1、二次函数知识回顾一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，2yaxbca，0a叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零二次函数的定义域是全体实数bc，2. 二次函数 的结构特征：2yaxbc 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是 2xx 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项abc，abc例 1（基础） .二次函数 的图像的顶点坐标是（ ）2365yxA（-1，8） B.（1，8） C（-1 ，2） D （1，-4）习题精练1、二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示，反比例函数 y 与
2、正比例函数axy（ b c） x 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）2、若二次函数 配方后为 则 、 的值分别为（ ）52bxy kxy2)(bA .0 5 B .0. 1 C.-4. 5 D.-4. 13、图（1 ）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2m，水面宽 4m如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）A 2yx B 2yx C 21yxD 21yx图（1 ） 图（2）4、已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）A B23yx23yxC D2 25. 若 ，则由表格中信息可知 与 之间的函数关系式是（ ）2y
3、axbcyx1012axbc83 243yx24yx2yx86、巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高为 1 米的喷水管喷水最大高度为 3 米，此时喷水水平距离为 米，在如图 4 所示的坐标系中，这支12喷泉满足的函数关系式是（ ）A ） （B） （()3yx213()yxC） （D）218()3yx218()3yx二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： 的性质：2yaxa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号a开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质0a向上 0，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 00a向下 0，轴y
4、时， 随 的增大而减小； 时，0xyx0x随 的增大而增大； 时， 有最大y值 02. 的性质：2yaxc上加下减。3. 的性质：2yaxh左加右减。的符号a开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质0a向上 0c，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 c0a向下 0c，轴y时， 随 的增大而减小； 时，0xyx0x随 的增大而增大； 时， 有最大y值 c的符号a开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质0a向上 0h，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小y4. 的性质：2yaxhk三、二次函数图象的平移1. 平
5、移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标2yaxhk；hk， 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2yax，值 00a向下 0h，X=h时， 随 的增大而减小； 时，xhyxxh随 的增大而增大； 时， 有最大y值 0的符号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质0a向上 hk，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小y值 k0a向下 hk，X=h时， 随 的增大而减小； 时，xhyxxh随 的增大而增大； 时， 有最大y值 k【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【
6、y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移规律在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”hk概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二： 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成cbxay2ymcbxay2（或 ）mcbxa2 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成cxy2 cxy2（或 ）ba)()( cxby)()(2考点 1.二次函数的平移小试牛刀例 2 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数 与二次函数 的5yx2yxc图像交于点 (1)Am，（1 ）求 、 的值；c（2 ）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 例 3 把抛物线 y=3x
7、2向上平移 2 个单位，得到的抛物线是（ ）A.y=3（ x+2） 2 B.y=3（x-2） 2 C.y=3x2+2 D.y=3x2-2专题练习一1.对于抛物线 y= x2+ x ，下列说法正确的是（ ）1306A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B. 开口向上，顶点坐标为（5，3）C.开口向下，顶点坐标为（-5，3 ） D.开口向上，顶点坐标为（ -5，3）2.若抛物线 y=x2-2x+c 与 y 轴的交点为（0 ，-3），则下列说法不正确的是（ ）A.抛物线开口向上B.抛物线的对称轴是 x=1C.当 x=1 时，y 的最大值为-4D.抛物线与 x 轴交点为（-1，0 ），（3，0）3.将二
8、次函数 y=x2的图象向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度后，所得图象的函数表达式是_.4.小明从图 2 所示的二次函数 的图象中，2yaxbc观察得出了下面五条信息： ； ；0c； ； ，你认为其中正确0abc3ab4信息的个数有_.（填序号）考点 2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式图22102yx31.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax 2+bx+c（a0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a（x-h ） 2+k（a 0）；3.若已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-
9、x 1）（x-x 2）（a 0）.例 2 已知抛物线的图象以 A（-1，4 ）为顶点，且过点 B（2，-5），求该抛物线的表达式.例 3 已知一抛物线与 x 轴的交点是 A（-2，0 ）、B（1 ，0），且经过点C（ 2，8）.（1 ）求该抛物线的解析式；（2 ）求该抛物线的顶点坐标.专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击. 为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价. 若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为 y 元，原价为 a 元，则 y 与 x 之间的函数表达式为（ ）A.y=2a（x-1） B.y=2a（1-x ） C.y=a（1-x
10、 2） D.y=a（1-x） 22.如图 2，在平而直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B两点，点 A 在 x 轴负半轴，点 B 在 x 轴正半轴，与 y 轴交于点 C，且 tanACO=，CO=BO， AB=3，则这条抛物线的函数解析式是 123.对称轴平行于 y轴的抛物线与 y轴交于点（0，-2），且 x=1时，y=3；x=-1 时y=1，求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点 ， ， (03)A， (2)B， (10)C，（1 ）求此二次函数的关系式；（2 ）求此二次函数图象的顶点坐标；（3 ）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移
11、 个单位，使得该图象的顶点在原点图 2四、二次函数 与 的比较2yaxhk2yaxbc从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通x过配方可以得到前者，即 ，其中 224yxa 242bacbhk，五、二次函数 图象的画法2yaxbc五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确2yaxbc2()yaxhk定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点0，0，、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴2hc， x1x2对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与
12、 轴的交点，与 轴的交点.xy六、二次函数 的性质2yaxbc1. 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 0 2bxa24bac，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当2bxayxyx时， 有最小值 24acb2. 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标0a 2bxa为 当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大24bc，2bxay2bxayx而减小；当 时， 有最大值 xay24cb七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： （ ， ， 为常数， ）；2yaxbcabc0a2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ）；()hkhk3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.12yax0a1x2x
