1、Chapter1 电磁现象的普遍规律计算、证明题1. 真空中有一静电场，场中各点 ，试证明(1)当 时， ，zeE0)(zE即 仅是 的函数；(2)当 时， 是常矢量.Ez0【证】 （1）由于 ，且电荷密度 ，故ze00yxeEz所以，得 ,zxy即 zeE（2）当 时，由（1）中的结果，有00xEyz所以，当 时，电场 为一常矢量，即均匀电场02. 在一个半径为 的介质球内，极化强度矢量 沿径向向外，其大小正比于离Rp开球心的距离 ，试求介质内、外的电荷密度、电场强度和电)0(0rp位移矢量.【解】：利用介质中极化电荷体密度与极化强度的关系时，Rr0001 3)(ppPrr时，,22在 的球
2、面上，极化电荷体密度r RprP 0ep-n12、由于球内、球面上电荷分布具有球对称性，故电场也具有球对称性，做一半径P为 的同心球面.由高斯定理 得， 时，有r dvS01sERr0,341010100132 rpEDrpEPP时，有Rr0,0)4(420223pERPP3. 证明在载有稳恒电流电流的线性介质中，磁化电流分布在介质的不均匀处以及存在自由电流的地方【证】：由于磁化电流密度 MJ对于线性介质， ，代入上式，得HM)1(0mx H J)1()1(00又因为是稳恒电流，故 ，所以JHJ)()1(00M4. 在同一空间中存在静止电荷的电场和永久磁铁的磁场，此时可能存在矢量，但没有能流，
3、证明对于任一闭合表面有HES 0)(sHEdS【证】：利用积分变化关系 dvdVS)()(s由于 )(HE对于静止电荷、永久磁铁产生的电磁场，属于稳恒场，且传到电流 ，故0J0,HE代入得 (、所以 0)(SdsHE5. 电流稳恒地流过两个线性导电介质的交界面，已知两导电介质的电容率和电导率分别为 、 和 、 ，交界面上的电流密度分别为 和 ，试求交12 1J2界面上自由电荷面密度 .【解】：在介质的交界面上，自由电荷面密度 nD1212、-n由于 且 ，其中 为介质的电导率，所以，得到EDJccc代入，得 nnJ12式中 、 是电流密度在界面处的法向分量n2J1由于电流稳恒， 满足 ，在界面
4、上有0J，即0)(12 n21所以界面上自由电荷面密度 21Jn)(1226. 已知一静电场 ，其中 是实数，设某一时刻，在yxeE2点沿 轴方向把带电粒子注入到此电场中，带点粒子的质量为 ，电),(0zyx m荷电量为 ，注入的初速度为 ，求粒子的运动方程的解，并说明所得e)(0cv的解得物理意义.【解】带电粒子运动时满足 yxeedtmEr22沿 方向的分量方程分别为zyx、0222dtzymexdt由已知条件， 时， ，利用这些初始条件，解得0t zzyxveer00,，式中tvzyx0cosm27. 用高斯公式证明【证】用非零的任意常矢量 点乘上式左边得c)1(VVfcfdd根据矢量分
5、析公式 )()( BABA、令其中的 ， ，便得fc)()( fcf、因此（1）式左边 VV cff、dd(又由高斯公式有 SSSS ddfcfncffcf )()()(、所以 SddVffc因为 为非零的任意常矢量，故得 SffV8.用斯托克斯定理证明 ，式中 为常矢量.SLalrad2、 a【证】由矢量分析公式有 rra 23)()()()( ffS令 ，则由斯托克斯公式 和上式得raFLSlFdSL aral dd2、9.设电磁场的能量密度为 ，能流密度为 .试由麦)(1DHEwHES克斯韦方程证明：对于各向同性的绝缘介质来说， 0tw【证】对绝缘介质来说，电导率为 ，这时麦克斯韦方程为
6、0)2(1tDHBE由矢量分析公式 )()( gfgf 、得 )()( HEHES 、将（1） （2）两式代入上式得 、3)(BDB ttt对于各向同性的介质来说，ED电容率 和磁导率 都是常量，故有 、421DEE tttt 5BHBHBH将（4） （5）两式代入（3）式便得 twt 、DES21所以 0tw10.由麦克斯韦方程组出发，求电导率为 、电容率为 的均匀介质内部自由电荷量 与时间 的关系t【解】设在这介质内部，由于某种原因，在 时刻，有自由电荷分布，电荷0t量的密度为 ；到 时刻，电荷量的密度变为 ，则由麦克斯韦方程组得0t DEjjH)(ttt1求解，并利用初始条件便得 te0
7、当 时， 。这表明，在静电平衡是，电导率 的均匀介质内自由t0 0电荷量密度为零.11.试由麦克斯韦方程组导出电荷守恒定律.【解】 jjHD)(tt0jt12若磁单极子存在，且静止磁荷之间的相互作用力遵守磁库仑定律，式中 和 分别是两个磁单极子的磁荷.（1）试求磁荷量2104rgF12g的单位；（2）磁荷量为 的磁单极子处在磁场中时，它的受力公式是还是 ？（3）试写出符合磁荷量守恒的麦克斯韦方程组.HgB【解】由题给的磁库伦定律，得磁荷量的单位为 、 、/()(220rF故得 的单位为 1g、（2）磁库伦定律中 的单位为204/rg、 、/ 22020 g这是磁场强度 的单位，故知 在磁场中的
8、受力分析为HgHF（3）磁单极子存在时的麦克斯韦方程为 、4321jDHBEmt式中 为磁荷量密度， 为磁荷流密度.mmj由电荷量守恒定律 0tj知磁荷量守恒定律为 tmj根据矢量分析公式，由（2） （3）两式得 0)()( mmm jjBjBEttt 可见（1） （2） （3） （4）式是满足磁荷量守恒的麦克斯韦方程组.13. 在空间有互相垂直的均匀电场 和均匀磁场 ， 沿 轴方向， 沿 轴EBxEz方向.一电子(质量为 ，电荷量为 )开始从原点出发，以速度 向 轴方向前evy进，如图所示.试求电子运动的轨迹.【解】 已知 ),0(EB时，0t)0,(0r)0,(v0电子的运动方程为)(2B
9、rErdtetdm)1(02tx)(2dtzeBtym)3(2tEtz解（1）式并用初始条件得 40x这表明电子在 平面内运动.xy将（2）式对时间积分，并利用初始条件得)5(mveBzdty将上式代入（3）式便得)(222eEztzm解得 cos02tmBAevBE利用初始条件定出常数 和 ，便得0)6(1)(csvez将上式的 代入（5）式得z BEtmedtymo)(积分并利用初始条件得 )7(sin)(tBEve（4）式、 （6）式和（7）式表明，电子的轨迹是 y-z 平面里的一条摆线（旋轮线）.14.大平行板电容器充电后，两板板间产生一均匀电场 ；另有一均匀磁场E和 垂直，如图（1）
10、一电子(质量为 ，电荷量为 )从负极板出来，初速很BEme小，可当做零.不计重力.试证明：当两极板间的距离 时，它不可能到2Bmd达正极板.【解】取坐标如图（2）电场和磁场便为 )0,(EB电子的运动方程为 )1(2dtyeBEdtxm )2(2dtxeBtym02tz将（2）式积分并利用初始条件得 )3(eBxdtym将（3）式代入(1)式得 )(222eEt求解并利用初始条件得 )1cos(2tmBex的最大值为 （因为 ）x 22maxEB0当 时，电子就不可能达到正极板.dmaxrErdtedt215.极子的电偶极矩为 ，如图（1）所示，试求它在 处的 点所产生的电势prp和电场强度 .)(r)(rE【解】 电偶极矩 在 点产生的电势，就是它的正负电荷在 点产生的电势p p之和，设 ，则它在 点产生的电势便为lq)1(4)(0rqr式中参看图（2） cos)2(rlr)(2l根据电偶极子的定义， ,故上式中的 项可略去，即lr2l
