1、 零极点对系统性能的影响分析 1 任务步骤 1. 分析原开环传递函数 G0（ s）的性能，绘制系统的阶跃响应曲线得到系统的暂态性能（包括上升时间，超调时间，超调量，调节时间）； 2. 在 G0（ s）上增加零点，使开环传递函数为 G1（ s），绘制系统的根轨迹 ,分析系统的稳定性； 3. 取不同的开环传递函数 G1（ s）零点的值，绘制系统的阶跃响应曲线得到系统的暂态性能（包括上升时间，超调时间，超调量，调节时间）； 4. 综合数据，分析零点对系统性能的影响 5. 在 G0（ s）上增加极点，使开环传递函数为 G2（ s），绘制系统的根轨迹，分析系统的稳定性； 6. 取不 同的开环传递函数 G
2、2（ s）极点的值，绘制系统的阶跃响应曲线得到系统的暂态性能（包括上升时间，超调时间，超调量，调节时间）； 7. 综合数据，分析极点对系统性能的影响。 8. 增加一对离原点近的偶极子和一对距离原点远的偶极子来验证偶极子对消的规律。1G 0 (s )= ( 0 .3 )( 0 .5 )ss2 原开环传递函数 G0（ s）的性能分析 2.1 G0（ s）的根轨迹 取原开环传递函数为 ： Matlab 指令： num=1; den=1,0.8,0.15; rlocus(num,den); 得到图形： 图 1 原函数 G0(s)的根轨迹 根据原函数的根轨迹可得：系统的 两个极点分别是 -0.5 和 -
3、0.3，分离点为 -0.4，零点在无限远处，系统是稳定的。 2.2 G0（ s）的阶跃响应 Matlab 指令： G=zpk(,-0.3,-0.5,1) sys=feedback(G,1) step(sys) 得到图形： 图 2 原函数的阶跃响应曲线 由阶跃响应曲线分析系统暂态性能： 曲线最大峰值为 1.12，稳态值为 0.87， 上升时间 tr=1.97s 超调时间 tp=3.15s 调节时间 ts=9.95s， 2 超调量 %p =28.3% 3 增加零点后的开环传递函数 G1（ s）的性能分析 为了分析开环传递函数的零点对系统性能的影响，现在在原开环传递函数的表达式上单独增加一个零点 S
4、=-a,并改变 a 值大小，即离虚轴的距离，分析比较系统性能的变化。 所以增加零点后的开环传递函数为：开环 传递函数表达式：1 ( / 1)() ( 0 .3 )( 0 .5 )saGs ss 3.1 G1（ s）的根轨迹 因为后面利用阶跃响应来分析时将取的零点均在实轴的负半轴，那么只要了解其中一个开环传递函数稳定，那么其它的稳定 也可以推知。所以取 a=1 画出根轨迹来观察系统的稳定性。 当 a=1 时，开环传递函数的表达式为： 1 ( 1)() ( 0 .3 )( 0 .5 )sGs Matlab 指令： num=1,1; den=1,0.8,0.15; rlocus(num, den)
5、得到图 图 3 G1（ s）的根轨迹曲线 根据 G1（ s） 的根轨迹可得： 根轨迹均在左半平面，只是多了一个零点，系统仍然是稳定的，并且可以推知，只要零点在实轴的负半轴上，系统都是稳定的。 3.2 增加不同零点时 G1（ s）的阶跃响应 3.2.1 当 a=0.01的阶跃响应 当 a=0.01 时，对应的闭环传递函数 为 1 2 1 0 0 1() 1 0 0 .8 1 .1 5ss ss Matlab 指令： num=100,1; den=1,100.8,1.15; step(num,den) grid on 得到图 图 4 1()s 的阶跃响应曲线 由阶跃响应曲线分析系统暂态性能： 曲线
6、最大峰值为 0.992，稳态值为 0.87， 上升时间 tr=0.0434s 超调时间 tp=0.139s 调节时间 ts=197s， 2 超调量 %p =11.4% 3.2.2 当 a=0.1的阶跃响应 当 a=0.1 时，对应的闭环传递函数为 2 2 1 0 1() 1 0 .8 1 .1 5ss ss Matlab 指令： num=10,1; den=1,10.8,1.15; step(num,den) grid on 得到图 图 5 2()s 的阶跃响应曲线 由阶跃响应曲线分析系统暂态性能： 由图可知，曲线最大峰值为 0.931，稳态值为 0.87， 上升时间 tr=0.256s 超调
7、时间 tp=0.685s 调节时间 ts=12.4s， 2 超调量 %p =7.02% 3.2.3当 a=1 的阶跃响应 当 a=1 时，对应的闭环传递函数为 3 2 1() 1 .8 1 .1 5ss ss Matlab 指令 num=1,1; den=1,1.8,1.15; step(num,den) grid on 得到图 图 6 3()s 的阶跃响应曲线 由阶跃响应曲线分析系统暂态性能： 由图可 知，曲线最大峰值为 0.905，稳态值为 0.87， 上升时间 tr=2.04s 超调时间 tp=2.97s 调节时间 ts=4.43s， 2 超调量 %p =4.03% 3.2.4当 a=1
8、0的阶跃响应 当 a=10 时，对应的闭环传递函数为 4 2 0 .1 1() 0 .9 1 .1 5ss ss Matlab 指令 num=0.1,1; den=1,0.9,1.15; step(num,den) grid on 得到图 图 7 4()s 的阶跃响应曲线 由阶跃响应曲线分析系统暂态性能： 由图可知，曲线最大峰值为 1.07，稳态值为 0.87， 上升时间 tr=1.98s 超调时间 tp=3.15s 调节时间 ts=7.73s， 2 超调量 %p =23.5% 3.2.5当 a=100的阶跃响应 当 a=10 时，对应的闭环传递函数为 5 2 0 .0 1 1() 0 .8
9、1 1 .1 5ss ss Matlab 指令 num=0.01,1; den=1,0.81,1.15; step(num,den) grid on 得到图 图 8 5()s 的阶跃响应曲线 由阶跃响应曲线分析系统暂态性能： 由图可知，曲线最大峰值为 1.11，稳态值为 0.87， 上升时间 tr=1.96s 超调时间 tp=3.11s 调节时间 ts=9.84s， 2 超调量 %p =27.7% 3.3 增加零点后对系统性能的 影响 分析 根据图 2，图 4，图 5，图 6，图 7，图 8，可以得到原函数以及 在原开环传递函数上增加一个零点 s=a， a 分别取 0.01,0.1,1,10,
10、100 的系统性能参数。 如以下表 1 所示： a lga曲线峰值 上升时间（s ）超调时间（s ）调节时间（s ）超调量（% ）原传递函数 负无穷 1.12 1.97 3.15 9.95 28.30.01 -2 0.992 0.0434 0.139 197 11.40.1 -1 0.931 0.256 0.685 12.4 7.021 0 0.905 2.04 2.97 4.43 4.0310 1 1.07 1.98 3.15 7.73 23.5100 2 1.11 1.96 3.11 9.84 27.7表 1 根据表 1 可画出 lga 与各个指标的关系曲线 ，如以下图 9，图 10，图 11，图12 和图 13。因为原函数中的 lga 的值为负无穷，所以无法在图中直接反映，所以图 9，图 10，图 11，图 12 和图 13 五个图反映的是， 零点距离原 点的远近对系统性能的影响。 00.20.40.60.811.2-3 -2 -1 0 1 2 3l g （a ）曲线峰值曲线峰值图 9 曲线峰值 Mr 与 lg（ a）的关系 00.511.522.5-3 -2 -1 0 1 2 3lg(a)上升时间上升时间图 10 上升时间 tr 与 lg（ a）的关系
