1、 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 20163（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 为 虚数单位，复数 = i2i1A B C Di1i1i2 已知全集 ，函数 的定义域为 ，集合 ，则下列结论正确的是URln()yxM20NxA B MNUC D3 “ ”是“ ”的 abeabA充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4 执
2、行如图所示的程序框图，输出的 值为SA42 B19 C8 D35在 中，角 A， B， C 的对边分别为,.abc若 ，则角 B 的值为 22()tancbcA B C D 3623或 56或6某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是A. 收入最高值与收入最低值的比是 :1B. 结余最高的月份是 7 月 C.1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同D. 前 6 个月的平均收入为 40 万元（注：结余=收入-支出）开始 1,iS4?i1i2Si输出 S结束否是(第 4 题图)万元月O 2O3 430110205 6 8O9 10711151
3、2406050709080收入支出7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A B 32C D138若圆 与曲线 的没有公共点，则半径 的取值范围是22(1)xyr(1)xyrA B C D0r0203r1302第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题卡上 9 二项式 的展开式中含 的项的系数是 （用数字作答）251()x4x10已知等差数列 ( )中， ， ，则数列 的通项公式 ；naN1a47nana_ 2610410a11在直角坐标系 中，曲线 的方程为 ，曲线 的参数方程为xOy1C2xy2C为参数 以原点 为极
4、点， 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲,(xty)线 与 的交点的极坐标为 1C212不等式组 所表示的平面区域为 D若直线 与区域 D 有公共点，则实数 a 的取0,9xy (1)yax(第 7 题图)正视图 侧视图俯视图2 111值范围是 13已知 为 所在平面内的一点，且 若点 在 的内部(不含边界)， 则实数MABC14AMBnCMABC的取值范围是 _ n14某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述每名学生的第（ ）项能力特征用 表示，i1,2 ix0,1i i如 果 某 学 生 不 具 有 第 项 能 力 特 征 ， 如 果 某 学 生 具 有 第 项 能
5、 力 特 征 .若学生 的十二项能力特征分别记为 ， ，则 AB2(,)Aa 121(,)Bb ,AB两名学生的不同能力特征项数为 （用 表示）如果两个 i同学不同能力特征项数不少于 ，那么就说这两个同学的综合能力差异较大若该班有 名学生两两综合能力7 3差异较大，则这 名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 3三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题满分 13 分）已知函数 ， 213()sin3cos2xfx0（）若 ，求 的单调递增区间；f（）若 ，求 的最小正周期 的表达式并指出 的最大值()13f()xTT16（本小题满分 13
6、 分）为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表（）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为 4的概率？（）若从阅读名著不少于 4 本的学生中任选 4 人，设选到的男学生人数为 ，求随机变X量 的分布列和数学期望；X（）试判断男学生阅读名著本数的方差 与女学生阅读名著本数的方差 的大小（只需21s 2s写出结论）人数 本数性别1 2 3 4 5男生 1 4 3 2 2女生 0 1 3 3 117 （本小题满分 14 分）如图，在直角梯形 中， ， ， 直角梯形1AB190A1/BA112AB通过直角梯形 以直线 为轴旋转得到，且
7、使得平面1AC平面 为线段 的中点， 为线段 上的动点1MCP1（）求证： ；AP（）当点 是线段 中点时，求二面角 的余 1BAMB弦值；（）是否存在点 ，使得直线 /平面 ？请说明理由 P1CP18（本小题满分 13 分）已知函数 ()fxln,axR（）求函数 的单调区间；（）当 时，都有 成立，求 的取值范围；1,2x()0fxa（）试问过点 可作多少条直线与曲线 相切？并说明理由(3)P， ()yfx19（本小题满分 14 分）已知点 和椭圆 (2,1)P:C214xy（）设椭圆的两个焦点分别为 ， ，试求 的周长及椭圆的离心率；1F212PF（）若直线 与椭圆 交于两个不同的点 ，
8、 ，直线 ， 与 轴分别交:l20()xymCABPBx于 ， 两点，求证： MNPMN20（本小题满分 13 分）已知等差数列 的通项公式 .设数列 为等比数列,且 .na31()nanbnkba（）若 ,且等比数列 的公比最小，1=2bb（）写出数列 的前 4 项；n（）求数列 的通项公式；kAMPCBA1C1B1（）证明：以 为首项的无穷等比数列 有无数多个.125banb北京市朝阳区 2015-2016 学年度第二学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 20163一、选择题：（满分 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D D A B C D A C二、填空题：（满分
9、30 分）题号 9 10 11 12 13 14答案 10,21na(3)41n(2,)43(,(0,)412|iiab2（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）三、解答题：（满分 80 分）15（本小题满分 13 分）解：（）当 时， 1213()sincos2xfx13sincos2xin()3x令 2,3kkZ解得 ,66x所以 的单调递增区间是 .7 分()fx2,6kk（）由 13sin3cos2xfxisin()3x因为 ，所以 )1fsi()1则 ， 23nZ解得 6又因为函数 的最小正周期 ，且 ，()fx2T0所以当 时， 的最大值为 13 分12416 （本小题满
10、分 13 分）解：（）设事件 ：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅A读本数之和为 4 由题意可知， 4 分13+7()=2896P（）阅读名著不少于 4 本的学生共 8 人，其中男学生人数为 4 人，故 的取值为X0,123由题意可得 ； ；481(0)7CPX13486()705CPX； ；24836()53148()481()70CPX所以随机变量 的分布列为 X01234P785170随机变量 的均值 10 分X163602420E（） 13 分21s17 （本小题满分 14 分）解：（）由已知 ，且平面 平面 ，1190ABC1AC1AB所以 ，即 又因为 且
11、，90C所以 平面 由已知 ，所以 平11/1面 1AB因为 平面 ，P1AB所以 1AC4 分（）由（）可知 两两垂直1,AB分别以 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系如图所示1,CxyzyxAMPCBA1C1B1z由已知 ，1122ABCBAC所以 ， (0,)(,0)(,)(0,)1(,02)因为 为线段 的中点， 为线段 的中点，所以 MP1 3,(0,1)2MP易知平面 的一个法向量 AB(,)m设平面 的一个法向量为 ， Pxyzn由 得 0,An0,3.2z取 ，得 2y(,)由图可知，二面角 的大小为锐角，PMB所以 317cos,mn所以二面角 的余弦值为 9 分PAB17
12、（）存在点 ，使得直线 /平面 1CMP设 ，且 ， ，则 ，1(,)xyz0,11(,2)(0,2)xyz所以 所以 102,zA设平面 的一个法向量为 ， AP00(,)xyzn由 得 0,Mn0 (2).x取 ，得 （显然 不符合题意）01y01,又 ，若 /平面 ，则 ()AC1ACMP10ACn所以 所以 1020n23所以在线段 上存在点 ，且 时，使得直线 /平面 14 分1BP1B1AP18（本小题满分 13 分）解：（）函数 的定义域为 ()fx0x()axfx（1）当 时， 恒成立，函数 在 上单调递增；0a()0fx()fx0,)（2）当 时， 令 ，得 a当 时， ，函
13、数 为减函数；x()fx()fx当 时， ，函数 为增函数a0综上所述，当 时，函数 的单调递增区间为 ()fx(0,)当 时，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 a(+)a，4 分（）由（）可知，（1）当 时，即 时，函数 在区间 上为增函数，a1()fx1,2所以在区间 上， ，显然函数 在区间 上恒大于零；,2min()fx()fx1,2（2）当 时，即 时，函数 在 上为减函数，在afa， ,a上为增函数，所以 min()()ln()fxfa依题意有 ，解得 ，所以 inl0fe21（3）当 时，即 时， 在区间 上为减函数，2a2()fx1,所以 min()()+lfxfa依题
14、意有 ，解得 ，所以 i 02lna2la综上所述，当 时，函数 在区间 上恒大于零8 分2ln()fx1,（）设切点为 ，则切线斜率 ，00,)xa（ 0akx切线方程为 000(ln)(1)yx因为切线过点 ，则 (1,3)P000(l)()1aax即 0(ln)2ax令 ，则 1)lg(0)x221(1)()axgx（1）当 时，在区间 上， ， 单调递增；0a(0,1)()0gx()x在区间 上， ， 单调递减，,所以函数 的最大值为 ()gx(1)20g故方程 无解，即不存在 满足式0x因此当 时，切线的条数为 a（2）当 时 , 在区间 上， ， 单调递减，0(,1)()0g()在
15、区间 上， ， 单调递增，,xg所以函数 的最小值为 ()gx(1)20取 ，则 21+eax 211eeaa故 在 上存在唯一零点()g,)取 ，则 2-1eax22112(e)e4aagxa21e()a设 ， ，则 ()ttetu(tu当 时， 恒成立120t所以 在 单调递增， 恒成立所以 ()ut,)()1e2ut2()0gx故 在 上存在唯一零点gx0,1因此当 时，过点 P 存在两条切线a(3)，（3）当 时， ，显然不存在过点 P 的切线0fx(13)，综上所述，当 时，过点 P 存在两条切线；a()，当 时，不存在过点 P 的切线 13 分0a(13)，19（本小题满分 14
16、分）解：()由题意可知， ， ，所以 24a2b2c因为 是椭圆 上的点，由椭圆定义得 (,1)C124PF所以 的周长为 2PF易得椭圆的离心率 4 分2=cea()由 得 20,14xym22480xm因为直线 与椭圆 有两个交点，并注意到直线 不过点 ，lClP所以 解得 或 228(8)0,.m404设 ， ，则 ， ,1(,)Axy2(,)B12xm218x， 122y显然直线 与 的斜率存在，设直线 与 的斜率分别为 ， ，PABPAB1k2则 1212ykx1 22 11()()()(2)mxmx12211()()()(xxx1221(4)4()mm21212(8)8162()xx2112()48()mm21212681620()xx 因为 ，所以 120kPMN所以 14 分P20（本小题满分 13 分）
