2011-2015四川卷文科数学解答题答案.doc

1、2010-2015 四川高考文科数学大题专项训练【详解答案】- 1 -18.【测量目标】线线平行、垂直，线面垂直，二面角的概念.【考查方式】 （1）通过做辅助线转化线段位置、通过线面垂直证明线线垂直.（2）做辅助线将二面角转化为三角形内角求解.【试题解析】 （1）连接 AC,取 AC 的中点 K,则 K 为 BD 的中点,连接OK.因为点 M 是棱 的中点,点 O 是 的中点,ABD所以 且 /21,2所以 （步骤 1） .K且由 得 （步骤 2）,因为 所以,ABD ,AKBD平 面所以 .所以 （步骤 3）MO又因为 OM 与异面直线 都相交,和故 OM 为异面直线 的公垂线.（步骤 4）

2、和（2）取 的中点 N,连接 MN,则 过点 N 作 于 H,连接 MH,则由三垂线定理得,B .MBC平 面 BC从而 , 为二面角 的平面角 .（步骤 5）.CH设 AB=1,则 MN=1, （步骤 6）12sin45.4A在 中, 故二面角 的大小为 （步骤 7）RtN ta.NHMBCarctn2.19.【测量目标】两角和的正、余弦公式，诱导公式，同角三角函数的关系.【考查方式】 （1） 建立直角坐标系，根据两点间距离公式证明. 借助诱导公式证明. 1 2（2）同角三角函数的转换.【试题解析】 （1） 在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,并作出角 与 ,使角 的始边为 Ox,交圆 O

3、 于点 ,终边交 1 ,1P圆 O 于点 ;角 的始边为 ,终边交圆 O 于点 ,角2P2P3P的始边为 ,终边交圆 O 于点14.则 20cos,in,3 4cos,in.PP由 及两点间的距离公式,得 1242010 年2010-2015 四川高考文科数学大题专项训练【详解答案】- 2 -（步骤 1）2 22cos1sincossinsi.展开并整理,得 co2.（步骤 2）csssin.由 易得, （步骤 3） 2 1 oi,cos.2=sincscs2coini2=sicosi.（步骤 4）nncon.(2) （步骤 1）34,cs.253si.5（步骤 5）1,tan.30o,sin

4、.（步骤 6）cos()cssi431103.520.【测量目标】等差数列的前 n 项和.【考查方式】 （1）根据等差数列的前 n 项和求通项公式.（2）借助等差数列求和公式，利用裂项相消法求和.【试题解析】 （1）设 的公差为 d,由已知得na解得 （步骤 1） ， 故 （步骤 2）136,824.13,.314.nan（2）由（2）的解答可得, 于是.nbqA（步骤 3）01213.nSqA若 将上式两边同乘以 q 有 （步骤 4）, 21.nnnSqqA A两式相减得到 111nn = = 于是, .（步骤 5）qnqnS11nq2010-2015 四川高考文科数学大题专项训练【详解答案

5、】- 3 -21.【测量目标】轨迹方程、双曲线的标准方程、向量的垂直、直线与双曲线的位置关系.【考查方式】 （1）直接根据坐标系中线段间的关系求轨迹方程.（2）利用分类讨论思想，运用联立方程后根的个数反映直线与双曲线位置关系这一思想，向量与直线的垂直求解.【试题解析】 （1）设 ,则 化简得 （步骤 1）Pxy21,yx210.3yx（2） 当直线 BC 与 x 轴不垂直时,设 BC 的方程为 （步骤 2） 1 0.k与双曲线方程 联立消去 y 得 213y2343.xk由题意知, （步骤 3）20,k且设 则12,BxyC221143,.kkxx221121124k= = （步骤 4）224

6、384k293.k因为 12,x所以直线 AB 的方程为 因此 M 点的坐标为1,yx13,2yx132,.yFMx同理可得 （步骤 5）因此213,FN 1294FNA= =0.（步骤 6）222894341k当直线 BC 与 x 轴垂直时,其方程为 则 2 ,x,32,.BCAB 的方程为 因此 M 点的坐标为1.y1,2,.F同理可得 .（步骤 7）因此3,2FN 330.22NA综上, 即0.A.F故以线段 MN 为直径的圆过点 F.（步骤 8） 2010-2015 四川高考文科数学大题专项训练【详解答案】- 4 -22.【测量目标】反函数、对数函数的性质，导数的单调性与导数的关系【考

7、查方式】给出函数解析式（1）直接借助反函数概念计算.（2）运用分类讨论思想，导数和函数增减性的关系求函数最值，求未知量的范围.（3）借助分类讨论思想推理求解.【试题解析】 （1）由题意得, （步骤 1）.xya故 （步骤 2）log,.ax（2）由 得 当 a1 时, （步骤 3）21llog(1)7aatxx 1 20.(1)7xtx又因为 所以。,63295,6,h则 （步骤 4）2318535.hxxx列表如下：所以 所以 .（步骤 5）=.极 小 值 0t当 032.2,2.hx 1 =32hx最 大 值 ，综上,当 a1 时,032.（步骤 7）(3)设 则 当 n=1 时, 当 设

8、 时,1,p.5.fpn时 ，*2,kN则 （步骤 8）122.CC1kk kkaf pp所以 1244.Ckf从而 2311.2fffnn 所以 1 4f 综上,总有 （步骤 9）.fx 2 (2,5) 5 （5,6）6h9 + 0 155 单调增加极大值32单调减少252010-2015 四川高考文科数学大题专项训练【详解答案】- 5 -18.本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化等数学思想（）解析： 7733()sincosincossin4444fxxxx， 的最小正周期 ，最小值 2sin2()()

9、f2Tmin()2fx（）证明：由已知得 ，cssi5cssi5两式相加得 ， ， ，则 2o02o02 2()4sinf19.本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力解法一：（）连结 AB1与 BA1交于点 O，连结 OD， C1D平面 AA1， A1C1 AP， AD=PD，又 AO=B1O， OD PB1，又 OD面 BDA1， PB1面 BDA1， PB1平面 BDA1（）过 A 作 AE DA1于点 E，连结 BE BA CA， BA AA1，且 AA1 AC=A， BA平面 AA1C1C由三垂线定理可

10、知 BE DA1 BEA 为二面角 A A1D B 的平面角在 Rt A1C1D 中， ，25()又 ， 12SE2A在 Rt BAE 中， ， 2535()1B2cos3AHB故二面角 A A1D B 的平面角的余弦值为 解法二：如图，以 A1为原点， A1B1， A1C1， A1A 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 A1 B1C1A，则 ，1(0,)， ， ， 1(,0)B(,0)C(,)(0,2)P（）在 PAA1中有 ，即 1,D ， ， 1(,)(,)x(0)设平面 BA1D 的一个法向量为 ，1,abcn则 令 ，则 10,.2ABacbn1(,)220

11、11 年2010-2015 四川高考文科数学大题专项训练【详解答案】- 6 - ， PB1平面 BA1D，11()2()0BPn（）由（）知，平面 BA1D 的一个法向量 又 为平面 AA1D 的一个法向量(,)2n2(,0)n 故二面角 A A1D B 的平面角的余弦值为 2121cos, 3|n 2320.本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力解：（）由已知， ，因此 ， ， 1naq1Sa23(1)q234(1)Saq当 、 、 成等差数列时， ，可得 1S3442a化简得 解得 20q5（）若 ，则 的每项 ，此时 、 、 显然成等差数列nan

12、amknkl若 ，由 、 、 成等差数列可得 ，即 1mSl 2lS(1)()2(1)mlnaqaq整理得 因此， 2lnq1()klnkmkl nkq 所以， 、 、 也成等差数列kakla21.本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力解：（）由已知得 ，解得 ，所以椭圆方程为 31,2cba2a214xy椭圆的右焦点为 ，此时直线 的方程为 ，代入椭圆方程得(,0)l31y，解得 ，代入直线 的方程得 ，所以 ，2783x1283,7xl12,7y831(,)7D故 226|(0)()7CD（）当直线 与 轴垂直时与题意不符lx设直线

13、 的方程为 代入椭圆方程得 11()2ykk且 2(41)80kxk解得 ，代入直线 的方程得 ，1280,4xl12,y所以 D 点的坐标为 224(,)1k又直线 AC 的方程为 ，又直线 BD 的方程为 ，联立得xy(2)4kyx4,21.xky因此 ，又 所以 故 为定值(4,2)Qk(,0)Pk1,0,1OPQ OPQ22.本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力解：（） ，23()18()()29()Fxfxhxx23令 ，得 （ 舍去） 0当 时 ；当 时， ，(,)()(

14、,)()0F故当 时， 为增函数；当 时， 为减函数xx2xx为 的极大值点，且 2F8495F2010-2015 四川高考文科数学大题专项训练【详解答案】- 7 -（）方法一：原方程可化为 ，4223log(1)log()log(4)24fxhaxhx即为 ，且42log(1)lxa ,1当 时， ，则 ，即 ，a14ax2640xa，此时 ， ，364()204035xa此时方程仅有一解 35xa当 时， ，由 ，a11x得 ， ，2640x64()204a若 ，则 ，方程有两解 ；535若 时，则 ，方程有一解 ；x若 或 ，原方程无解1a方法二：原方程可化为 ，422log(1)l(4

15、)log()hhax即 ，222log()llxxax10,()4.xa214,(3)5.xa当 时，原方程有一解 ；14a35x当 时，原方程有二解 ；5a当 时，原方程有一解 ；x当 或 时，原方程无解1a（）由已知得 ，()2()12hhnn 431()66nfn设数列 的前 n 项和为 ，且 （ ）anS()6f*N从而有 ，当 时， 1S210k14316kkkaS又 (43)(4)6ka22()()60()(1)kk 即对任意 时，有 ，2a又因为 ，所以 1a122nan 则 ，故原不等式成立()()nShh2010-2015 四川高考文科数学大题专项训练【详解答案】- 8 -1

16、8【解析】本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识、考查运算能力，考查化归与转化等数学思想（） 21()cosincos2xxf1(cos)in2x2cos()4x所以函数 的最小正周期是 ，值域为 f,（）由（）知， ，所以 3()cos()2410f3cos()45所以 sin2cos2187219【解析】本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力连接 OC， OPC 为直线 与平面 所成的角，设 AB 的中点为 D，连接 PD、 CD因为 ，所以PCAB ABC，CDAB

17、因为 ， ，所以 为等边三角形9060P不妨设 ，则 P=21,3,4OD所以 ， ，在 中，3RtOtanC即直线 与 所成的角等于 （ 或 ） PAB平 面 39arctn13arcsin1913arcos9（）过 D 作 于 ，连结 CE由已知可得 平面 PAB所以 为 的平面角由ECDCEDBAP（）知 ，在 中， ，3Rt2t3E，二面角 的大小为 （ 或 ） BAPCarctn25rsiarcos20【解析】本小题主要考查等比数列、等差数列、对数等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力，并考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想（）取 ，得 ， ，1n211a

18、S1(2)0a若 ，则 当 时， ，所以 10annnS0na若 ，则 当 时， ， ，两式相减得 ，1 11aS12nna所以 ，从而数列 是等比数列，所以 2()nna2nnn综上，当 时， ；当 时， 10an102n（）当 ， 时，令 ，由（）有， lgnba10lg2lgnnb所以数列 是单调递减的等差数列（公差为 ） nbl2，当 时， ，126610lgll1024 7770lll18n2012 年2010-2015 四川高考文科数学大题专项训练【详解答案】- 9 -故数列 的前 6 项和最大1lgna21【解析】本小题主要考查直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考查思维能力

19、、运算能力，考查函数、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性（）设 M 的坐标为 ，当 时，直线 MA 的斜率不存在；当 时，直线 MB 的斜率不存在，于(,)xy11x是 此时， MA 的斜率为 ， MB 的斜率为 1xyx由题意，有 ，化简可得， x41240故动点 的轨迹为 C 的方程为 （ ） 2xy1（）联立 消去 y，可得 （*）2,40ymx2234xm对于方程（*） ，其判别式 ，2()1()680而当1 或 1 为方程（*）的根时， m 的值为1 或 1结合题设（ ）可知， 且 设 的坐标分别为 、 ，则 、 为方程（*）的两根QR、 (,)Qxy(,)RQxR因为 ，所以

20、 ， ， |P|2323mx所以 ，2231| 31RQxm此时 ，且 ，所以 ，且 ，231231231m2531m所以 ，且 |RQxP|53RQxP综上所述， 的取值范围是 | (1,),22【解析】本小题主要考查导数的运用、不等式、数列等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析和解决问题的能力和创新意识，考查函数、化归与转化、特殊与一般等数学思想方法（）令 ，得 ，则 由 知，点 处的切线方程为20nax2nnax或 (0)2naA， 2yxA令 ，得 ， ()nnyny)nf（）由（）知 ，则 成立的充要条件是 ，(nfa()1f21na即知， 对于所有的 n 成立，特别地，取 n=1

21、 得到 21na 3当 ， n1 时， 当 n=0 时， 313(2)21nC n故 时， 对所有 都成立()1f2010-2015 四川高考文科数学大题专项训练【详解答案】- 10 -所以满足条件的 a 的最小值为 3（）由（）知 ()kf下面证明： 111(1)6()2()4()20fnfffnf首先证明：当 时， ，0x26x设函数 ， ，则 2()6)1g0()18()3gx当 时， ；当 时， 故 在 上的最小值 ，03x(x3x0g(0,1)min21()()039gx所以当 时， ，即得 由 知 ，因此 ，从而1)0g26a*kN26kka1()2()4()fffn 242na(

22、)660nafa16.解：设该数列的公比为 q，由已知，可得a1q a12,4 a1q3 a1 a1q2，所以， a1(q1)2， q24 q30，解得 q3 或 q1.由于 a1(q1)2，因此 q1 不合题意，应舍去故公比 q3，首项 a11.所以，数列的前 n 项和 Sn .17.解：(1)由 cos(A B)cos Bsin( A B)sin(A C) ，得 cos(A B)cos Bsin( A B)sin B .535则 cos(A B B) ，即 cos A .又 0 A，则 sin A .35354(2)由正弦定理，有 ，所以，sin B .sinabsin2ba由题知 a b

23、，则 A B，故 .根据余弦定理，有 52 c225 c ，4(4)35解得 c1 或 c7(负值舍去)故向量 在 方向上的投影为 | |cos B .CA18.解：(1)变量 x 是在 1,2,3，24 这 24 个整数中随机产生的一个数，共有 24 种可能当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数中产生时，输出 y 的值为 1，故 P1 ；2当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时，输出 y 的值为 2，故 P2 ；3当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生时，输出 y 的值为 3，故 P3 .62013 年