1、理科数学试题 第 1 页（共 22 页）绝密 启用前2016 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
2、求的（1）已知集合 ， ，则1Ax20BxAB（A） （B） （C） （D）101x01x（2）已知复数 ，其中 为虚数单位，则复数 的共轭复数 所对应的点在3i1zizz（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，如果输入 ，则输出 的值为3xk（A）6 （B）8 （C）10 （D）12（4）如果函数 的相邻两个零点之间的距离为 ，则 的值为sin6fx06（A）3 （B）6 （C）12 （D）24（5）设等差数列 的前 项和为 ，且 ，则nanS27124a13S（A）52 （B）78 （C）104 （D）208（6）如果 ， ， 是抛物线
3、： 上的点，它们的横坐标依次为 ， ， ，1P2n2yx1x2nx是抛物线 的焦点，若 ，则FC1210nx 12nPFPF（A） （B） （C） （D）0n 0n0（7）在梯形 中， ，已知 ， ，若 ，则DA4AD6BmBAC,R开始 0k22 结束输入 x 是否 输出 k10?x理科数学试题 第 2 页（共 22 页）mn（A） （B） （C） （D） 313133（8）设实数 ， 满足约束条件 则 的取值范围是xy0,1xy， 22xy（A） （B） （C） （D）1,72,71,72,17（9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 ，顶点都在同一个球面上，则该球
4、的体积为（A） （B） （C） （D）2053556（11）已知下列四个命题：若直线 和平面 内的无数条直线垂直，则 ； 1pll：若 ，则 ， ；22xfxRfxf：若 ，则 ， ；310,01f：在 中，若 ，则 4pABCsiniAB其中真命题的个数是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（11）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（A） （B）8246826（C） （D） 14（12）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角形” 1 2 3 4 5 2013 2014 2015 20163 5 7
5、9 4027 4029 40318 12 16 8056 806020 28 16116理科数学试题 第 3 页（共 22 页）该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（A） （ B） （C） （D）20157201472015620146第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22题第 24 题为选考题，考生根据要求做答二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分（13）一个总体中有 60 个个体，随机编号 0，1，2，59，依编号顺序平均分成 6 个小组，组号依次为 1，
6、2，3，6现用系统抽样方法抽取一个容量为 6 的样本，若在第 1 组随机抽取的号码为 3，则在第 5 组中抽取的号码是 （14）已知双曲线 ： 的左顶点为 ，右焦点为 ，点 ，且C21xyab0,bAF0,Bb，则双曲线 的离心率为 0BAF（15） 的展开式中， 的系数为 （用数字填写答案）42x3（16）已知函数 则函数 的零点个数为 个21,1,xf， 2xgf三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17） （本小题满分 12 分）如图，在 中，点 在边 上， ，ABCDABC， , .532（）求 的长；（）求 的面积（18） （本小题满分 12 分）从某企业生产的某种产品中
7、抽取 100 件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间 ， ， 内的频率之比为 5,6,75,84:21（）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；75,8（）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取 3 件，记这 3 件产A BCD质量指标值0.0120.0040.0190.03015 25 35 45 55 65 75 850频率组距理科数学试题 第 4 页（共 22 页）品中质量指标值位于区间 内的产45,7品件数为 ，求 的分布列与数学期望X（19） （本小题满分 12 分）如图，四棱柱 的底面 是菱形， ， 底面 ，1ABCDA
8、BCDBO1ABCD21（）证明：平面 平面 ；1O1（）若 ，求二面角 的余弦值60BADBC（20） （本小题满分 12 分）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，左顶点为 ，左焦点为 ，点CxA120F，在椭圆 上，直线 与椭圆 交于 ， 两点，直线 ， 分别与2B, 0ykCEAE轴交于点 ， yMN（）求椭圆 的方程；（）以 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由（21） （本小题满分 12 分）已知函数 , +3()exmfln12gx1DA BCDO1A11理科数学试题 第 5 页（共 22 页）（）若曲线 在点 处的切线斜率为 ，求实数 的值；
9、yfx0f， 1m（）当 时，证明： .1m3()gx请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答时请写清题号（22） （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图所示， 内接于 ，直线 与 相切于点 ，交 的延长线于点 ，过点 作ABCOADABCD交 的延长线于点 DEE（）求证： ；2（）若直线 与 相切于点 ，且 ， ，FF42E求线段 的长AC（23） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐xOyOx C标方程为 ， .sin20,2（）求曲
10、线 的直角坐标方程；C（）在曲线 上求一点 ，使它到直线 ： （ 为参数， ）的距离最短，并Dl3,2xtyttR求出点 的直角坐标.（24） （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲FCD OABE理科数学试题 第 6 页（共 22 页）设函数 1fxax（）当 时，求不等式 的解集；12f（）若对任意 ，不等式 的解集为空集，求实数 的取值范围0,xbb绝密 启用前2016 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学试题答案及评分参考评分说明:1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解
11、答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题不给中间分一选择题（1）D （2）D （3）C （4）B （5）C （6）A（7）A （8）A （9）D （10）B （11）A （12）B二填空题（13） （14） （15） （16）43512402三解答题（17）() 解法一： 在 中，因为 ，设 ，则 ABC2DAx0BDx在 中，因为 ， ， ，BCD5B所以 2 分cos2x在
12、中，因为 ， ， ， A5CD3A由余弦定理得 4 分22225(3)cos x理科数学试题 第 7 页（共 22 页）因为 ，CDBA所以 ，coscosCB即 5 分225(3)5xx解得 所以 的长为 . 6 分AD5解法二： 在 中，因为 ，设 ，则 BC2DAx02BDx在 中，因为 ， ， ，5B所以 245x所以 2 分24cosBCxD在 中，因为 ， ， ， A3253AC由余弦定理得 4 分2210cos645AxBB所以 5 分245x2130645x解得 所以 的长为 . 6 分AD5（）解法一：由（）求得 ， 8 分315ABx245Cx3所以 ，从而 10 分cos
13、2C1sinD所以 1iABCS12 分17535224解法二：由（）求得 ， 8 分ABx245Cx3因为 ，所以 为等腰三角形3AC理科数学试题 第 8 页（共 22 页）因为 ，所以 10 分3cos2BCD30BD所以 底边 上的高 A152h所以 12BCS12 分5374解法三：因为 的长为 ，AD5所以 ，解得 8 分1cos=2CBx3CDB所以 125sin34ADCS10 分i2B所以 12 分7534ABCDBCSS（18）解：（）设区间 内的频率为 ，75,8x则区间 ， 内的频率分别为 和 1 分5,642依题意得 ，3 分0.4.120.9.310x解得 x所以区间
14、 内的频率为 4 分75,8.5（）从该企业生产的该种产品中随机抽取 3 件，相当于进行了 3 次独立重复试验，所以 服从二项分布 ，其中 X,Bnp由（）得，区间 内的频率为 ，4570.2+.1=06将频率视为概率得 5 分0.6因为 的所有可能取值为 0，1，2，3，6 分X理科数学试题 第 9 页（共 22 页）且 ， ，033()C.640.6PX123()C0.64.8PX， 212016所以 的分布列为： X0 1 2 3P0.064 0.288 0.432 0.216所以 的数学期望为 .640.8.420.16.8E（或直接根据二项分布的均值公式得到 ）12 分3EXnp（1
15、9） （）证明：因为 平面 ，1AOBCD平面 ，BDC所以 1 分1因为 是菱形，所以 2 分O因为 ，1AC所以 平面 3 分BD1因为 平面 ，所以平面 平面 4 分11ACO（）解法一：因为 平面 ， ，以 为原点， ， ， 方BDOBC1OA向为 ， ， 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系5 分xyz因为 ， ，12AB60A所以 ， ， 6 分OD3OC211A则 ， ， ， ，,0,0,所以 ， 7 分11BA11+3B设平面 的法向量为 ，O,xyzn因为 ， ，1,01310 分zyxA BCDO1A1B1C1DA BCDO1A1B1C1D理科数学试题 第 10 页（共 22
16、 页）所以0,3.xyz令 ，1得 9 分0,n同理可求得平面 的法向量为 10 分1OCB1,0m所以 11 分36cos,42n因为二面角 的平面角为钝角，1B所以二面角 的余弦值为 12 分1OC64解法二：由（）知平面 平面 ，1A1BD连接 与 交于点 ，1A1BD连接 ， ，CO因为 ， ，11/C所以 为平行四边形A因为 ， 分别是 ， 的中点，O11A所以 为平行四边形且 C1OC因为平面 平面 ，11BD过点 作 于 ，则 平面 HH1BD过点 作 于 ，连接 ，则 1KOCKO所以 是二面角 的平面角的补角6 分C1B在 中， 7 分1Rt132H在 中，因为 ，所以 1OCB1A1B221115OABA B CD O1A1B1C1KHO
