1、习题 111 设 A( 5)(5 ) B10 3) 写出 AB A B AB 及 A(AB)的表达式 解 AB( 3)(5 ) A B10 5) AB( 10)(5 ) A(AB)10 5) 2 设 A、B 是任意两个集合 证明对偶律 (A B)CAC BC 证明 因为x (A B)C xA B xA 或 xB x AC 或 x BC x AC BC 所以 (A B)CAC BC 3 设映射 f X Y A X B X 证明(1)f(AB)f(A)f(B) (2)f(A B) f(A) f(B) 证明 因为y f(AB) xAB 使 f(x)y (因为 xA 或 xB) y f(A)或 y f
2、(B) y f(A)f(B) 所以 f(AB)f(A)f(B) (2)因为y f(A B) xA B 使 f(x)y (因为 xA 且 xB) y f(A)且 y f(B) y f(A) f(B)所以 f(A B) f(A) f(B) 4 设映射 f XY 若存在一个映射 g YX 使 其中XIfYIgfIX、I Y 分别是 X、Y 上的恒等映射 即对于每一个 x X 有 IX xx 对于每一个y Y 有 IY yy 证明 f 是双射 且 g 是 f 的逆映射 gf 1 证明 因为对于任意的 y Y 有 xg(y) X 且 f(x)fg(y)Iy yy 即 Y 中任意元素都是 X 中某元素的像
3、 所以 f 为 X 到 Y 的满射 又因为对于任意的 x1x2 必有 f(x1)f(x2) 否则若 f(x1)f(x2) g f(x1)gf(x2) x1x2 因此 f 既是单射 又是满射 即 f 是双射 对于映射 g YX 因为对每个 y Y 有 g(y)x X 且满足 f(x)fg(y)Iy yy 按逆映射的定义 g 是 f 的逆映射 5 设映射 f XY A X 证明 (1)f 1(f(A)A (2)当 f 是单射时 有 f 1(f(A)A 证明 (1)因为 x A f(x)y f(A) f 1(y)x f 1(f(A) 所以 f 1(f(A)A (2)由(1)知 f 1(f(A)A 另
4、一方面 对于任意的 x f 1(f(A) 存在 y f(A) 使 f 1(y)x f(x)y 因为y f(A)且 f 是单射 所以 x A 这就证明了 f 1(f(A) A 因此 f 1(f(A)A 6 求下列函数的自然定义域 (1) 23x解 由 3x20 得 函数的定义域为 3),32(2) 1y解 由 1x20 得 x1 函数的定义域为( 1)(1 1)(1 ) (3) 解 由 x0 且 1x20 得函数的定义域 D1 0)(0 1(4) 4y解 由 4x20 得 |x|2 函数的定义域为(2 2) (5) ysin解 由 x0 得函数的定义 D0 ) (6) ytan(x1)解 由 (
5、k0 1 2 )得函数的定义域为 (k0 1 2 )x 2x(7) yarcsin(x3) 解 由|x3|1 得函数的定义域 D2 4 (8) arctn3解 由 3x0 且 x0 得函数的定义域 D( 0)(0 3) (9) yln(x1) 解 由 x10 得函数的定义域 D(1 ) (10) e解 由 x0 得函数的定义域 D( 0)(0 ) 7 下列各题中 函数 f(x)和 g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)lg x2 g(x)2lg x(2) f(x)x g(x) (3) 3431)(4)f(x)1 g(x)sec2xtan2x 解 (1)不同 因为定义域不同 (2)不同 因为对
6、应法则不同 x 0 时 g( x)x (3)相同 因为定义域、对应法则均相相同 (4)不同 因为定义域不同 8 设 求 (2) 并作出函数 y(x)3| 0|sin|)(xx)6(4)的图形 解 21|6sin|)(2|4sin|)(2|)4sin(|)(0)(9 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1) ( 1) xy(2)yxln x (0 ) 证明 (1)对于任意的 x1 x2 ( 1) 有 1x10 1x20 因为当 x1x2 时 0)1(12221 xxy所以函数 在区间( 1)内是单调增加的 x(2)对于任意的 x1 x2 (0 ) 当 x1x2 时 有 0ln)(ln(l( 12
7、1 y所以函数 yxln x 在区间 (0 )内是单调增加的 10 设 f(x)为定义在(l l)内的奇函数 若 f(x)在(0 l)内单调增加 证明 f(x)在(l 0)内也单调增加 证明 对于x 1 x2(l 0)且 x1x2 有x 1 x2(0 l)且x 1x2 因为 f(x)在(0 l) 内单调增加且为奇函数 所以f(x2)f(x1) f(x2)f(x1) f(x2)f(x1) 这就证明了对于x 1 x2(l 0) 有 f(x1) f(x2) 所以 f(x)在(l 0)内也单调增加11 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(l l)上的 证明 (1)两个偶函数的和是偶函数 两个奇函数的
8、和是奇函数(2)两个偶函数的乘积是偶函数 两个奇函数的乘积是偶函数 偶函数与奇函数的乘积是奇函数 证明 (1)设 F(x)f(x)g(x) 如果 f(x)和 g(x)都是偶函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x) 所以 F(x)为偶函数 即两个偶函数的和是偶函数 如果 f(x)和 g(x)都是奇函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x) 所以 F(x)为奇函数 即两个奇函数的和是奇函数 (2)设 F(x)f(x)g(x) 如果 f(x)和 g(x)都是偶函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x) 所以 F(x)为偶函数 即两个偶函数的积是偶函数 如果
9、 f(x)和 g(x)都是奇函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x) 所以 F(x)为偶函数 即两个奇函数的积是偶函数 如果 f(x)是偶函数 而 g(x)是奇函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x) 所以 F(x)为奇函数 即偶函数与奇函数的积是奇函数 12 下列函数中哪些是偶函数 哪些是奇函数 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)yx2(1x2) (2)y3x2x3(3) 1(4)yx(x1)(x1)(5)ysin xcos x1(6) 2a解 (1)因为 f(x)(x)21(x)2x2(1x2)f(x) 所以 f(x)是偶函数
10、(2)由 f(x)3(x)2(x)33x2x3 可见 f(x)既非奇函数又非偶函数 (3)因为 所以 f(x)是偶函数 1(4)因为 f(x)(x)(x1)(x1)x(x1)(x1)f(x) 所以 f(x)是奇函数 (5)由 f(x)sin(x)cos(x)1sin xcos x1 可见 f(x)既非奇函数又非偶函数 (6)因为 所以 f(x)是偶函数 2( faa13 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数 指出其周期 (1)ycos(x2)解 是周期函数 周期为 l2 (2)ycos 4x解 是周期函数 周期为 l(3)y1sin x解 是周期函数 周期为 l2(4)yxcos x解 不
11、是周期函数(5)ysin2x解 是周期函数 周期为 l14 求下列函数的反函数 (1) 31xyr(3)r(3)解 由 得 xy31 所以 的反函数为 yx313y31xy(2) 1f(1-x)解 由 得 所以 的反函数为 yyx1xy1(3) (adbc0) dcxba解 由 得 所以 的反函数为 yacybdcxbayacxbdy(4) y2sin3x 解 由 y2sin 3x 得 所以 y2sin3x 的反函数为 2rsin1 2rsin31y(5) y1ln(x2) 解 由 y1ln(x2)得 xey12 所以 y1ln(x2)的反函数为 yex12(6) 2解 由 得 所以 的反函数
12、为 1xyylog212x xy1log215 设函数 f(x)在数集 X 上有定义 试证 函数 f(x)在 X 上有界的充分必要条件是它在 X 上既有上界又有下界 证明 先证必要性 设函数 f(x)在 X 上有界 则存在正数 M 使| f(x)|M 即Mf(x)M 这就证明了 f(x)在 X 上有下界M 和上界 M 再证充分性 设函数 f(x)在 X 上有下界 K1 和上界 K2 即 K1f(x) K2 取Mmax|K1| |K2| 则 M K1f(x) K2M 即 |f(x)|M 这就证明了 f(x)在 X 上有界 16 在下列各题中 求由所给函数复合而成的函数 并求这函数分别对应于给定自
13、变量值 x1 和 x2 的函数值 (1) yu2 usin x 632解 ysin2x 41)(sin1 43)2(siny(2) ysin u u2x 82解 ysin2x 24sin)82i(112sin)4i(y(3) u1x2 x11 x2 2解 yy512y(4) yeu ux2 x1 0 x21解 e2(5) yu2 uex x11 x21解 ye2x y1e21e2 y2e2(1)e217 设 f(x)的定义域 D0 1 求下列各函数的定义域 (1) f(x2) 解 由 0x21 得|x|1 所以函数 f(x2)的定义域为1 1(2) f(sinx) 解 由 0sin x1 得
14、2nx(2n1) (n0 1 2 ) 所以函数 f(sin x)的定义域为2n (2n1) (n0 1 2 ) (3) f(xa)(a0) 解 由 0xa1 得ax1a 所以函数 f(xa)的定义域为a 1a(4) f(xa)f(xa)(a0) 解 由 0xa1 且 0xa1 得 当 时 ax1a 当 时 无解 因202此当 时函数的定义域为a 1a 当 时函数无意义218 设 g(x)ex Error! 求 fg(x)和 gf(x) 并作出这两个函| 0|)(xf数的图形 解 即 1| 0|)(xexgf 0 1)(xxgf 即 | |)(10)(xexff 1| |)(xef19 已知水渠
15、的横断面为等腰梯形 斜角 40(图 137) 当过水断面 ABCD的面积为定值 S0 时 求湿周 L(LABBCCD)与水深 h 之间的函数关系式 并指明其定义域 图 137解 又从4sinhDCAB得0)cot2(2Sh 所以hS0 hhSL40sinco20自变量 h 的取值范围应由不等式组h0 ct确定 定义域为 4cot0S20 收敛音机每台售价为 90 元 成本为 60 元 厂方为鼓励销售商大量采购 决定凡是订购量超过 100 台以上的 每多订购 1 台 售价就降低 1 分 但最低价为每台 75 元 (1)将每台的实际售价 p 表示为订购量 x 的函数 (2)将厂方所获的利润 P 表
16、示成订购量 x 的函数 (3)某一商行订购了 1000 台 厂方可获利润多少？解 (1)当 0x100 时 p90 令 001(x0100)9075 得 x01600 因此当 x1600 时 p75 当 100x1600 时 p90(x100)001910 01x 综合上述结果得到 160 75.91 x(2) 160.3)60(2xpP(3) P3110000011000221000(元) 习题 121 观察一般项 xn 如下的数列 xn的变化趋势 写出它们的极限 (1) nx解 当 n时 0 n21limn(2) x)(解 当 n时 0 nx)1(01)(lin(3) 2x解 当 n时 2
17、 xn2)(limn(4) 1x解 当 n时 0 1xn 1lin(5) xnn(1)n 解 当 n时 x nn(1)n 没有极限2 设数列x n的一般项 问 ? 求出 N 使当 nN 时 x n 与其x2cosnxlim极限之差的绝对值小于正数 当 0001 时 求出数 N解 0limn 0 要使| x n0| 只要 也就是 取xn1|2cos| n11n 1N则nN 有|x n0| 当 0001 时 100013 根据数列极限的定义证明(1) lim2n分析 要使 只须 即 21|0|n12n证明 因为 0 当 nN 时 有 所以 |0|201lim2n(2) 231limn分析 要使 只
18、须 即 n41)(| n414证明 因为 0 当 nN 时 有 所以 |23| 231lin(3) 1lim2na分析 要使 只须 nanan2222 )(| 2a证明 因为 0 当 nN 时 有 所以2|1|2 1lim2na(4) 9 .0li个分析 要使|099 9 1| 只须 即 10n10n1lg证明 因为 0 当 nN 时 有|0 99 91| 所以lgN 19.0lim个n4 证明 并举例说明 如果数列 |xn|有极限 但数列 xn未auli |limaun必有极限 证明 因为 所以 0 NN 当 nN 时 有 从而nli |aun|un|a|una| 这就证明了 |limaun
