1、揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考数学（理科）试题第 1 页（共 4 页）绝密启用前揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(理科)本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答
2、案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回参考公式：棱锥的体积公式： 其中 表示棱锥的底面积， 表示棱锥的13VShh高一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的1已知 ，则下列表示正确的是|31,AxkZA. B. C. D.A32kA231kA2已知复数 ，则1zi2zA. 2 B. 2 C. 2i D. 2i 3命题 P：“ ”的否定 为,xRxPA. B. 2,12,1xRxC. D. xx4已知 ，则sin()3cos2A. B. C. D. 2
3、98979795.设向量 ，若向量 与向量 共线，则 的值为(1)(23)， ， ，abab(56)，cA B C D434149揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考数学（理科）试题第 2 页（共 4 页）入2 入ai90n=+1n=0,i1入入a1入2入a12i=i+1入入ni12入侧1侧 侧侧h656已知变量 满足约束条件 0125xy，则 的最小值是,xy yxA.1 B. C. D.0437已知点 P 在抛物线 上，那么点 P 到点 的距离与点 P 到抛物线焦点距2xy(12)M，离之和取得最小值时，点 P 的坐标为A B C D1(,)41(,)4(,)(1,2)8连续掷一
4、正方体骰子（各面的点数分别为 1，2，3，4，5，6）两次得到的点数分别为m、n，作向量 ，若 ，则 与 的夹角成为直角三角形内角的概率是(,)an(,)babA. B. C. D. 59712 710二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题（913 题）9已知幂函数 的图象过点 ，则 的值为 ()yfx(3,)12log()f10 展开式中的常数项为 61(2)x11图 1 中的三个直角三角形是一个体积为 的几何体的三视图，30cm则侧视图中的 h=_cm 12下表记录了某学生进入高三以来各次数学考试的成绩考试第次 1 2 3 4 5 6
5、 7 8 9 10 11 12成绩（分） 65 78 85 87 88 99 90 94 93 102 105 116将第 1 次到第 12 次的考试成绩依次记为 .图 2 是121,aL统计上表中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是 .13在ABC 中，已知角 所对的边分别为 ，CBA, cba,且 ，则 = 2(cos)aBbsin（二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 (,) 0)中，曲线与 的交点的极坐标为 2cosin)3(cos2in1揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考数学（理科）试
6、题第 3 页（共 4 页）NMPoy x15 （几何证明选讲选做题）如图 3，点 P 在圆 O 的直径 AB 的延长线上，且 PB=OB=3,PC 切圆 O 于 C 点，CD AB 于点 D，则 CD 的长为 图 3三解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16(本小题满分 12 分)已知函数 的部分图象如图 4 示，(sin()fxAx(0)，其中 M 为图象与 轴的交点， 为图象的最高点 1,0)61,23P(1)求 、 的值；(2)若 ， ，求 的值 图 42()3f(,0)cos()17(本小题满分 12 分)某校为了调查“学业水平考试”学生的数
7、学成绩，随机地抽取该校甲、乙两班各 10 名同学，获得的数据如下：（单位：分）甲：132，108，112，121，113，121，118，127，118，129；乙：133，107，120，113，122，114，125，118，129，127.（1）以百位和十位为茎，个位为叶，在图 5 中作出甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图，并判断哪个班的平均水平较高；（2）若数学成绩不低于 128 分，称为“优秀” ，求从甲班这 10 名学生中随机选取 3 名，至多有 1 名“优秀”的概率；（3）以这 20 人的样本数据来估计整个学校的总体成绩，若从该校（人数很多）任选 3 人，记 X 表示抽到“优秀”学生
8、的人数，求 X 的数学期望18(本小题满分 14 分)已知等比数列 满足： ， ， 为其前 项和，且 成等差na0n15anS13220S， ， 7数列（1）求数列 的通项公式；n（2）设 ，求数列 的前 n 项和 525452+logllogn nbaa 1bT19 （本小题满分 14 分）如图6，已知四棱锥P-ABCD中，侧面PAD底面ABCD，ABCD，ADCD ，PA=PD=CD=2AB=2（1）求证：ABPD ；（2）记 AD= ， 表示四棱锥 P-ABCD 的体积，x()V当 取得最大值时，求二面角 A-PD-B 的余弦值()V揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考数学（理
9、科）试题第 4 页（共 4 页）20(本小题满分 14 分) 已知椭圆 : 的焦点分别为 、 ， 为C21(0)xyab1(3,0)F2(,)P椭圆 上任一点， 的最大值为 1.12PFur（1）求椭圆 的方程；（2）已知点 ，试探究是否存在直线 与椭圆 交于 、 两点，(,0)A:lykxmCDE且使得 ？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.|DEk21(本小题满分 14 分) 已知函数 22(1,()fxaxR（1）当 时，解不等式 ；a()f（2）当 时，求函数 的单调区间；0x（3）若在区间 上，函数 的图象总在直线 是常数）的下方，(,1()f (,ymR求 的取值范围a
10、揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考数学（理科）试题第 5 页（共 4 页）揭阳市 2015年高中毕业班高考第二次模拟考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数一、选择题：DBCD ACBB解析：8因 m、n
11、 均取自 1-6，故向量 有 种取法，由a63知， ，则 ，这样的 共有2cos,ab0,2bmn(,)n（个） ，故所求的概率 1234561 1736P二、填空题：9. 1；10. ；11. 6；12.7；13. ；14. ；15. .02(,)432三、解答题：16解：（1）由 为图象的最高点知 ，-1 分1(,2)3PA又点 M 知函数 的最小正周期 ，-3 分06(fx14()236T ,-5 分T(2)由（1）知， ()2sin()6fx由 得 ，-6 分()3f1i3 -7,0分 -9 分212cos()1sin()6693 -11co3cos()sin()si66分 -12 分
12、cos()23121揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考数学（理科）试题第 6 页（共 4 页）17解：（1）甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示：-3 分乙班的平均水平较高；-4 分（2）由上数据知：甲班这 10 人中“优秀”的学生有 2 名，则从这 10 名学生中随机选取 3 人，至多有 1 人“优秀” 的概率 .-8 分32180C+45P（3）因样本 20 名学生中， “优秀”的有 4 名，故从这 20 名学生中任选 1 名，恰好抽到“优秀”的概率为 ，-=.2-10 分据此可估计从该校中任选 1 名学生，其为“优秀”的概率为 0.2，因 ,(30.2)XB:，所以 .-1
13、2 分30.26EX18解：（1）设数列 的公比为 ，naq 成等差数列， -2 分1,7S312207.S即 ，化简得 ，-4 分211()()qa 520q解得： 或 -6 分5 ， 不合舍去，0na2 .-7 分11nq(2) 525452+logllogn nba= -9 分42()42(+1)n n ，-10 分1)(1) = ，-12 分nb()+22n） 12nnTb 11()()()342n.-14 分()19解：（1）证明：ABCD，ADCD，ABAD，-1 分侧面 PAD 底面 ABCD，且平面 平面 ，PADBC=ADAB平面 PAD -2 分又 平面 PAD，PDABP
14、D-3 分（2）取 AD 中点 E，连结 PE，PA=PD，PEAD，-4 分揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考数学（理科）试题第 7 页（共 4 页）又侧面 PAD 底面 ABCD，且平面 平面 ，PADBC=ADPE底面 ABCD，-5 分在 PEA 中，Rt224xE （ ）-1()3ABCDVxSP梯 形 21()3216x04-7 分 -9 分()x22(6)4x当且仅当 ，即 时， “”成立，21即当 取得最大值时 ， -10 分()VxAD解法 1： ， ，PDPA ，-11 分222+8PA又(1)知 ABPD ， B 平面 ,又 PB 平面PAPDPB，-13 分
15、 为二面角 APDB 的平面角在 中, ,RtP25cosP即当 取得最大值时，二面角 APD B 的余弦值为 -14 分()Vx 25解法 2：以点 E 为坐标原定， EA 所在的直线为 x 轴、PE 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系如图示：z则 E（0，0，0） ，A( ，0，0) ，2D( ，0，0)，P(0 ，0， )，2(2,10)B ,(,1,PBPD设平面 PDB 的法向量为 (,)mabc由 得 ， ，,m2020ac揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考数学（理科）试题第 8 页（共 4 页）令 ，则 ， -12 分1ca2b(1,2)m又 是平面 PAD 的一个法
16、向量，(0,)AB设二面角二面角 APDB 的大小为 ，则，225cos|1810m即所求二面角 APDB 的余弦值为 -145分20.解：(1)设 ,由 、 得()Pxy1(3,0)F2(,), .3Fur2xyur ，-2 分212()x23由 得2xyab221ba ，-4 分212()3xPFur 23xb ，当 ，即 时， 有最大值，20xaa12PFur即 ，-6 分212max()31br ， ，b4c所求双曲线 的方程为 .-7 分C21xy（其它解法请参照给分）（2）假设存在直线 满足题设，设 ，l12(,)(,)DxEy将 代入 并整理得ykxm24y，-8 分22(14)
17、80由 ，得 -26(1)4)16(41)0kkmk221km揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考数学（理科）试题第 9 页（共 4 页）又 -10 分12284kmx由 可得|ADE221112121212()()()()0xyxyxxyy212121012(kkm28()4km化简得 -12 分3k将代入得2214()化简得 ，422200(51)0kk解得 或5所以存在直线 ，使得 ，此时 的取值范围为 -l|ADEk5(,)(,)-14 分21解：（1）当 时，不等式 即 ，1a()1fx|x显然 ，当 时，原不等式可化为： -0x|1x02x-2 分当 时，原不等式可化为：
18、 或 或 ，|1|xx20x综上得：当 时，原不等式的解集为 -3 分1a|020或（2） -4 分2,()().xafx若 时， ，由 知，在 上， ，a0()2f(,)a()0fx若 ，由 知，当 时， ，x()fxaxfx揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考数学（理科）试题第 10 页（共 4 页）当 时， ，2ax()0fx当 时，函数 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 .-60(,)2a(,)(,)2a分(其它解法请参照给分)（3）在区间 上，函数 的图象总在直线 是常数）的下方，(,1()fx(,ymR即对 都有 ， 对 都有 ，-7 分0xm0,1x|1xa显然 ，m即 对 ， 恒成立1()1a(,对 ， -8 分0,x1x设 ， ， ，()(,g()mp(0,1x则对 ， 恒成立 ， -,1xmaxamin)()gpx(0,1-9 分 当 时2(),gx(0,1()0g函数 在 上单调递增， -10 分(max又 ，21)mpx2(1)()当 即 时，对于 ，有0(0,x()0px函数 在 上为减函数()px,1 -11 分min2当 ，即 时，当 ，0(,1xm()0px当 ， (1,x()px在 上， -0,min1)212 分（或当 时，在 上， ，当1(0,()mpx12xm时取等号）x
