1、1二次函数复习知识点一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如 yax 2+bx+c（a,b,c 是常数， a0 ）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似， 二次项系数a0 ，而 可以为零二次函数的 定义域是全体实数 bc何2. 二次函数 yax 2+bx+c 的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次多项式。 （含自变量的代数式是整式，x自变量的最高次数是 2， 二次项系数不为 0.） 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项abc何abc二、二次函数的基本形式1. yax 2 的性质 ：2. yax 2k 的性质： （k 上加下减）3. ya（
2、x- h） 2 的性质 ： （h 左加右减 ）的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质（增减性）0向上 （0，0） 轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小值y0a向下 （0，0） 轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大值xx的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质（增减性）0向上 （0，k） y轴时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小值yka向下 （0，k） 轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大值x0xk的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质（增减性）0a向上 （
3、h，0） 直线 x=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小值y24. ya (xh) 2k 的性质：5. yax 2+bx+c 的性质：三、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a. ( 决定了抛物线开口的大小和方向)a二次函数 中，a 作为二次项系数，显然 a02yxbc 当 时，抛物线开口向上，当 时，抛物线开口向下；0a0 的绝对值越大，开口越小，反之 的绝对值越小，开口越大。总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小00a向下 （h，0） 直线 x=h时， 随 的增大而减小； 时，xhyxx
4、h随 的增大而增大； 时， 有最大值y0的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质（增减性）0a向上 （h，k） 直线 x=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小值yk向下 （h，k） 直线 x=h时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大值yxxh的符号a开口方 向 顶点坐标 对称轴 性质（增减性）0a向上24bac何直线 bxa时， 随 的增大而增大；2xyx时， 随 的增大而减小；时， 有最小值 2xy24acb0a向下24bac何直线 bxa时， 随 的增大而减小；x时， 随 的增大而增大；2xy时， 有最大值 24acb32.
5、一次项系数 b （a 和 b 共同决定抛物线对称轴的位置）.抛物线 的对称轴是直线 ，故： 时，对称轴为 轴；cxy2 abx20y （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧； （即 、 异号）时，对称yab轴在 轴右侧. yab 的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧abx20y则 ，概括的说就是“ 左同右异 ”0ab3. 常数项 c ( 决定了抛物线与 轴交点的位置)y 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；xy 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ；0cy 0 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点
6、的纵坐标为xy负总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置cy总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的ab何四、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一 ： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标2yaxhk；hk何 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如2yaxhk何下： 【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0为例，a0对称轴： 12x交点式： 12()ya12x当 或 时 ， 0当 时 ， 0当 x为全体实数时，y0二次函数 aO；4a+cO，其中正确结论的个数为(D ) A 1个 B. 2 个 C. 3 个 D4 个14、已知
7、：关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=3的一个根为 x=2，且二次函数 y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为(C )A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2)15、你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m、25 m处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是 15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( B )A15 m B1625 m C166 m D167 m 16、
8、已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 ，求这条抛物线的解析式。35x17、已知抛物线 （a0）与 x轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y轴交2yaxbc点的纵坐标是 （1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称329轴和顶点坐标.18、已知抛物线 y= x2+x- 15（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线与 x轴的两个交点为 A、B，求线段 AB的长19、如图，二次函数 的图象经过 A 、B、C 三点.cbxay2（1）观察图象，写出 A 、B、C 三点的坐标，并求出抛物线解析式;（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴;（3）观察图象，当 x
9、取何值时，y0？y0？y0?20、已知抛物线 y=x2+（2k+1）x-k 2+k(1) 求证：此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点；（2）设 A（x 1，0）和 B（x 2，0）是此抛物线与 x 轴的两个交点，且满足 x12+x22= -2k2+2k+1，求抛物线的解析式此抛物线上是否存在一点 P，使PAB 的面积等于 3，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。【解析】(1)=(2k+1)-4*1*（-k+k)=8k+10 恒成立此抛物线线与 x轴总有两个不同的交点（2） x1+x2=-2k+2k+1 x1+x2=-b/a=2k+1 x1*x2=c/a=-k+kx 1+x2=（
10、 x1+x2）-2x 1x2=（2k+1 ）-2 （-k+k）=6K+2k+1=-2k+2k+1解得 k=0 抛物线的解析式是 y=x+x点 A 和点 B 是抛物线 y=x+x 与 x 轴的两个交点由 x+x=0 ，得 x1=-1， x2=0 则 AB=1-1 4yxAB5O10又PAB 的面积等于 3 设 P（x ，y）S=（1/2）*1*y=3 则 y=6由 x+x=6，得 x1=2，x 2=-3 即 P1（2，6） 或 P2（-3，6）21、如图（单位：m） ，等腰三角形 ABC以 2米/秒的速度沿直线 L向正方形移动，直到 AB与 CD重合设 x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 y
11、m2（1）写出 y与 x的关系式；（2）当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.22、某产品每件成本 10元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：x（元） 15 20 30 y（件） 25 20 10 若日销售量 y是销售价 x的一次函数（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【解析】 （1）设此一次函数表达式为 y=kx+b则 解得 k=-1，b=40，即
12、一152,0kb次函数表达式为 y=-x+40（2）设每件产品的销售价应定为 x元，所获销售利润为 w元w=（x-10） （40-x）=-x 2+50x-400=-（x-25） 2+225产品的销售价应定为 25元，此时每日获得最大销售利润为 225元23. 如图，抛物线 经过点 A(1,0)，与n5yy轴交于点 B。（1）求抛物线的解析式；（2）P 是 y轴上一点，且PAB 是以 AB为腰的等腰三角形，请写出 P点坐标。解：（1）A（1，0 ）在抛物线上，可把 A点坐标代入方程得-1 2+51+n=0，解得 n=-4， 抛物线的解析式为 y=-x2+5x-4；（2 ）把 x=0代入抛物线方程得 y=-4， B点坐标为（0，-4） ， PAB是以 AB为腰的等腰三角形，可分两种情况：PA=AB；PB=AB，
