1、武汉重点中学八年级数学下学期正方形专题培优训练1.已知在平面直角坐标系中放置了 5 个如图所示的正方形（用阴影表示） ，点 B1 在 y 轴上，点 C1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3 在 x 轴上若正方形 A1B1C1D1 的边长为 1， B1C1O=60，B1C1B2C2B3C3，则点 A3 到 x 轴的距离是（ ）ABCD2如图，边长为 a 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30得到正方形 ABCD，图中阴影部分的面积为（ ）Aa2 B a2 C （1 ）a2 D （1 ）a23.正方形 ABCD，正方形 BEFG 和正方形 RKPF 的位置如图所示，点 G 在线
2、段 DK 上，且G 为 BC 的三等分点，R 为 EF 中点，正方形 BEFG 的边长为 4，则DEK 的面积为（ ）A10 B12 C14 D164.将 n 个边长都为 1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点 A1，A 2，A n 分别是正方形的中心，则 n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（ ）Acm2 Bcm2 C cm2 D cm25如图所示，两个正方形的边长分别为 a 和 b，如果 a+b=10，ab=20，那么阴影部分的面积是 6.已知，如图，在正方形 ABCD 中，O 是对角线 AC、BD 的交点，过 O 作 OEOF，分别交 AB、BC 于点 E、F，若 AE=4
3、，CF=3，则四边形 OEBF 的面积为 7.如图，分别以ABC 的三边为边在 BC 的同侧作三个等边三角形，即ABD，BCE，ACF请回答下列问题：（1）说明四边形 ADEF 是什么四边形？（2）当ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是矩形？（3）当ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是菱形？（4）当ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是正方形？（5）当ABC 满足什么条件时，以 A，D，E，F 为顶点的四边形不存在？（第（2） （3） （4） （5）题不必说明理由）8.在平面直角坐标系 xOy 中， OEFG 为正方形，点 F 的坐标为（ 1，1） 将一个最短边长大于 的
4、直角三角形纸片的直角顶点放在对角线 FO 上（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点 F 重合，一条直角边落在直线 FO 上时，这个三角形纸片与正方形 OEFG 重叠部分（即阴影部分）的面积为 ；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点 O，F 重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形 OEFG 重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不写求解过程） ，并画出此时的图形9.（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且DF=BE求证：CE=CF；（2）如图 2，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点
5、，G 是 AD 上一点，如果GCE=45，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD（3）运用（1） （2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 3，在直角梯形 ABCD 中，ADBC（BCAD） ，B=90 ，AB=BC ，E 是 AB 上一点，且DCE=45，BE=4 ，DE=10 ，求直角梯形 ABCD 的面积10.如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形， M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM（1）求证：AMB ENB；（2）当 M 点在何处时，AM+CM 的值最小；当 M 点在何处时，A
6、M+BM+CM 的值最小，并说明理由；（3）当 AM+BM+CM 的最小值为 时，求正方形的边长11.以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形 EFGH（1）如图 1，当四边形 ABCD 为正方形时，我们发现四边形 EFGH 是正方形；如图 2，当四边形 ABCD 为矩形时，请判断：四边形 EFGH 的形状（不要求证明） ；（2）如图 3，当四边形 ABCD 为一般平行四边形时，设ADC= （090 ） ，试用含 的代数式表示HAE； 求证：HE=HG；四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理
7、由12.如图所示，已知 A、B 为直线 l 上两点，点 C 为直线 l 上方一动点，连接 AC、BC，分别以 AC、BC 为边向ABC 外作正方形 CADF 和正方形 CBEG，过点 D 作 DD1l 于点D1，过点 E 作 EE1l 于点 E1（1）如图，当点 E 恰好在直线 l 上时（此时 E1 与 E 重合） ，试说明 DD1=AB；（2）在图中，当 D、E 两点都在直线 l 的上方时，试探求三条线段 DD1、EE 1、AB 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图，当点 E 在直线 l 的下方时，请直接写出三条线段 DD1、EE 1、AB 之间的数量关系 （不需要证明）13.（1）如图，
8、在正方形 ABCD 中， AEF 的顶点 E，F 分别在 BC，CD 边上，高 AG与正方形的边长相等，求EAF 的度数（2）如图，在 RtABD 中， BAD=90，AB=AD，点 M，N 是 BD 边上的任意两点，且MAN=45，将ABM 绕点 A 逆时针旋转 90至ADH 位置，连接 NH，试判断MN，ND，DH 之间的数量关系，并说明理由（3）在图中，连接 BD 分别交 AE，AF 于点 M，N ，若 EG=4，GF=6 ，BM=3 ，求AG，MN 的长14.正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点，P 是对角线 AC 上一动点，过点 P 作PFCD 于点 F如图 1，当点
9、 P 与点 O 重合时，显然有 DF=CF（1）如图 2，若点 P 在线段 AO 上（不与点 A、O 重合） ，PEPB 且 PE 交 CD 于点 E求证：DF=EF；写出线段 PC、PA、CE 之间的一个等量关系，并证明你的结论；（2）若点 P 在线段 OC 上（不与点 O、C 重合） ，PEPB 且 PE 交直线 CD 于点 E请完成图 3 并判断（1）中的结论、 是否分别成立？若不成立，写出相应的结论 （所写结论均不必证明）武汉重点中学八年级下学期正方形培优试题答案1.已知在平面直角坐标系中放置了 5 个如图所示的正方形（用阴影表示） ，点 B1 在 y 轴上，点 C1、E 1、E 2、
10、C 2、E 3、E 4、C 3 在 x 轴上若正方形 A1B1C1D1 的边长为 1， B1C1O=60，B1C1B2C2B3C3，则点 A3 到 x 轴的距离是（ ）ABCD解：过小正方形的一个顶点 W 作 FQx 轴于点 Q，过点 A3FFQ 于点 F，正方形 A1B1C1D1 的边长为 1， B1C1O=60，B 1C1B2C2B3C3，B3C3 E4=60， D1C1E1=30， E2B2C2=30，D1E1= D1C1= ， D1E1=B2E2= ， cos30= = ，解得：B 2C2= ， B3E4= ，cos30= ，解得：B 3C3= ，则 WC3= ，根据题意得出：WC 3
11、 Q=30， C3 WQ=60，A 3 WF=30，WQ= = ，FW=WA 3cos30= = ，则点 A3 到 x 轴的距离是：FW+WQ= + = ，故选： D2.如图，边长为 a 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30得到正方形 ABCD，图中阴影部分的面积为（ ）Aa2 B a2 C （1 ）a2 D （1 ）a2解：设 BC与 CD 交于点 E，连接 AE在ABE 与ADE 中， ABE=ADE=90，ABEADE（HL） ，B AE=DAEBAB=30， BAD=90，BAE=DAE=30，DE=ADtanDAE= aS 四边形 ABED=2SADE=2 a a= a2阴
12、影部分的面积=S 正方形 ABCDS 四边形 ABED=（1 ）a 2故选：D3.正方形 ABCD，正方形 BEFG 和正方形 RKPF 的位置如图所示，点 G 在线段 DK 上，且G 为 BC 的三等分点，R 为 EF 中点，正方形 BEFG 的边长为 4，则DEK 的面积为（ ）A10 B12 C14 D16解：连 DB，GE，FK，则 DBGEFK，在梯形 GDBE 中，S GDB=SEDB（同底等高） ，SGDB公共三角形=S EDB公共三角形，即S DGE=SGEB，S GKE=SGFE，同理 SGKE=SGFES 阴影 =SDGE+SGKE=SGEB+SGEF=S 正方形 GBEF
13、=42=16故选 D4.将 n 个边长都为 1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点 A1，A 2，A n 分别是正方形的中心，则 n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（ ）Acm2 Bcm2 C cm2 D cm25.如图所示，两个正方形的边长分别为 a 和 b，如果 a+b=10，ab=20，那么阴影部分的面积是 20 解：根据题意可得，阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积，即（a 2+b2） = （a 2+b2ab）= （a 2+b2+2ab3ab）= （a+b） 23ab；代入 a+b=10，ab=20 可得阴影面积为（10 10203）2=20；故答案为 206.已
14、知，如图，在正方形 ABCD 中，O 是对角线 AC、BD 的交点，过 O 作 OEOF，分别交 AB、BC 于点 E、F，若 AE=4，CF=3，则四边形 OEBF 的面积为 解答： 解： 四边形 ABCD 是正方形 OA=OB， EAO=FBO=45又AOE+EOB=90，BOF+EOB=90AOE=BOF， AEOBFOAE=BFBE=CFAB=3+4=7OAOB=S 四边形 OEBF=SAOB= OAOB=故答案为 7.如图，分别以ABC 的三边为边在 BC 的同侧作三个等边三角形，即ABD，BCE，ACF请回答下列问题：（1）说明四边形 ADEF 是什么四边形？（2）当ABC 满足什
15、么条件时，四边形 ADEF 是矩形？（3）当ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是菱形？（4）当ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是正方形？（5）当ABC 满足什么条件时，以 A，D，E，F 为顶点的四边形不存在？（第（2） （3） （4） （5）题不必说明理由）解：（1）四边形 ADEF 是平行四边形 （1 分）等边三角形 BCE 和等边三角形 ABD，BE=BC，BD=BA又DBE=60 ABE，ABC=60ABE，解：连接正方形的中心和其余两个顶点可证得含 45的两个三角形全等，进而求得阴影部分面积等于正方形面积的 ，即是 5 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为
16、4，n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 （n1） = cm2故选 CDBE=ABC在BDE 和 BCA 中 ，BDEBCA （2 分）DE=AC在等边三角形 ACF 中，AC=AF ， DE=AF同理 DA=EF四边形 ADEF 是平行四边形 （4 分）（2）当BAC=150 时，四边形 ADEF 是矩形 （5 分）（3）当 AB=AC，或 ABC=ACB=15时，四边形 ADEF 是菱形 （6 分）（4）当BAC=150 且 AB=AC，或ABC=ACB=15时，四边形 ADEF 是正方形 （7 分）（5）当BAC=60 时，以 A，D，E，F 为顶点的四边形不存在 （8 分）
17、8.在平面直角坐标系 xOy 中， OEFG 为正方形，点 F 的坐标为（ 1，1） 将一个最短边长大于 的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线 FO 上（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点 F 重合，一条直角边落在直线 FO 上时，这个三角形纸片与正方形 OEFG 重叠部分（即阴影部分）的面积为 ；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点 O，F 重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形 OEFG 重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程） ，并画出此时的图形解：（1）S= OEEF= ；（2）如图，正方形 GFEO 的面积为
18、1，当重合的面积为正方形 GFEO 的面积的一半时，有两种情况：四边形 OSCB 的面积为 时，易证得四边形 ACOD 为正方形，ABC DSC，有四边形 OSCB 的面积与正方形 ACOD 的面积相等，故有 OD=OA= 即点 C 的坐标为（ ， ） 四边形 FSCB 的面积为 时，易证得四边形 ACDF 为正方形，ABC DSC，有四边形 FSCB 的面积与正方形 ACDO 的面积相等，故有 FD=FA= 即点 C 的坐标为（1 ，1 ） 9.（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且DF=BE求证：CE=CF；（2）如图 2，在正方形 A
19、BCD 中，E 是 AB 上一点，G 是 AD 上一点，如果GCE=45，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD（3）运用（1） （2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 3，在直角梯形 ABCD 中，ADBC（BCAD） ，B=90 ，AB=BC ，E 是 AB 上一点，且DCE=45，BE=4 ，DE=10 ，求直角梯形 ABCD 的面积（1）证明：四边形是 ABCD 正方形， BC=CD，B= CDF=90，BE=DF，CBECDF （SAS） CE=CF （2 分）（2）证明：如图 2，延长 AD 至 F，使 DF=BE，连接 CF由（1）知CBECDF，BCE= DCFBC
20、E+ ECD=DCF+ECD，即ECF= BCD=90，又GCE=45 ， GCF=GCE=45CE=CF，GC=GC，ECGFCG（5 分）GE=GF，GE=GF=DF+GD=BE+GD （6 分）（3）解：如图 3，过 C 作 CGAD，交 AD 延长线于 G在直角梯形 ABCD 中，ADBC，A= B=90，又 CGA=90，AB=BC，四边形 ABCG 为正方形AG=BC（7 分）DCE=45，根据（1） （2）可知，ED=BE+DG（8 分）10=4+DG，即 DG=6设 AB=x，则 AE=x4，AD=x 6，在 RtAED 中，DE 2=AD2+AE2，即 102=（x6） 2+
21、（x4） 2解这个方程，得：x=12 或 x=2（舍去） （9 分）AB=12S 梯形 ABCD= （AD+BC）AB= （6+12）12=108即梯形 ABCD 的面积为 108（10 分）10.如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形， M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM（1）求证：AMB ENB；（2）当 M 点在何处时，AM+CM 的值最小；当 M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由；（3）当 AM+BM+CM 的最小值为 时，求正方形的边长（1）证明：ABE 是等边三角形，
22、BA=BE，ABE=60 MBN=60，MBN ABN=ABEABN即MBA= NBE又MB=NB，AMBENB（SAS） （5 分）（2）解：当 M 点落在 BD 的中点时，A 、M、C 三点共线，AM+CM 的值最小 （7 分）如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM 的值最小 （9 分）理由如下：连接 MN，由（1）知， AMBENB，AM=EN， MBN=60，MB=NB， BMN 是等边三角形 BM=MNAM+BM+CM=EN+MN+CM （10 分）根据“ 两点之间线段最短” ，得 EN+MN+CM=EC 最短当 M 点位于 BD 与 CE 的
23、交点处时，AM+BM+CM 的值最小，即等于 EC 的长 （11 分）（3）解：过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F，EBF=ABFABE=9060=30设正方形的边长为 x，则 BF= x，EF= 在 RtEFC 中，EF 2+FC2=EC2， （ ） 2+（ x+x） 2= （12 分）解得，x 1= ，x 2= （舍去负值） 正方形的边长为 （13 分）11.以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形 EFGH（1）如图 1，当四边形 ABCD 为正方形时，我们发现四边形 EFGH 是正方形；如图 2，当四边形 ABCD 为矩形时，请判断：四边形 EFGH 的形状（不要求证明） ；（2）如图 3，当四边形 ABCD 为一般平行四边形时，设ADC= （090 ） ，试用含 的代数式表示HAE；求证：HE=HG；四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理由
