1、第 2 章 线性时不变连续系统的时域分析 2.1 学习要求 （ 1）了解微分方程的建立与求解； （ 2）掌握初始条件的确立方法； （ 3）熟练掌握零输入响应与零状态响应； （ 4）熟练掌握冲激响应和阶跃响应的建立与意义； （ 5）熟练掌握卷积积分及其性质； （ 6）了解相关的概念和性质。 2.2 学习 重点 （ 1）冲激响应的概念及其计算； （ 2）零输入响应和零状态响应的概念及其求解方法； （ 3）卷积积分的概念及其性质。 2.3 知识结构 线 性 时 不变 系 统时 域 经 典 法系 统 微 分 方程 的 求 解系 统 微 分 方程 的 建 立特 解齐 次 解卷 积 法零 状 态 零 输入
2、 法零 输 入 响 应状 态零 状 态 响 应 输 入单 位 冲 激 响 应意 义 与 求 解卷 积 的 求 解 性 质 与 计 算线 性线 性2.4 内容摘要 2.4.1 系统微分方程的建立 电路系统中， 常用元件的电压电流关系如下： 电阻： )(1)( tvRtiRR 电感： dttdiLtv LL )()( ， )(d)(1)(0tivLti Lt LL 电容： dt tdvCti CC )()( ， tt LCC tiiCtv 0 )(d)(1)( 02.4.2 系统微分方程的求解 系统微分方程的解可分两部分： 齐次解和特解。 （ 1） 齐 次解 齐 次解满足 齐 次方程 0)()()
3、()( 01111 tyadt tdyadt tydadt tyda nnnnnn 的解，其解的形式为 tce 函数的线性组合。 特征根各不相同时， 齐次解为 tntth ecececty 321 21)( 当特征根有重 根时，如 1 有 k 重根，则响应于 1 的重根部分将有 k 项，形如 tktktktkh ectecetcetcty 1111 12211)( 当特征根有一对单复根，即 1,2 a jb ，则微分方程的齐次解 btecbtecty atath s inc o s)( 21 当特征根有一对 m 重复根，即共有 m 重 iba2,1 的复根，则微分方程的齐次解 btetcbtt
4、ecbtcty atmmath c o sc o sc o s)( 121 btetdbttedbted atmmatat s ins ins in 121 （ 2）特 解 特解的函数形式与激励函数的形式有关 ，如表 2.4.1。 表 2.4.1 与几种典型类型激励函数对应的特解 激励函数 )(tx 响应函数 )(ty 的特解 E (常数 ) B pt 1121 pppp btbtbtb ate atbe tcos tbtb sincos 21 tsin )cos( tet atp tedtdtdtebtbtbatpppatppps in)(c o s)(1111 )sin( tet atp
5、注 :表中 B 、 b 、 d 是待定系数。 2.4.3 起始点的跳变 ： 从 0 到 0 状态的转换 （ 1） 当系统用微分方程表示时，系统从 0 到 0 状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 )(t 及其各阶导数项 （ 2） 可以用冲激函数匹配法 确定 )0(y 、 )0( y 等状态 ，见习题 2.3 的解答。 2.4.4 系统的零输入响应与零状态响应 （ 1） 零输入响应 系统的零输入响应是当系统没有外加激励信号时的响应。 零输入响应 )(tyzi 是满足 齐 次方程 0)()()()( 0)1(1)1(1)( tyatyatyatya nnnn 及起始状态 )0()( ky
6、 )110( ，n，k 的解 ,它是齐次解的一部分 nk tzikzi kecty 1)( 由于没有外界激励作用，因而系统的状态不会发生跳变， )0()0( )()( kk yy ，所以)(tyzi 中的常数 zikc 可由 )0()( ky 确定。 （ 2） 零状态响应 所谓零状态，是指系统没有初始储能，系统的起始状态为零，即0)0()0()0( )1()1( nyyy 这时仅由系统的外加激励所产生的响应称为零状态响应 )(tyzs 。 零状态响应 )(tyzs 由起始状态为零时的方程 1100)0()()()()()()()()()(011101111，n，kytxbtxbdttxdbdt
7、txdbtyadttdyadttydadttydakmmmmnnnnnn所确定。 系统的零状态响应 )(tyzs 为 )()()( tytyty zspzshzs 其中 )(tyzsh 和 )(tyzsp 分别为齐次解和特解。 （ 3） 系统的线性 系统响应可以分解为零输入响应与零状态响应之和。 零输入线性，即零输入响应与 起 始状态之间满足线性特性。 零状态线性，即零状态响应与激励之间满足线性特性。 2.2.5 连续时间系统的冲激响应与阶跃响应 （ 1） 冲激响应 系统在单位冲激信号 )(t 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，用 )(th 表示。亦即，冲激响应是激励为单
8、位冲激信号 )(t 时系统的零状态响应。 在时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。 因果系统的冲激响应为 0)( th ， 0t （ 2） 阶跃响应 一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用 )(tg 表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数 )(tu 时，系统的零状态响应 阶跃响应 )(tg 与冲激响应 )(th 之间的关系为 dhtg t )()( 或 )()( tgdtdth 2.2.6 卷积积分 （ 1） 卷积积分的 定义 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dy t f t f t f f
9、 t （ 2） 卷积积分的图解法 用图解法能直观地说明卷积积分的计算过程，而且便于理解卷积的概念。两个信号)(1tf 和 )(2tf 的卷积运算可通过 信号的翻褶、移位、乘积和积分得到。具体如下： （ 1） 变量转换： 11( ) ( )f t f ， 22( ) ( )f t f （ 2）翻褶： 22( ) ( )ff （ 3）移位： 22( ) ( )f f t （ 4）乘积： )()( 21 tff （ 5）积分： d)()()(21 tffty见习题 6.12 题 (4)、 (6)小题的解法 （ 3） 卷积运算的性质 交换律 ： )()()()( 1221 tftftftf 结合律 ：
10、 )()()()()()( 321321 tftftftftftf 分配律 ： )()()()()()()( 3121321 tftftftftftftf 与冲激信号的卷积 ： )()()( tfttf )()()( 00 ttftttf 与 冲激偶 )( t 的卷积 ： )()()( tfttf 与阶跃信号 )(tu 的卷积 ： dftutf t )()()( 卷积的微分与积分 如果 )()()( 21 tftfty ， 则有 )()()()()( 2121 tftftftfty ； ttt dftfdftfdy )()()()()( 1221。 )()()( )(2)(1)( tftfty
11、 jiji （ 4） 用卷积积分法求系统的零状态响应 对于任一时刻 t 系统的零状态响应为 tzs dthxty0 )()()( 2.2.7 相关 （ 1） 互相关 能量有限信号 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dR f t f t d t f t f t t 2 1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )R f t f t d t f t f t d t 功率有限信号 21 21 2112 )()(1lim)( dttftfTR T 2 2 1221 d)()(1lim)( TTT ttftfTR 互相关性质： )()( 2112 RR 。 （ 2
12、） 自相关 能量有限信号： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R f t f t d t f t f t d t 功率有限信号： 2121)()(1lim)( dttftfTR T 自相关 性质 ： )()( RR 0t 时 ，相关性最强， 0R 最大。 余弦函数的自相关仍为余弦 （ 3）卷积与相关的关系 1 2 1 2( ) ( ) * ( )R f t f t 2.5 典型 例题 例 2.1、已知系统微分方程为 d ( ) 2 ( ) ( )dyt y t f tt ，若 (0 ) 1y ， ( ) sin2 ( )f t tu t ，解得全响应为 252( ) s in ( 2 4
13、5 )44ty t e t ， t 0。全响应中 2 sin(2 45 )4 t 为（ ） （ a） 零输入响应分量 (b)零状态响应分量 (c)自由响应分量 (d)稳态响应分量 答案：（ d） 分析： 响应中 2 sin(2 45 )4 t 不含齐次解 254 te ，所以答案 (a)(b)(c)都不是 例 2.2、 两线性时不变系统分别为 S1和 S2，初始状态均为零。将激励信号 ()ft 先通过 S1 再通过 S2，得到响应 1()yt；将激励信号 ()ft 先通过 S2 再通过 S1，得到响应 2()yt。则 1()yt与2()yt的关系为 _。 答案： 12( ) ( )y t y
14、t 分析：该题是考查级联系统的交换率：两 线性时不变系统 级联 时， 交换 级联顺序 保持不变 例 2.3、计算 d ( ) ( ) * ddt ftttt ，其中“ *”表示卷积。 解： d ( ) d ( ) ( ) * d ( ) * d ( ) * ( ) ( )ddf t f tt t t t t f t f ttt 例 2.4、已知信号 1()xt和 2()xt如图 2.5.1 所示 图 2.5.1 试计算 12( ) ( ) ( )x t x t x t，并画出 ()xt 的波形。 解： 1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) * ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) (
15、 2 )x t x t x t x t t t x t x t 波形如 下图所示 例 2.5、 已知 )()(),()( 21 tuetftutf at ，可以求得 )*)( 21 tftf （ ） (a) (1 ) ( )ate u t (b) ()ate ut (c) 1 (1 ) ( )ate u ta (d) 1 ()ate uta 答案 ： (c) 分析： 两因果信号卷积一定是因果信号，且 0t 时，有 1 2 1 100 1( ) * ( ) ( ) ( ) ( 1 )tt a a tf t f t f t f d e d ea 例 2.6、 计算 ( ) * ( )td e u
16、t u tdt _。 答案： ()teut 分析：采用卷积的微分性质： ( ) * ( ) ( ) * ( ) ( ) * ( ) ( )t t t tdde u t u t e u t u t e u t t e u td t d t 例 2.7、 一起始储能为零的系统，当输入为 ()ut 时，系统响应为 3 ()te ut ，则当输入为 ()t1()xtt31013 221 2()xtt31013 2211 1()xtt01 1 3 535112时，系统的响应为 。 答案： 3( ) 3 ( )tt e u t 分析：线性系统的微分特性的 33( ) ( ) 3 ( )ttd e u t
17、t e u tdt 例 2.8 、 一 线 性 时 不 变 系 统 在 相 同 的 初 始 状 态 下 ， 当 激 励 为 ()xt 时 ， 其 全 响 应 为1 ( ) 2 c o s ( 2 ) ( )ty t e t u t ；当激励为 2()xt 时，其全响应为 2 ( ) 2 c o s ( 2 ) ( )ty t e t u t 。试求在同样初始条件下，激励为 4()xt 时系统的全响应。 解： 设全响应 1()yt由零状态响应 1()zsyt和零输入响应 1()ziyt组成，全响应 2()yt由零状态响应 2()zsyt和零输入响应 2()ziyt组成，则有 1 1 1( ) (
18、 ) ( ) 2 c o s ( 2 ) ( )tz s z iy t y t y t e t u t （ 1） 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 c o s ( 2 ) ( )tz s z iy t y t y t e t u t （ 2） )()(1 txtx ， )(2)(2 txtx ，两种输入的初始条件一样 )(2)( 12 tyty zszs ， )()( 12 tyty zizi （ 3） 根据（ 1）（ 2）（ 3）式，可得 11( ) 3 ( )( ) c o s ( 2 ) ( )tzitzsy t e u ty t e t u t )(4)(3 txtx ，初始条件不
19、变 )(4)( 13 tyty zszs ， )()( 13 tyty zizi 3 3 3 1 1( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( c o s( 2 ) ) 3 ( ) 4 c o s( 2 ) ( )z s z i z s z ittty t y t y t y t y te t e u te t u t 2.6 习题全解 2.1 如题图 2.1 所示机械位移系统，质量为 m 的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上，弹簧的刚度系数为 k 。刚体与地面间的摩擦系数为 f ，外加牵引力为 )(tFS ，求外加牵引力 )(tFS 与刚体运动速度 )(tv 间的关系。 题图
20、 2.1 解：由机械系统元件特性，拉力 kF 与位移 x 成正比，即 kF kx 又 ( ) ( )tx t v d所以， ( ) ( ) ( )tkF t kx t k v d 刚体在光滑表面滑动，摩擦力与速度成 正比，即 ( ) ( )fF t fv t 根据牛顿第二定律以及整个系统力平衡的达朗贝尔原理，可得 ( ) ( ) ( ) ( )ts dF t fv t k v d m v tdt 整理得 22 ( ) ( ) ( ) ( )sd d dm v t f v t k v t F td t d t d t 2.2 题图 2.2 所示电路，输入激励是电流源 )(tis ， 试列出电流
21、)(tiL 及 1R 上电压 )(1tu 为输出响应变量的方程式。 题图 2.2 解：由电路的基尔霍夫电流定律可得： ( ) ( ) ( )C L Si t i t i t （ 1） 根据电容特性， ( ) ( )CCdi t C u tdt（ 2） 由电路的基尔霍夫电压定律可得：12( ) ( ) ( ) ( )C C L Ldu t R i t L i t R i tdt （ 3） 将21( ) ( ) ( ) ( )C L L Cdu t L i t R i t R i tdt 代入（ 2）得 2212( ) ( ) ( ) ( )C L L Cd d di t L C i t R C
22、i t R C i td t d t d t （ 4） ( ) ( ) ( )C S Li t i t i t代入（ 4）得， 22 1 12( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S L L L S Ld d d di t i t L C i t R C i t R C i t R C i td t d t d t d t 整理得， 2 1 2 12 () 11( ) ( ) ( ) ( ) ( )L L L S SR R Rd d di t i t i t i t i td t L d t L C L d t L C （ 5） 将 1 1 1( ) ( ) ( ( ) ( ) )C
23、S Lu t i t R i t i t R ，即 11()( ) ( )LS uti t i t R代入（ 5）得 2 1 1 2 1 1 12 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )11( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( )S S S S Su t R R u t u t Rd d di t i t i t i t i td t R L d t R LC R L d t LC 整理得， 221 2 1 1 21 1 1( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )SSR R u t R Rd d du t u t R i t i td t L L C d t L d
24、 t 2.3 某连续系统的输入输出方程为 )()(4)(3)(“2 txtytyty ， 已知 )()( tutx ，1)0( y , 1)0( y ，试计算 )0(y 和 )0( y 值。 解：将输入代入系统方程可得 ttytyty )(4)(3)(“2 采用冲激函数匹配法求 )0(y 和 )0( y 方程右端的冲激函数项最高阶数为 ()t ，设 tubtaty ， 则有： tuattytuaty , ，将其代入原系 统 方程，得 ttuattuatubta 4322 所以 ， 21a 即， 1 1 30 0 12 2 2yy 0 0 1yy 2.4 已知 描述某线性时不变连续系统的微分方程如下， )(3)()(4)(4)(22 txtxdtdtytydtdtydtd ， 且 (0) 1y ， 2)0( y ， )()( tuetx t ,试求其完全响应。 解：（ 1）求齐次解 tyh 特征方程为： 2 4 4 0
