1、 12015 年江苏省高考数学试卷一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分）1 （5 分） （2015 江苏）已知集合 A=1，2，3 ，B=2，4，5 ，则集合 AB 中元素的个数为 5 考点： 并集及其运算菁优网版权所有专题： 集合分析： 求出 AB，再明确元素个数解答： 解：集合 A=1，2，3，B=2，4，5 ，则 AB=1，2，3，4，5；所以 AB 中元素的个数为 5；故答案为：5点评： 题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2 （5 分） （2015 江苏）已知一组数据 4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 6 考
2、点： 众数、中位数、平均数菁优网版权所有专题： 概率与统计分析： 直接求解数据的平均数即可解答： 解：数据 4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为： =6故答案为：6点评： 本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查3 （5 分） （2015 江苏）设复数 z 满足 z2=3+4i（i 是虚数单位） ，则 z 的模为 考点： 复数求模菁优网版权所有专题： 数系的扩充和复数分析： 直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可解答： 解：复数 z 满足 z2=3+4i，可得|z|z|=|3+4i|= =5，|z|= 故答案为： 点评： 本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计
3、算能力4 （5 分） （2015 江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 7 2考点： 伪代码菁优网版权所有专题： 图表型；算法和程序框图分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 I，S 的值，当 I=10 时不满足条件I8，退出循环，输出 S 的值为 7解答： 解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件 I8，S=3，I=4满足条件 I8，S=5，I=7满足条件 I8，S=7，I=10不满足条件 I8，退出循环，输出 S 的值为 7故答案为：7点评： 本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题5 （5 分） （2015 江苏）袋中有形状
4、、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、1 只红球、2只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 考点： 古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有专题： 概率与统计分析： 根据题意，把 4 个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可解答： 解：根据题意，记白球为 A，红球为 B，黄球为 C1、C 2，则一次取出 2 只球，基本事件为 AB、AC 1、AC 2、BC 1、BC 2、C 1C2 共 6 种，其中 2 只球的颜色不同的是 AB、AC 1、AC 2、BC 1、BC 2 共 5 种；所以所求的概率是 P= 故答案为： 点评： 本题考查了用列举法求
5、古典概型的概率的应用问题，是基础题目6 （5 分） （2015 江苏）已知向量 =（2，1） ， =（1，2） ，若 m +n =（9， 8）（m，nR ） ，则 mn 的值为 3 3考点： 平面向量的基本定理及其意义菁优网版权所有专题： 平面向量及应用分析： 直接利用向量的坐标运算，求解即可解答： 解：向量 =（2，1） ， =（1，2） ，若 m +n =（9，8）可得 ，解得 m=2，n=5，mn=3故答案为：3点评： 本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力7 （5 分） （2015 江苏）不等式 2 4 的解集为 （ 1，2） 考点： 指、对数不等式的解法菁优网版权所
6、有专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析： 利用指数函数的单调性转化为 x2x2，求解即可解答： 解； 2 4，x2x 2，即 x2x20，解得：1x 2故答案为：（1，2）点评： 本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大8 （5 分） （2015 江苏）已知 tan=2，tan（ +）= ，则 tan 的值为 3 考点： 两角和与差的正切函数菁优网版权所有专题： 三角函数的求值分析： 直接利用两角和的正切函数，求解即可解答： 解：tan=2，tan（+）= ，可知 tan（+）= = ，4即 = ，解得 tan=3故答案为：3点评： 本题考查两角和的
7、正切函数，基本知识的考查9 （5 分） （2015 江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径 r，求出体积，由前后体积相等列式求得 r解答： 解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为： 设新圆锥和圆柱的底面半径为 r，则新圆锥和圆柱的体积和为： ，解得： 故答案为： 点评： 本题考查了圆柱与圆锥的体积
8、公式，是基础的计算题10 （5 分） （2015 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，以点（1，0）为圆心且与直线mxy2m1=0（m R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 （x 1） 2+y2=2 考点： 圆的标准方程；圆的切线方程菁优网版权所有专题： 计算题；直线与圆分析： 求出圆心到直线的距离 d 的最大值，即可求出所求圆的标准方程解答： 解：圆心到直线的距离 d= = ，m=1 时，圆的半径最大为 ，所求圆的标准方程为（x 1） 2+y2=2故答案为：（x1） 2+y2=2点评： 本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础511 （5 分） （
9、2015 江苏）设数列a n满足 a1=1，且 an+1an=n+1（nN *） ，则数列 的前10 项的和为 考点： 数列的求和；数列递推式菁优网版权所有专题： 等差数列与等比数列分析： 数列an满足 a1=1，且 an+1an=n+1（n N*） ，利用“累加求和 ”可得an= 再利用“裂项求和”即可得出解答： 解： 数列 an满足 a1=1，且 an+1an=n+1（nN *） ，当 n2 时，a n=（a nan1）+ +（a 2a1）+a 1=+n+2+1= 当 n=1 时，上式也成立，an= =2 数列 的前 n 项的和 Sn= 数列 的前 10 项的和为 故答案为： 点评： 本题
10、考查了数列的“累加求和”方法、 “裂项求和”方法、等差数列的前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12 （5 分） （2015 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x2y2=1 右支上的一个动点，若点 P 到直线 xy+1=0 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为 考点： 双曲线的简单性质菁优网版权所有专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 双曲线 x2y2=1 的渐近线方程为 xy=0，c 的最大值为直线 xy+1=0 与直线 xy=0 的距离6解答： 解：由题意，双曲线 x2y2=1 的渐近线方程为 xy=0，因为点 P 到直线 xy+1=
11、0 的距离大于 c 恒成立，所以 c 的最大值为直线 xy+1=0 与直线 xy=0 的距离，即 故答案为： 点评： 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础13 （5 分） （2015 江苏）已知函数 f（x）=|lnx|，g（x） = ，则方程|f（ x）+g（x） |=1 实根的个数为 4 考点： 根的存在性及根的个数判断菁优网版权所有专题： 综合题；函数的性质及应用分析： ：由|f （x）+g （x）|=1 可得 g（x）=f（x）1，分别作出函数的图象，即可得出结论解答： 解：由|f（x）+g （x）|=1 可得 g（x）=f（x）1g（x）与 h（x）= f（x）+1 的
12、图象如图所示，图象有两个交点；g（x）与 （x ）= f（x）1 的图象如图所示，图象有两个交点；7所以方程|f（x）+g （x）|=1 实根的个数为 4故答案为：4点评： 本题考查求方程|f（x）+g （x）|=1 实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题14 （5 分） （2015 江苏）设向量 =（cos ，sin +cos ） （k=0，1，2，12） ，则 （a kak+1）的值为 考点： 数列的求和菁优网版权所有专题： 等差数列与等比数列；平面向量及应用分析： 利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出解答：
13、 解： = += + + += + += + + ， （ akak+1）= + + + + + + + + + +8+ += +0+0= 故答案为：9 点评： 本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15 （14 分） （2015 江苏）在 ABC 中，已知 AB=2，AC=3，A=60 （1）求 BC 的长；（2）求 sin2C 的值考点： 余弦定理的应用；二倍角的正弦菁优网版权所有专题： 解三角形分析： （1）直接利用余弦定
14、理求解即可（2）利用正弦定理求出 C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可解答： 解：（1）由余弦定理可得：BC 2=AB2+AC22ABACcosA=4+8223 =7，所以 BC= （2）由正弦定理可得： ，则 sinC= = = ，ABBC，C 为锐角，则 cosC= = = 因此 sin2C=2sinCcosC=2 = 点评： 本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键16 （14 分） （2015 江苏）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知 ACBC，BC=CC 1，设 AB1 的中点为 D，B 1CBC1=E求证：（1）DE平面
15、 AA1C1C；（2）BC 1AB19考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质菁优网版权所有专题： 证明题；空间位置关系与距离分析： （1）根据中位线定理得 DEAC，即证 DE平面 AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出 CC1平面 ABC，即证 ACCC1；再证明 AC平面BCC1B1，即证 BC1AC；最后证明 BC1平面 B1AC，即可证出 BC1AB1解答： 证明：（1）根据题意，得；E 为 B1C 的中点，D 为 AB1 的中点，所以 DEAC；又因为 DE平面 AA1C1C，AC平面 AA1C1C，所以 DE平面 AA1C1C；（2）因为棱柱 ABCA1B1C1 是直三棱
16、柱，所以 CC1平面 ABC，因为 AC平面 ABC，所以 ACCC1；又因为 ACBC，CC1平面 BCC1B1，BC平面 BCC1B1，BCCC1=C，所以 AC平面 BCC1B1；又因为 BC1平面平面 BCC1B1，所以 BC1AC；因为 BC=CC1，所以矩形 BCC1B1 是正方形，所以 BC1平面 B1AC；又因为 AB1平面 B1AC，所以 BC1AB1点评： 本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目17 （14 分） （2015 江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计
17、划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 l1，l 2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l1，l 2 的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l1，l 2 的距离分别为 20 千米和102.5 千米，以 l2，l 1 在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数 y= （其中 a，b 为常数）模型（1）求 a，b 的值；（2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t请写出公路 l 长度的函数解析式 f（t） ，并写出其定义域；当 t 为何值时
18、，公路 l 的长度最短？求出最短长度考点： 函数与方程的综合运用菁优网版权所有专题： 综合题；导数的综合应用分析： （1）由题意知，点 M，N 的坐标分别为（5，40） ， （20，2.5） ，将其分别代入 y=，建立方程组，即可求 a，b 的值；（2）求出切线 l 的方程，可得 A，B 的坐标，即可写出公路 l 长度的函数解析式f（t） ，并写出其定义域；设 g（t）= ，利用导数，确定单调性，即可求出当 t 为何值时，公路l 的长度最短，并求出最短长度解答： 解：（1）由题意知，点 M，N 的坐标分别为（5，40） ， （20，2.5） ，将其分别代入 y= ，得 ，解得 ，（2）由（1）y= （5 x20） ，P（t， ） ，y= ，切线 l 的方程为 y = （xt）设在点 P 处的切线 l 交 x，y 轴分别于 A，B 点，则 A（ ，0） ，B （0， ） ，
