1、三角函数大题综合训练参考答案与试题解析一解答题（共 30 小题）1 （2016白山一模）在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 =（1）求角 C 的大小，（2）若 c=2，求使ABC 面积最大时 a，b 的值【考点】正弦定理；余弦定理菁优网版权所有【专题】解三角形【分析】 （1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据 sinA 不为 0 求出 cosC 的值，即可确定出C 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将 c 与 cosC 的值代入并利用基本不等式求出 ab 的最大值，进而确定出三角形 AB
2、C 面积的最大值，以及此时 a 与 b 的值即可【解答】解：（1）A+C=B ，即 cos（A+C）=cosB，由正弦定理化简已知等式得： = ，整理得：2sinAcosC+sinBcosC= sinCcosB，即2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C ）=sinA，sinA0，cosC= ，C 为三角形内角，C= ；（）c=2，cosC= ，由余弦定理得：c 2=a2+b22abcosC，即 4=a2+b2+ab2ab+ab=3ab，ab ， （当且仅当 a=b 时成立） ，S= absinC= ab ，当 a=b 时， ABC 面积最大为 ，此时 a=b=
3、，则当 a=b= 时，ABC 的面积最大为 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键2 （2016广州模拟）在 ABC 中，角 A、B、C 对应的边分别是 a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A（I）求角 A 的大小；（）若ABC 的面积 S=5 ，b=5，求 sinBsinC 的值【考点】正弦定理；余弦定理菁优网版权所有【专题】解三角形【分析】 （I）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得到 cosA 的值，即可求解 A（II）通
4、过三角形的面积求出 b、c 的值，利用余弦定理以及正弦定理求解即可【解答】解：（I）由 3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得2cos2A+3cosA2=0， （2 分）即（2cosA 1） （cosA+2）=0解得 cosA= 或 cosA=2（舍去） （4 分）因为 0A，所以 A= （6 分）（II）由 S= bcsinA= bc = bc=5 ，得 bc=20又 b=5，所以 c=4（8 分）由余弦定理，得 a2=b2+c22bccosA=25+1620=21，故 a= （10 分）又由正弦定理，得 sinBsinC= sinA sinA= sin2A= = （1
5、2 分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力3 （2016成都模拟）已知函数 f（x）= cos2x sinxcosx sin2x（）求函数 f（x）取得最大值时 x 的集合；（）设 A、B、C 为锐角三角形 ABC 的三个内角，若 cosB= ，f （C ）= ，求 sinA 的值【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；解三角形【分析】 （）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的值域求得函数 f（x）取得最大值时 x 的集合（）由条件求得 cos（2C+ ）= ，C= ，求出 s
6、inB 的值，再根据 sinA=sin（B+C ）求得它的值【解答】解：（）函数 f（ x）= cos2x sinxcosx sin2x=cos2x sinxcosx+ （cos 2xsin2x ）= sin2x+ cos2x= + cos（2x+ ） ，故函数取得最大值为 ，此时，2x+ =2k 时，即 x 的集合为 x|x=k ，kZ（）设 A、B、C 为锐角三角形 ABC 的三个内角，若 cosB= ，f （C ）= + cos（2C+）= ，cos（2C+ ）= ，又 A、B 、C 为锐角三角形 ABC 的三个内角， 2C+ = ， C=cosB= ， sinB= ，sinA=sin（
7、B+C）=sinBcosC+cosBsinC= + = 【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的值域，同角三角函数的基本关系，属于中档题4 （2016台州模拟）已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，且c2=a2+b2ab（1）求角 C 的值；（2）若 b=2，ABC 的面积 ，求 a 的值【考点】余弦定理；三角形的面积公式菁优网版权所有【专题】解三角形【分析】 （1）利用余弦定理，可求角 C 的值；（2）利用三角形的面积公式，可求 a 的值【解答】解：（1）c 2=a2+b2ab，cosC= = ，0C 180，C=60；（2）b=2，ABC 的面积 ， = ，
8、解得 a=3【点评】本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，正确运用公式是关键5 （2016惠州模拟）如图所示，在四边形 ABCD 中，D=2 B，且 AD=1，CD=3 ，cosB=（）求ACD 的面积；（）若 BC=2 ，求 AB 的长【考点】余弦定理的应用；正弦定理菁优网版权所有【专题】解三角形【分析】 （）利用已知条件求出 D 角的正弦函数值，然后求ACD 的面积；（）利用余弦定理求出 AC，通过 BC=2 ，利用正弦定理求解 AB 的长【解答】 （共 13 分）解：（）因为D=2 B， ，所以 （3 分）因为D（0， ） ，所以 （5 分）因为 AD=1，CD=3，所以ACD
9、的面积 （7 分）（）在ACD 中，AC 2=AD2+DC22ADDCcosD=12所以 （9 分）因为 ， ，（11 分）所以 所以 AB=4 （13 分）【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查6 （2015山东） ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知cosB= ，sin（A+B）= ， ac=2 ，求 sinA 和 c 的值【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数菁优网版权所有【专题】解三角形【分析】利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得；利用正弦定理解之【解答】解：因为ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c 已知
10、 cosB= ，sin（A+B）= ，ac=2 ，所以 sinB= ，sinAcosB+cosAsinB= ，所以 sinA+ cosA= ，结合平方关系 sin2A+cos2A=1，得 27sin2A6 sinA16=0，解得 sinA= 或者 sinA= （舍去） ；由正弦定理， 由 可知 sin（A+B）=sinC= ，sinA= ，所以 a=2 c，又 ac=2 ，所以 c=1【点评】本题考查了利用三角函数知识解三角形，用到了两角和与差的正弦函数、同角三角函数的基本关系式、正弦定理等知识7 （2015新课标 I）已知 a，b，c 分别是 ABC 内角 A， B，C 的对边，sin2B=
11、2sinAsinC（）若 a=b，求 cosB；（）设 B=90，且 a= ，求 ABC 的面积【考点】正弦定理；余弦定理菁优网版权所有【专题】解三角形【分析】 （I）sin 2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b 2=2ac，再利用余弦定理即可得出（II）利用（I）及勾股定理可得 c，再利用三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（I）sin 2B=2sinAsinC，由正弦定理可得： 0，代入可得（bk） 2=2akck，b2=2ac，a=b， a=2c，由余弦定理可得：cosB= = = （II）由（I）可得： b2=2ac，B=90，且 a= ，a2+c2=2ac，解得 a=c=
12、SABC= =1【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8 （2015湖南）设 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a=btanA（）证明：sinB=cosA ；（）若 sinCsinAcosB= ，且 B 为钝角，求 A，B ，C【考点】正弦定理菁优网版权所有【专题】解三角形【分析】 （）由正弦定理及已知可得 = ，由 sinA0，即可证明 sinB=cosA（）由两角和的正弦函数公式化简已知可得 sinCsinAcosB=cosAsinB= ，由（1）sinB=cosA，可得 sin2B= ，结合范围可求 B，
13、由 sinB=cosA 及 A 的范围可求 A，由三角形内角和定理可求 C【解答】解：（）证明：a=btanA =tanA，由正弦定理： ，又 tanA= ， = ，sinA0，sinB=cosA得证（）sinC=sin （A+B ）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，sinCsinAcosB=cosAsinB= ，由（1）sinB=cosA，sin2B= ，0 B，sinB= ，B 为钝角，B= ，又 cosA=sinB= ，A= ，C=AB= ，综上，A=C= ，B= 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题9 （2015
14、新课标 II）ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分 BAC， ABD 面积是 ADC面积的 2 倍（1）求 ；（2）若 AD=1，DC= ，求 BD 和 AC 的长【考点】正弦定理；三角形中的几何计算菁优网版权所有【专题】解三角形【分析】 （1）如图，过 A 作 AEBC 于 E，由已知及面积公式可得 BD=2DC，由 AD 平分BAC 及正弦定理可得 sinB= ，sinC= ，从而得解（2）由（1）可求 BD= 过 D 作 DMAB 于 M，作 DNAC 于 N，由 AD 平分BAC，可求 AB=2AC，令 AC=x，则 AB=2x，利用余弦定理即可解得 BD 和 AC 的长【解答】解：（1）如图，过 A 作 AEBC 于 E， = =2BD=2DC，AD 平分 BACBAD=DAC在ABD 中， = ，sinB=在ADC 中， = ，sinC= ； = = 6 分（2）由（1）知，BD=2DC=2 = 过 D 作 DMAB 于 M，作 DNAC 于 N，AD 平分 BAC，DM=DN， = =2，AB=2AC，令 AC=x，则 AB=2x，BAD=DAC，cosBAD=cosDAC，由余弦定理可得： = ，x=1，
