1、河南工业大学求是学社 为了更多人活得更好而努力！12017-2018 学年度第一学期线性代数试题卷命题：求是学社线性代数命题研究组填空题1、排列 的逆序数等于 4，排列 的逆序数654321a 123456a等于 2、设 A= ，而 n2 为整数，则 = 10 1-nA3、设 4 阶方阵 的伴随矩阵为 ，若 ，则 = A*A2）（R）（ *AR4、4、向量组， ， ， ，）（ 0,1-u1）（ 1,u-2)1,0v(3线性无关，则 满足的关系是 )0,1(v5、设四阶矩阵 与 相似，矩阵 的特征值为 则行列式ABA8,643= 丨丨 EB1选择题1、设 都是 阶非零矩阵，且 ，则 和 ( )B
2、A,n0AB)(ARBA、必有一个等于 0B、一个小于 ，一个等于nn河南工业大学求是学社 为了更多人活得更好而努力！2C、都小于 nD、一个小于 ，一个大于 n2、若向量组 线性无关， 线性相关，则（ ）, ,A、 必可由 线性表示 ,B、 必可由 线性表示,C、 必可由 线性表示 ,D、 必可由 线性表示,3、设 均为 阶对称矩阵，则可能不是对称矩阵的是（ BA,n）A、 B、 C、 D、 ( 为正整数）TABnA4、齐次线性方程组 有非零解，则（ ）02k31xA、 或 B、 或3k 4k1B、 或 D、 或415、设有向量组 ， ， ，)4,1(),130(2)14,703(， ，则该
3、向量组的极大线性无关组是)0,21(405,2河南工业大学求是学社 为了更多人活得更好而努力！3（ ）A、 B、321,421，C、 D、521， 5421，计算题1、计算行列式 05320142703D2、设方程组 讨论 a 的取值，使得方程组,031213xa有唯一解，无解，有无穷多个解。当方程有无穷多个解时，并求出其通解。3、 ，求向量组的一个极1052-14703241- 大线性无关组与秩，并把其余向量用极大线性无关组线性河南工业大学求是学社 为了更多人活得更好而努力！4表示。4、设 A= ，P= ， ,令 M=B+2E，求 M3210PAB*1-的特征值与特征向量。5、设 A 为四阶
4、矩阵，A = ，又 ,求*803-1EBA31-矩阵 B。证明题设 阶矩阵 的伴随矩阵为 ,证明:nA*A(1)若 ,则 ;0*（2） ）（ 1-n*2017-2018 学年度线性代数试题卷答案填空题河南工业大学求是学社 为了更多人活得更好而努力！51、 1462)a13456（2、 10)2(21-n10-nAEA 02-nA3、当 时， ，于是-n)(Rij )(*R4、由 线性无关4321,的行列式010u432v 010vu010)(110-u32 vuvrv 01)(uv011)(21uvvc )(uv25、因为 BA所以 特征值相同、的特征值 B8,643， 1B8643，E17,
5、5,29638x)4(31 B河南工业大学求是学社 为了更多人活得更好而努力！6选择题：1、C.当 时（ 都为 阶方阵）0ABn由定理 ）（）（ BR又 都为非零矩阵A、所以 均小于）（） 、（ BRn2、C因为 线性相关，、所以 线性相关（部分相关，整体相关）、又 线性无关、所以 为 的极大无关组、 、则 可由 线性表示、（向量组的任何一个向量都可以由线性无关组表示）3、C TTBA)(河南工业大学求是学社 为了更多人活得更好而努力！7因为 为对称矩阵，BA、所以 TT、所以 BA所以 是对称矩阵 BAABABAB TTTTTT )()()()(又 T所以 为对称矩阵ABT)(4、B当 ，
6、时 仅有零解0AXn)(R时 有非零解当 ，此时 n)(AR0A 0)4(132)1(3k2132k-10r12k223 kk所以 4或5、B河南工业大学求是学社 为了更多人活得更好而努力！8设 24013142r0142573),( 1354321ATTT001340123r4 01极大无关组为3)(AR),421TT，（于是本题中为 T421,注（考试时将向量全部转置为列向量求秩和极大无关组）大题1、解：按最后一列展开 得：532014)(5再按第一列展开 得：532140)(15再按第一行展开 得：2631425312）（河南工业大学求是学社 为了更多人活得更好而努力！92、方程组可写为
7、 AX=b，对增广矩阵(A,b)进行初等行变换得3)(10aa（1）当 a -1 且 a -3 时，R（A）=R(A,b),所以方程组有唯一解（2）当 a=-1，R(A)R(A,b),无解（3）当 a=3，R(A)=R(A,b)=23,有无穷多解(A,b)化为行最简型 ，所以 X=k01-37 )01-37Rk（3、把 化为行最简型 。则向量组的4321， 00123一个最大线性无关组 ，且421， 2534、 = 所以 A 的特征值323-AE)7(12=1， =7213由 =1，求解（A- E）=021A-E= 所以 =1 对应的线性无关的特征向量为021河南工业大学求是学社 为了更多人活得更好而努力！1010-21，=7，求解（A- E）=03A-7E= 得 =7 对应的线性无关的特征向量为01-3 13由 A 的特征值得* 17321A，A 对应的线性无关的特征向量为 ，* 10-21， 3由 B=P A P 得 B 的特征值 7,7,1，对应的线性无关的特征向量1*为 , ,0111221033P则 B-2E 的特征值为 9，9,3，对应的线性无关的特征向量为1，0-10-32，5、，对于 两1-036283* AA得， 由 EBA31-边右乘 A，左乘 A 得 ,即- EBEB6311 从 而,整理得 ,解得 B= 接下来就是EB62*6)2*（ 1*)2A（
