1、海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准 201401一. 选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）答案 C D B A D B C B二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（9） （10） （11） 或10310y321（12） （13） （14）3注：（11）题少一个答案扣2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分 10 分）解：（）设 ，则 ， ， .2(,)Mxy(0,)Ny(,)OMxy(4,)NAy分因为
2、 直线 ，OA所以 ，即 . 4 分24xy24x所以 动点 的轨迹 C 的方程为 （ ）. 50分（）当 时，因为 ，所以 .6MOAONA3O所以 直线 的倾斜角为 或 . N32当直线 的倾斜角为 时，直线 的方程为 ； 840xy分当直线 的倾斜角为 时，直线 的方程为 . 10A23NA3分（16）（本小题满分 11 分）解：（）原方程等价于 . 214xy由方程可知： ， ， ， . 32a2b228cab2c分所以 椭圆 的焦点坐标为 ， ，长轴长 为 .5 分C(0,)(,)a43（）由 可得 : .231xy， 2x解得： 或 . 所以 点 的坐标分别为 ， . 7 分,AB
3、(2,0)1,3)所以 中点坐标为 ， . 922|(03)AB分所以 以线段 为直径的圆的圆心坐标为 ，半径为 .AB1(,)22所以 以线段 为直径的圆的方程为 . 11 分39xy（17）（本小题满分 11 分）（）证明：在正方形 中， .ABCDA因为 ， ，P所以 平面 1分因为 平面 ，A所以 2CDP分同理， B因为 ，所以 平面 3 分PAC（）解：连接 ，由（ ）知 平面 PABCD因为 平面 ，B所以 4分因为 ， ，3PC2A所以 1分别以 ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，DBxyz如图所示.由题意可得： ， ， ， (0,1)(,0)(1,)C
4、(0,1)P所以 ， ， ， CPBD(,)B设平面 的一个法向量 ，PD(,)xyzn则 即 令 ，得 .0，n0.yz1所以 (1,)同理可求：平面 的一个法向量 6 分PDB(,)m所以 106cos, 32n|所以 二面角 的余弦值为 8C分（）存在理由如下：若棱 上存在点 满足条件，设 ， PDE(,0)PED0,1所以 9 分(1,)(,0)1C因为 平面 的一个法向量为 BA所以 2|cos,| (1)ECP令 解得： .21sin30,2()经检验 ,所以 棱 上存在点 ，使直线 与平面 所PDECBD成的角是 ，此时 的长为 30 2111 分z yxAB CDP（18）（本
5、小题满分 12 分）解：（）由 知，22222 2221(1)11abababa和 不在椭圆 上，即椭圆 经过 ， ， .32(,)P5(1,)M1(,)P2(0,)4(,)2P于是 .ab所以 椭圆 的方程为： . 221xy分（）当 时，设直线 ，由 得90A:BCxtym2, xyt.设 ，则 ，22()()0tytm12(,)(,)21680mt12,. ty所以 12121()()ABCyykxtmt122 21()()tytmy.()于是 ，此时 ，所以 直线 .23216809t2:3BCxty因为 ，故线段 与 轴相交于 ，即原点在线段 的延12690ytBCx(,0)MAM长线上，即原点在 的外部，符合题设. 6A分所以 1212|23ABCSMyy
