1、1八年级华师大版数学（下）第 16章 分式16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子叫做 分式 。BA2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于 0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于 0。4、分式的值为 0 的条件：当分式的分子等于 0，而分母不等于 0 时，分式的值为
2、0。即，使 =0 的条BA件是：A=0，B0。5、有理式整式和分式统称为有理式。整式分为单项式和多项式。分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式。二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 分2用式子表示为： = = ，其中 M（M0）为整式。AB AMBM AMBM2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分
3、母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。 （2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；（2）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分；（3）约分一定要把公因式约完。三、分式的符号法
4、则：（1） = = ；（ 2） = ；（3） = ab a-b ab -a-bab -a-bab16.2分式的运算一、分式的乘除法1、法则：（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 （意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘） 。用式子表示： bdac（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被3除式相乘。用式子表示：2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正” ；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要
5、化简到最简的形式。二、分式的乘方1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。用式子表示： （其中 n 为正整数，a 0）2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简。三、分式的加减法（一）同分母分式的加减法1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。用式子表示： 2、注意事项：（1） “分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2
6、）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。（二）异分母分式的加减法1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。用式子表示： 。bdcabdcabcaddcbanbabca42、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。 （2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为 1，然后进行通分。 （3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。四、分式的混合运算1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。2、注
7、意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（3）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。16.3 可化为一元一次方程的分式方程一、分式方程基本概念1、定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2、理解分式方程要明确两点：（1）方程中含有分式；（2）分式的分母含有未知数。分式方程与整式方程最大区别就在于分母中是否含有未知数。二、分式方程的解法1、解分式方程的基本思想：化分式方程为整式方程。途径：“去分母” 。分分分 方法是：方程两边都乘以各分式的最简公分
8、母，约去分母，化为整式方程求解。2、解分式方程的一般步骤：（1）去分母。即在方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，把原分式方程化为整式方程；（2）解这个整式方程；5（3）验根。验根方法：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于 0 的根是原分式方程的根，使最简公分母为 0 的根是原分式方程的增根，必须舍去。这种验根方法不能检查解方程过程中出现的计算错误，还可以采用另一种验根方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以发现解方程过程中有无计算错误。3、分式方程的增根。意义是：把分式方程化为整式方程后，解出的整式方程的根有时只是这个整式的方程的根而不是原分式方程的根，这
9、种根就是增根，因此，解分式方程必须验根。三、分式方程的应用1、意义：分式方程的应用就是列分式方程解应用题，它和列一元一次方程解应用题的方法、步骤、解题思路基本相同，不同的是，因为有了分式概念，所列代数式的关系不再受整式的限制，列出的方程含有分式，且分母含有未知数，解出方程的解后还要进行检验。2、列分式方程解应用题的一般步骤如下：（1）审题。理解题意，弄清已知条件和未知量；（2）设未知数。合理的设未知数表示某一个未知量，有直接设法和间接设法两种；（3）找出题目中的等量关系，写出等式；（4）用含已知量和未知数的代数式来表示等式两边的语句，列出方程；（5）解方程。求出未知数的值；（6）检验。不仅要检
10、验所求未知数的值是否为原方程的根，还要检验未知数的值是否符合题目的实际意。 “双重验根” 。16.4 零指数幂与负整数指数幂一、零指数幂1、定义：任何不等于零的实数的零次幂都等于 1，即 a0=1（a 0） 。2、特别注意：零的零次幂无意义。即 00 无意义。若问当 x=_时，(x-2)60 有意义。答案是：x2。（2）按照定义分为： 二、负整数指数幂1、定义：任何不等于的数的-n（n 为正整数）次幂，都等于这个数的 n 次幂的倒数，即 a-n= （a0，n 为正整数）2、注意事项：（1）负整数指数幂成立的条件是底数不为 0；（2）正整数指数幂的所有运算法则均适用于负整式指数幂，即指数幂的运算
11、可以扩大到整数指数幂范围；（3）要避免像 5-2=-25=-10 的错误，正确算法是： 。三、用科学计数法表示绝对值小于 1 的数1、规则：绝对值小于 1 的数，利用 10 的负整式指数幂，把它表示成a10-n（n 为正整数） ，其中 1|a|10。2、注意事项：（1）n 为该数左边第一个非零数字前所有 0 的个数（包括小数点前的那个零） 。如-0.00021=-2.110 -4（2）注意数的符号的变化，在数前面有负号的，其结果也要写符号。（3）写科学记数法的关键的是确定 10n 的指数 n 的值。第 17章 函数及其图象17.1变量与函数一、变量与常量1、变量：在某一变化过程中，可以取不同的
12、数值，级数值发生变化的量，叫做变量。常量：在某一变化过程中，取值（数值）始终保持不变的量，叫做常量。251272、注意事项：（1）常量和变量是相对的，在不同的研究过程中有些是可以相互转化的；（2）离开具体的过程抽象地说一个量是常量还是变量是不允许的；（3）在各种关于变量、常量的例子中，变量之间有一定的依赖关系。如三角形的面积，当底边一定时，高与面积之间是有关联的，不是各自随意变化。二、函数概念1、定义：在某个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么，我们就说 y 是 x 的函数，其中 x 叫做自变量，y 叫做因变量。2、对函数概念的理解
13、，主要抓住三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量就有一个并且只有一个值与其对应。三、函数的表示法：（1）列表法；（2）图象法；（3）解析法。四、求函数自变量的取值范围1实际问题中的自变量取值范围按照实际问题是否有意义的要求来求。2用数学式子表示的函数的自变量取值范围例 1求下列函数中自变量 x 的取值范围 (1)解析式为整式的，x 取全体实数；(2)解析式为分式的，分母必须不等于 0 式子才有意义；(3)解析式的是二次根式的被开方数必须是非负数式子才有意义；(4)解析式是三次方根的，自变量的取值范围是全体实数。3函数值：指自
14、变量取一个数值代入解析式求出的数值，称为函数值；实际上就是以前学的求代数式的值。817.2函数的图象一、平面直角坐标系1、定义：平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中水平的数轴叫做横轴（或 x 轴） ，取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y 轴） ，取向上为正方向；两轴的交点 O 叫做原点。在平面内，原点的右边为正，左边为负，原点的上边为正，下边为负。2、坐标平面内被 x 轴、y 轴分割成四个部分，按照“逆时针方向”分别为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限注意：x 轴、y 轴原点不属于任何象限。3、平面直角坐标系中的点分别向 x 轴、y 轴作垂线段，在 x 轴
15、上垂足所显示的数称为该点的横坐标，在 y 轴上垂足所显示的数称为该点的纵坐标。点的坐标反映的是一个点在平面内的位置。写坐标的规则：横坐标在前，纵坐标在后，中间用“， ”隔开，全部用小括号括起来。如 P（3，2 ）横坐标为 3，纵坐标为 2。特别注意坐标的顺序不同，表示的就是不同位置的点。所以点的坐标是一对有顺序的实数，称为有序实数对。4、平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应。5、坐标的特征(1)在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数；在第二象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是正数；在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数；在第四象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是负数；(2)x 轴上
16、点的纵坐标等于零；y 轴上点的横坐标等于零6、对称点的坐标特征9(1)关于 x 轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反；(2)关于 y 轴对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同；(3)关于原点对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标也绝对值相等，符号相反。(4)第一、三象限角平分线上点：横坐标与纵坐标相同；(5)第二、四象限角平分线上点：横坐标与纵坐标互为相反数。7、点到两坐标轴的距离点 A（a，b ）到 x 轴的距离为|b|，点 A（a，b）到 y 轴的距离为|a|。二、函数的图象1、意义：对于一个函数，如果把自变量 x 与函数值 y 的每对对应值分别作为点的
17、横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象。2、作函数图象的方法：描点法。步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线。3、一般函数作图象，要求横轴和纵轴上的单位长度一定要一致，按照对应的解析式先计算出一对对应值，就是坐标，然后描点，再连线；画实际问题的图象时，必须先考虑函数自变量的取值范围有时为了表达的方便，建立直角坐标系时，横轴和纵轴上的单位长度可以不一致。17.3 一次函数一、一次函数的概念之所以称为一次函数，是因为它们的关系式是用一次整式表示的。学习此概念要从两个方面来理解。（1）从其表达式上：一次函数通常是指形如：y=kx+b(k、b 为常数，k0)
18、的函数，凡是成这种形式的函数都是一次函数。而当 b=0 时，即 y=kx(k0 的常数)，则称为正比例函数，其中 k 为比例系数。10（2）从其意义上：它们表示的是两个变量之间的关系，这种函数关系具有特定的意义，如，如果说两各变量之间具有一次函数关系，我们就可按照概念设出函数关系式，成正比例关系的也同样，如，若 s 与 t 成正比例关系，我们便可设s=kt（ k0，t 为自变量）“正比例函数”与“成正比例”的区别：正比例函数一定是 y=kx 这种形式，而成正比例则意义要广泛得多，它反映了两个量之间的固定正比例关系，如 a+3 与 b-2 成正比例，则可表示为：a+3=k（b-2） （k0）二、
19、一次函数的图象正比例函数和一次函数的图象都是一条直线，所以对于其解析式也称为“直线 y=kx+b，直线 y=kx”。因为一次函数的图象是一条直线，所以在画一次函数的图象时，只要描出两个点，在通过两点作直线即可。1、画正比例函数 y=kx(k0 的常数)的图象时，只需要这两个特殊点：（0，0）和（1，k）两点；2、画一次函数 y=kx+b(k、b 为常数，k0)的图象时，只需要找出它与坐标轴的两个交点即可。一次函数与 x 轴的交点坐标是：（0，b） ，与 y 轴的交点坐标是：（ ，0）bk3、若两个不同的一次函数的一次项的系数相同，则这它们的图象平行。4、将 y=kx 的图象沿着沿着轴向上（b0 ）或向下（b0）平移|b|各单位长度即可得到 y=kx+b。5、求两一次函数的交点坐标：联立解两各函数解析式得到的二元一次方程组，求的自变量 x 的值为交点的横坐标，求出的 y 的值为交点的纵坐标。三、一次函数的性质一次函数的性质是由 k 来决定的。1、正比例函数 y=kx(k0 的常数)的性
