1、1第四章 矩阵习题参考答案、 判断题1. 对于任意 阶矩阵 ， ，有 .nABAB错.2. 如果 则 .20,错.如 .21,0AA但3. 如果 ，则 为可逆矩阵.2E正确. ，因此 可逆，且 .()1AE4. 设 都是 阶非零矩阵，且 ，则 的秩一个等于 ，一个小于 .,ABn0AB,n错.由 可得 .若一个秩等于 ，则该矩阵可逆，另一个秩为0()rnn零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于 .5 为 阶方阵，若 则C,n,C错.如 ，有 但 .12132,AB,ACB6 为 矩阵，若 则存在 阶可逆矩阵 及 阶可逆矩阵 ，使nm,)(sArmPnQ.0sIPQ正确.右边为矩阵 的等
2、价标准形，矩阵 等价于其标准形.7 阶矩阵 可逆，则 也可逆.nA*正确.由 可逆可得 ，又 .因此 也可逆，且|0*|AE*A.1(*)|28设 为 阶可逆矩阵，则BA,n.*)(AB正确. 又*()|.E.()|AE因此 .由 为 阶可逆矩阵可得 可逆，两边同时左乘()*ABB,nAB式 的逆可得 )(、 选择题1设 是 阶对称矩阵， 是 阶反对称矩阵 ,则下列矩阵中为反对AnBn()TB称矩阵的是（B ）.(A) (B) (C) (D) A2()A(A)(D)为对称矩阵， （B）为反对称矩阵， （C）当 可交换时为对称矩阵 .,2. 设 是任意一个 阶矩阵，那么（ A）是对称矩阵.n(A
3、) (B) (C) (D) TT2T3以下结论不正确的是（ C ）.(A) 如果 是上三角矩阵，则 也是上三角矩阵；2(B) 如果 是对称矩阵，则 也是对称矩阵；AA(C) 如果 是反对称矩阵，则 也是反对称矩阵；(D) 如果 是对角阵，则 也是对角阵.24 是 矩阵, 是 矩阵, 若 的第 列元素全为零，则下列结论正确mkBktBj的是（B ）(A) 的第 行元素全等于零； (B) 的第 列元素全等于零；Aj Aj(C) 的第 行元素全等于零； (D) 的第 列元素全等于零；5设 为 阶方阵， 为 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ）,BnEn(A) (B) 22()AAB2()ABAB(
4、C) (D) ()E36下列命题正确的是（B ）.(A) 若 ，则 ACB(B) 若 ，且 ，则 0C(C) 若 ，且 ，则 (D) 若 ，且 ，则,B7. 是 矩阵， 是 矩阵，则（ B）.Amnnm(A) 当 时，必有行列式 ；0A(B) 当 时，必有行列式 (C) 当 时，必有行列式 ；nB(D) 当 时，必有行列式 .m0A为 阶方阵，当 时， 因此 ，所以ABn(),(),rn()rABnm.08以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵 的行列式 ,则 ；0A(B) 如果矩阵 满足 ，则 ；2(C) 阶数量阵与任何一个 阶矩阵都是可交换的；nn(D) 对任意方阵 ，有,B2()BA
5、9设 是非零的四维列向量， 为 的伴随矩1234,1234(,)*A阵，已知 的基础解系为 ，则方程组 的基础解系为（ C 0Ax(1,02)T0x）.（A） . （B） .123,1231,（C） . （D） . 4 41,4由 的基础解系为 可得 .0Ax(1,02)T1234130(,),20因此（A） ， （B）中向量组均为线性相关的，而（D）显然为线性相关的，因此答案为（C）.由 12341234*(,)(*,*,)AAAO可得 均为 的解.12,34,*0x10.设 是 阶矩阵， 适合下列条件（ C ）时， 必是可逆矩阵n nI(A) (B) 是可逆矩阵 (C) AA0A(B) 主
6、对角线上的元素全为零11 阶矩阵 是可逆矩阵的充分必要条件是（ D ）n(A) (B) (C) (D) 10T12 均是 阶矩阵，下列命题正确的是（ A ）,BC(A)若 是可逆矩阵，则从 可推出BCA(B)若 是可逆矩阵，则必有(C)若 ，则从 可推出0(D)若 ，则必有BCA13 均是 阶矩阵， 为 阶单位矩阵，若 ，则有（C ）,AnEnABE(A) （B） （C ） (D) 14 是 阶方阵， 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ D ）*(A)若 是可逆矩阵，则 也是可逆矩阵；A(B)若 是不可逆矩阵，则 也是不可逆矩阵；A*(C)若 ，则 是可逆矩阵； （）*0*.A*.nE15设
7、是 5 阶方阵，且 ，则AA（ ）*5(A) (B) (C) (D) A2A34A16设 是 的伴随阵，则 中位于 的元素为（ ）*()ijna*(,)ij(A) (B) (C) (D) 1njki1kji1njkia1nkija应为 的第 列元素的代数余子式与 的第 列元素对应乘积和.Ai Aj17.设 , ,其中 是 的代数余子式，则（C 11nna 11nnB ijija）(A) 是 的伴随 (B) 是 的伴随 (C) 是 的伴随ABBABA(D)以上结论都不对18设 为方阵，分块对角阵 ,则 ( ), 0C*(A) (B)*0ACB*0AB(C) (D) *0 *0C利用 验证.|CE
8、19已知 ，下列运算可行的是（ C ）46135,1246AB(A) (B) (C) (D)ABA20设 是两个 矩阵， 是 阶矩阵，那么（ D ）,mnn(A) ()CAB6(B) ()TTABC(C) B(D) ()21对任意一个 阶矩阵 ，若 阶矩阵 能满足 ，那么 是一个（ ）nAnAB(A) 对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D) 的逆矩阵与任意一个 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22设 是一个上三角阵，且 ，那么 的主对角线上的元素（ ）A0(A)全为零 （B）只有一个为零（C）至少有一个为零 （D）可能有零，也可能没有零23设 ，则 （ D ）1320A1A(A) （B）
9、 （C ） （D）1360316103261023624 设 ，若 ，则 （ B ）112233abcA112233acbAPP(A) （B） （C ） （D ）012010120125设 阶矩阵 ，若矩阵 的秩为 1，则 必为（A (3)n1aaAa Aa）7(A)1 （B）-1 （C） （D ）1n1n矩阵 的任意两行成比例.A26. 设 为两个 阶矩阵,现有四个命题:,n若 为等价矩阵,则 的行向量组等价;若 的行列式相等,即 则 为等价矩阵;AB|,AB若 与 均只有零解,则 为等价矩阵;0x若 为相似矩阵,则 与 解空间的维数相同.0x以上命题中正确的是( D )(A) , . (B
10、) , . (C) ,. (D),.当 时， 为相似矩阵。相似矩阵的秩相等。齐次线性方程组基础解系所APB1,B含解的个数即为其解空间的维数。三、填空题1设 为三阶方阵， 为 的伴随矩阵，有 ，则 *A2A1()2*3A， ，因此1*|2A1()3.1113()*4()3 22设 为 4 阶方阵，且 ，则 1/27 , 9 。,B3A1()1BA3设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那么是 一个 阶矩阵，它AmnBns()sm的第 行第 列元素为 .ij1jkiab4. 阶矩阵 A 可逆 非退化 n|0AA 与单位矩阵等价 A 可以表示为一系列初等矩阵的乘积 .84.三阶对角矩阵 ，则 的伴随矩
11、阵 = .0aAbcA*0bca5设 ，则 .1230*1()61()|A6设 ，矩阵 的逆矩阵为0,12,ian 1210000nnaaa .112100nnaa 7设 都是可逆矩阵，矩阵 的逆矩阵为 .,AB0ACB10B8设 ，则 （ ） 1231,3424(2)C9 既是对称矩阵，又是反对称矩阵，则 为 零 矩阵.AA10设方阵 ， ，且 则行列式112233bxc112233bycB2,3B4 . AB9111111122222223333333111222333| 4444().bxcbycbxycbxycABxcycbb11设 为 阶方阵， 为 阶方阵，已知 ，则行列式AmBn,
12、AaBb0AB.abn)1(将 A 的各列依次与 B 的各列交换，共需要交换 mn 次，化为 012设 为 阶方阵，且 ，则 在 等价关系下的标准形为 阶 单位矩阵 .n0An13. 设 （ 为某常数） ，B 为 的非零矩阵，且 ，则矩阵123Aa430BA的秩为 1 .B由 可得 的各列为齐次线性方程组 的解，A 的前两列线性无关，因此00x的基础解系至少有两个解，因此 .又 为非零矩阵，因此 .即x()1rB()1rB()1.r四、解答下列各题1求解矩阵方程(1) ; (2) ;254631X2113042X(3) ;103210(4) 01014320X解：（1）1254635462331208 （2） 10428/35/1X113240(3)001262/41 13(4)002041100220433411X 2设 , ,求023A2AB解： .()E.0202321103A，因此 可逆.EE
