1、12013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷 I 新课标)第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013 课标全国，文 1)已知集合 A1,2,3,4， B x|x n2， n A，则 A B( )A1,4 B2,3 C9,16 D1,22(2013 课标全国，文 2) ( )21iA B C D1i+i1i1i23(2013 课标全国，文 3)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( )A B C D23464(2013 课标全国，文 4)已知双曲线
2、C： (a0， b0)的离心率为 ，则 C 的渐近线方2=1xyb52程为( )Ay By Cy Dyx1x1325(2013 课标全国，文 5)已知命题 p： xR,2 x3 x；命题 q： xR， x31 x2，则下列命题中为真命题的是( )Apq B pq Cp q D p q6(2013 课标全国，文 6)设首项为 1，公比为 的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，则( )ASn2an1 BSn3an2 CSn43an DSn32an7(2013 课标全国，文 7)执行下面的程序框图，如果输入的 t1,3，则输出的 s 属于( )A3,4 B5,2C4,3 D2,58(2013 课标
3、全国，文 8)O 为坐标原点， F 为抛物线 C： y2 的焦点，4xP 为 C 上一点，若| PF| ，则 POF 的面积为( )42A2 B C D439(2013 课标全国，文 9)函数 f(x)(1cos x)sin x 在，的图像大致为( )10(2013 课标全国，文 10)已知锐角 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c,23cos2Acos 2A0， a7， c6，则 b( )A10 B9 C8 D5211(2013 课标全国，文 11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A168 B88C1616 D81612(2013 课标全国，文 12
4、)已知函数 f(x)若| f(x)| ax，则 a 的取值范围是( )2,0ln(1).xA(，0 B(，1C2,1 D2,0第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13(2013 课标全国，文 13)已知两个单位向量 a， b 的夹角为 60， c ta(1 t)b.若 bc0，则t_.14(2013 课标全国，文 14)设 x， y 满足约束条件 则 z2 x y 的最大值为_13,0xy15(2013 课标全国，文 15)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点， AH HB12， AB平面 ， H 为垂足， 截球 O 所得截面的面积为 ，则球 O 的表面积为_16(2013
5、课标全国，文 16)设当 x 时，函数 f(x)sin x2cos x 取得最大值，则 cos _.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013 课标全国，文 17)(本小题满分 12 分)已知等差数列 an的前 n 项和 Sn满足S30， S55.(1)求 an的通项公式；(2)求数列 的前 n 项和21n18(2013 课标全国，文 18)(本小题满分 12 分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药，B 药)的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)试验的观测
6、结果如下：服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？319(2013 课标全国，文 19)(本小题
7、满分 12 分)如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，CA CB， AB AA1， BAA160.(1)证明： AB A1C；(2)若 AB CB2， A1C ，求三棱柱 ABC A1B1C1的体积620(2013 课标全国，文 20)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)e x(ax b) x24 x，曲线 y f(x)在点(0， f(0)处的切线方程为 y4 x4.(1)求 a， b 的值；(2)讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值21(2013 课标全国，文 21)(本小题满分 12 分)已知圆 M：( x1) 2 y21，圆 N：( x1) 2 y29，动圆 P 与圆 M
8、 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程；(2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线， l 与曲线 C 交于 A， B 两点，当圆 P 的半径最长时，求| AB|.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22(2013 课标全国，文 22)(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上， ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E， DB 垂直 BE 交圆于点 D.423(2
9、013 课标全国，文 23)(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 C1的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐45cos,inxy标方程为 2sin .(1)把 C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1与 C2交点的极坐标( 0,0 2)24(2013 课标全国，文 24)(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)|2 x1|2 x a|， g(x) x3.(1)当 a2 时，求不等式 f(x) g(x)的解集；(2)设 a1，且当 x 时， f(x) g(x)，求 a 的取值范围1,
10、252013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷 I 新课标)第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1答案：A解析： B x|x n2， n A1,4,9,16， A B1,42 答案：B解析： .21ii1i2i 1+i3 答案：B解析：由题意知总事件数为 6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是 2，所以所求的概率为 .134答案：C解析： ， ，即 .52eca254c c2 a2 b2， . .14b双曲线的渐近线方程为 ，yx渐近线方程为
11、.故选 C.25答案：B解析：由 203 0知， p 为假命题令 h(x) x31 x2， h(0)10， h(1)10， x31 x20 在(0,1)内有解 xR， x31 x2，即命题 q 为真命题由此可知只有 p q 为真命题故选 B.6答案：D解析： 32 an，故选 D.11nnnnaSq7答案：A解析：当1 t1 时， s3 t，则 s3,3)当 1 t3 时， s4 t t2.该函数的对称轴为 t2，该函数在1,2上单调递增，在2,3上单调递减 smax4， smin3. s3,4综上知 s3,4故选 A.86答案：C解析：利用| PF| ，可得 xP .24Px32 yP .
12、S POF |OF|yP| .261故选 C.9 答案：C解析：由 f(x)(1cos x)sin x 知其为奇函数可排除 B当 x 时， f(x)0，排除 A.0,2当 x(0，)时， f( x)sin 2xcos x(1cos x)2cos 2xcos x1.令 f( x)0，得 .3故极值点为 ，可排除 D，故选 C.210答案：D解析：由 23cos2Acos 2 A0，得 cos2A .15 A ，cos A .0,15cos A ， b5 或 (舍)2364913故选 D.11答案：A解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体V 半圆柱 2 248，1V 长方体 422
13、16.所以所求体积为 168.故选 A.12答案：D解析：可画出| f(x)|的图象如图所示当 a0 时， y ax 与 y| f(x)|恒有公共点，所以排除 B，C；当 a0 时，若 x0，则| f(x)| ax 恒成立若 x0，则以 y ax 与 y| x22 x|相切为界限，由 得 x2( a2) x0.2, ( a2) 20， a2. a2,0故选 D.第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22 题第24 题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13答案：2解析： bc0，| a| b|1， a，
14、b60， ab .12 bc ta(1 t)bb0，7即 tab(1 t)b20. 1 t0.2 t2.14答案：3解析：画出可行域如图所示画出直线 2x y0，并平移，当直线经过点 A(3,3)时， z 取最大值，且最大值为 z2333.15答案： 9解析：如图，设球 O 的半径为 R，则 AH ，23OH .又 EH2， EH1.在 Rt OEH 中， R2 ， R2 .2+1398 S 球 4 R2 .916答案： 5解析： f(x)sin x2cos x sin(x )，5其中 sin ，cos .25当 x 2 k (kZ)时， f(x)取最大值即 2 k (kZ)， 2 k (kZ
15、)cos sin .cos5三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解：(1)设 an的公差为 d，则 Sn .1()2ad由已知可得 130,5解得 a11， d1.故 an的通项公式为 an2 n.(2)由(1)知 ，21113232n从而数列 的前 n 项和为na8111232n .n18 解：(1)设 A 药观测数据的平均数为 ，B 药观测数据的平均数为 .xy由观测结果可得 (0.61.21.21.51.51.82.22.32.32.42.52.62.72.72.82.93.0x1203.13.23.5)2.3， (0.50.50.60.80.91.11.21.21.3
16、1.41.61.71.81.92.12.42.5y2.62.73.2)1.6.由以上计算结果可得 ，因此可看出 A 药的疗效更好xy(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有 的叶集中在茎 2,3 上，而 B 药疗效的试验结果有 的710 710叶集中在茎 0,1 上，由此可看出 A 药的疗效更好19(1)证明：取 AB 的中点 O，连结 OC， OA1， A1B.因为 CA CB，所以 OC AB.由于 AB AA1， BAA160，故 AA1B 为等边三角形，所以 OA1 AB.因为 OC OA1 O，所以 AB平面 OA1C.又 A1C平面 OA1C，
17、故 AB A1C.(2)解：由题设知 ABC 与 AA1B 都是边长为 2 的等边三角形，所以 OC OA1 .3又 A1C ，则 A1C2 OC2 ，6故 OA1 OC.因为 OC AB O，所以 OA1平面 ABC， OA1为三棱柱 ABC A1B1C1的高又 ABC 的面积 S ABC ，故三棱柱 ABC A1B1C1的体积 V S ABCOA13.320解：(1) f( x)e x(ax a b)2 x4.由已知得 f(0)4， f(0)4.故 b4， a b8.从而 a4， b4.(2)由(1)知， f(x)4e x(x1) x24 x，9f( x)4e x(x2)2 x44( x2
18、) .1e2x令 f( x)0 得， xln 2 或 x2.从而当 x(，2)(ln 2，)时， f( x)0；当 x(2，ln 2)时， f( x)0.故 f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减当 x2 时，函数 f(x)取得极大值，极大值为 f(2)4(1e 2 )21解：由已知得圆 M 的圆心为 M(1,0)，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为P(x， y)，半径为 R.(1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以| PM| PN|( R r1)( r2 R) r1 r24.由椭圆的定义可知，曲线
19、 C 是以 M， N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除外)，3其方程为 (x2)2=43xy(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x， y)，由于| PM| PN|2 R22，所以 R2，当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时， R2.所以当圆 P 的半径最长时，其方程为( x2) 2 y24.若 l 的倾斜角为 90，则 l 与 y 轴重合，可得| AB| .3若 l 的倾斜角不为 90，由 r1 R 知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则 ，可求得1|PRMrQ(4,0)，所以可设 l： y k(x4)由 l 与圆 M 相切得 1，解得 k .2
20、|324当 k 时，将 代入 ，并整理得 7x28 x80，解得 x1,2 ，244yx=13y 4627所以| AB| |x2 x1| .k87当 k 时，由图形的对称性可知| AB| .487综上，| AB| 或| AB| .387请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22(1)证明：连结 DE，交 BC 于点 G.由弦切角定理得， ABE BCE.而 ABE CBE，故 CBE BCE， BE CE.又因为 DB BE，所以 DE 为直径， DCE90，由勾
21、股定理可得 DB DC.(2)解：由(1)知， CDE BDE， DB DC，故 DG 是 BC 的中垂线，所以 BG .32设 DE 的中点为 O，连结 BO，则 BOG60.10从而 ABE BCE CBE30，所以 CF BF，故 Rt BCF 外接圆的半径等于 .3223解：(1)将 消去参数 t，化为普通方程( x4) 2( y5) 225，45cos,inxty即 C1： x2 y28 x10 y160.将 代入 x2 y28 x10 y160 得 28 cos 10 sin 160.s,i所以 C1的极坐标方程为 28 cos 10 sin 160.(2)C2的普通方程为 x2 y22 y0.由 016,xy解得 或1,2.所以 C1与 C2交点的极坐标分别为 ， .2,4,24解：(1)当 a2 时，不等式 f(x) g(x)化为|2 x1|2 x2| x30.设函数 y|2 x1|2 x2| x3，则 y15,2,361.x其图像如图所示从图像可知，当且仅当 x(0,2)时， y0.所以原不等式的解集是 x|0 x2(2)当 x 时， f(x)1 a.,2a不等式 f(x) g(x)化为 1 a x3.所以 x a2 对 x 都成立,故 a2，即 a .43从而 a 的取值范围是 .1,
