 检验假设 ,05.1450:1450:062经过十一年的试验,达尔文于 1876 年得到 15 对玉米样品的数据如下表,每对作物除授粉方式不同外,其它条件都是相同的.试用逐对比较法检验不同授粉方式对玉米高度是否有显著的影响( ).问05.应增设什么条件才能用逐对比较法进行检验?授粉方式 1 2 3 4 5 6异株授粉的作物高度( xi) 23.125 12 20.375 22 19.125 21.5同株授粉的作物高度( xi) 27.375 21 20 20 19.375 18.6257 8 9 10 11 12 13 14 1522.125 20.375 18
27、.25 21.625 23.25 21 22.125 23 1218.625 15.25 16.5 18 16.25 18 12.75 25.5 1863一内科医生声称,如果病人每天傍晚聆听一种特殊的轻音乐会降低血压(舒张压,以 记)Hgm今选取了 个病人在试验之前和试验之后分别测量了血压 ,得到以下的数据：10病人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10试验之前( )ix86 92 95 84 80 78 98 95 94 96试验之后( )iy84 83 81 78 82 74 86 85 80 82设 为来自正态总体 的样本, 均已知试检验是否可以认为10,2YXDiii )(2DN2,D医生的意见是对的(取 )5.
