1、直角三角形与勾股定理一、选择题1. （2016四川达州3 分）如图，在 55 的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C ，D 中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（ ）A B C D【考点】勾股定理的应用【分析】从点 A，B，C，D 中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：从点 A，B，C，D 中任取三点能组成三角形的一共有 4 种可能，其中ABD，ADC ， ABC 是直角三角形，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为 故选 D2.（2016广东广州）如图 2，已知三角形 ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE 是 AC 的
2、垂直平分线，DE 交 AB 于 D，连接 CD，CD( )A、3 B、4 C、4.8 D、5图2DACEB难易 中等考点 勾股定理及逆定理，中位线定理，中垂线的性质解析 因为 AB=10,AC=8,BC=8,由勾股定理的逆定理可得三角形 ABC 为直角三角形，因为 DE 为 AC 边的中垂线，所以 DE 与 AC 垂直，AE=CE=4，所以 DE 为三角形 ABC 的中位线，所以 DE= =3,再根据勾股定理求出 CD=5 12BC参考答案 D 3. （2016 年浙江省台州市）如图，数轴上点 A，B 分别对应 1，2，过点 B 作 PQAB，以点 B 为圆心，AB 长为半径画弧，交 PQ 于
3、点 C，以原点 O 为圆心，OC 长为半径画弧，交数轴于点 M，则点 M 对应的数是（ ）A B C D【考点】勾股定理；实数与数轴【分析】直接利用勾股定理得出 OC 的长，进而得出答案【解答】解：如图所示：连接 OC，由题意可得：OB=2 ，BC=1 ，则 AC= = ，故点 M 对应的数是： 故选：B4 （2016山东烟台）如图，Rt ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，B 点与 0 刻度线的一端重合，ABC=40，射线 CD 绕点 C 转动，与量角器外沿交于点 D，若射线 CD将ABC 分割出以 BC 为边的等腰三角形，则点 D 在量角器上对应的度数是（ ）A40 B70 C7
4、0或 80 D80 或 140【考点】角的计算【分析】如图，点 O 是 AB 中点，连接 DO，易知点 D 在量角器上对应的度数=DOB=2BCD，只要求出BCD 的度数即可解决问题【解答】解：如图，点 O 是 AB 中点，连接 DO点 D 在量角器上对应的度数=DOB=2BCD，当射线 CD 将 ABC 分割出以 BC 为边的等腰三角形时，BCD=40或 70，点 D 在量角器上对应的度数=DOB=2BCD=80或 140，故选 D5 （2016.山东省威海市，3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6，点 E 为 BC 的中点，将ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在矩形内点
5、F 处，连接 CF，则 CF 的长为（ ）A B C D【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【分析】连接 BF，根据三角形的面积公式求出 BH，得到 BF，根据直角三角形的判定得到BFC=90，根据勾股定理求出答案【解答】解：连接 BF，BC=6，点 E 为 BC 的中点，BE=3，又 AB=4，AE= =5，BH= ，则 BF= ，FE=BE=EC，BFC=90，CF= = 故选：D6（2016江苏连云港）如图 1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为 S1、S 2、S 3；如图 2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为 S4、
6、S 5、S 6其中 S1=16，S 2=45，S 5=11，S 6=14，则S3+S4=（ ）A86 B64 C54 D48【分析】分别用 AB、BC 和 AC 表示出 S1、S 2、S 3，然后根据 AB2=AC2+BC2 即可得出S1、S 2、S 3 的关系同理，得出 S4、S 5、S 6 的关系【解答】解：如图 1，S 1= AC2，S 2= BC2，S 3= AB2AB2=AC2+BC2，S1+S2=AC2+BC2=AB2=S3，如图 2，S 4=S5+S6，S3+S4=16+45+11+14=86故选 A【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质勾股定理：如果直角三角形的两条直角
7、7.（2016江苏南京）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是A3，4，4 B. 3，4，5 C. 3，4，6 D. 3，4，7答案：C考点：构成三角形的条件，勾股定理的应用，钝角三角形的判断。解析：由两边之和大于第三边，可排除 D；由勾股定理： ，当最长边比斜边 c 更长时，最大角为钝角，22abc即满足 ，所以，选 C。8（2016江苏省扬州）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4，BC=6将该矩形纸片剪去 3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（ ）A6 B3 C2.5 D2【考点】几何问题的最值【分析】以 BC 为边作等腰直角三角形EBC ，延长 BE 交 AD 于 F，
8、得ABF 是等腰直角三角形，作 EGCD 于 G，得EGC 是等腰直角三角形，在矩形 ABCD 中剪去ABF， BCE，ECG 得到四边形 EFDG，此时剩余部分面积的最小【解答】解：如图以 BC 为边作等腰直角三角形EBC ，延长 BE 交 AD 于 F，得ABF 是等腰直角三角形，作 EGCD 于 G，得EGC 是等腰直角三角形，在矩形 ABCD 中剪去ABF ，BCE ，ECG 得到四边形 EFDG，此时剩余部分面积的最小=46 44 36 33=2.5故选 C9（2016 浙江省舟山）如图，矩形 ABCD 中，AD=2 ，AB=3，过点 A，C 作相距为 2 的平行线段 AE，CF ，
9、分别交 CD，AB 于点 E，F ，则 DE 的长是（ ）A B C1 D【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理【分析】过 F 作 FHAE 于 H，根据矩形的性质得到 AB=CD，ABCD，推出四边形 AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到 AF=CE，根据相似三角形的性质得到 ，于是得到 AE=AF，列方程即可得到结论【解答】解：过 F 作 FHAE 于 H，四边形 ABCD 是矩形，AB=CD，ABCD，AECF，四边形 AECF 是平行四边形，AF=CE，DE=BF，AF=3DE，AE= ，FHA=D=DAF=90，AFH+HAF=DAE+FAH=90，DAE=A
10、FH，ADEAFH， ，AE=AF， =3DE，DE= ，故选 D二、填空题1. （2016 湖北黄冈） 如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 CD，BC 上，且DC=3DE=3a，将矩形沿直线 EF 折叠，使点 C 恰好落在 AD 边上的点 P 处，则 FP=_.A P(C) DEB F C （第 13 题）【考点】矩形的性质、图形的变换（折叠） 、30度角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理.【分析】根据折叠的性质，知 EC=EP2a=2DE；则DPE=30，DEP=60，得出PEF=CEF= (180-60)= 60，从而PFE=30，得出 EF=2EP=4a，再勾股定理，2
11、1得 出 FP 的长.【解答】解：DC=3DE=3a，DE=a，EC=2a.根据折叠的性质，EC=EP2a；PEF=CEF， EPF=C=90.根据矩形的性质，D=90，在 RtDPE 中，EP=2DE=2a，DPE=30，DEP=60.PEF=CEF= (180-60)= 60.21在 RtEPF 中，PFE=30.EF=2EP=4a在 RtEPF 中，EPF=90，EP2a，EF4a，根据勾股定理，得 FP= = a.EPF223故答案为： a32. (2016四 川 资 阳 )如 图 ， 在 等 腰 直 角 ABC 中 ， ACB=90， COAB 于 点O， 点 D、 E 分 别 在
12、边 AC、 BC 上 ， 且 AD=CE， 连 结 DE 交 CO 于 点 P， 给 出以 下 结 论 ：DOE 是 等 腰 直 角 三 角 形 ； CDE=COE； 若 AC=1， 则 四 边 形CEOD 的 面 积 为 ； AD2+BE22OP2=2DPPE， 其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是 【 考 点 】 勾 股 定 理 ； 四 点 共 圆 【 分 析 】 正 确 由 ADOCEO， 推 出 DO=OE， AOD=COE， 由 此 即 可判 断 正 确 由 D、 C、 E、 O 四 点 共 圆 ， 即 可 证 明 正 确 由 SABC= 11= ， S 四 边 形 DCE
13、O=SDOC+SCEO=SCDO+SADO=SAOC= SABC 即 可 解 决 问 题 正 确 由 D、 C、 E、 O 四 点 共 圆 ， 得 OPPC=DPPE， 所 以2OP2+2DPPE=2OP2+2OPPC=2OP（ OP+PC） =2OPOC， 由 OPEOEC，得 到 = ， 即 可 得 到 2OP2+2DPPE=2OE2=DE2=CD2+CE2， 由 此 即 可 证 明 【 解 答 】 解 ： 正 确 如 图 ， ACB=90， AC=BC， COABAO=OB=OC， A=B=ACO=BCO=45，在 ADO 和 CEO 中 ，ADOCEO，DO=OE， AOD=COE，A
14、OC=DOE=90，DOE 是 等 腰 直 角 三 角 形 故 正 确 正 确 DCE+DOE=180，D、 C、 E、 O 四 点 共 圆 ，CDE=COE， 故 正 确 正 确 AC=BC=1，SABC= 11= ， S 四 边 形 DCEO=SDOC+SCEO=SCDO+SADO=SAOC= SABC= ，故 正 确 正 确 D、 C、 E、 O 四 点 共 圆 ，OPPC=DPPE，2OP2+2DPPE=2OP2+2OPPC=2OP（ OP+PC） =2OPOC，OEP=DCO=OCE=45， POE=COE，OPEOEC， = ，OPOC=OE2，2OP2+2DPPE=2OE2=DE
15、2=CD2+CE2，CD=BE， CE=AD，AD2+BE2=2OP2+2DPPE，AD2+BE22OP2=2DPPE故 正 确 3.（2016广东梅州）如图，在平面直角坐标系中，将ABO 绕点 A 顺时针旋转到AB1C1 的位置，点 B、O 分别落在点 B1、C 1 处，点 B1 在 x 轴上，再将AB 1C1 绕点 B1 顺时针旋转到A 1B1C2 的位置，点 C2 在 x 轴上，将A 1B1C2 绕点 C2 顺时针旋转到A 2B2C2 的位置，点 A2 在 x 轴上，依次进行下去若点 A（ ，0） ，B（0，2） ，则点 B2016 的坐标3为_答案：（6048，2）考点：坐标与图形的变
16、换旋转，规律探索，勾股定理。解析：OA ，OB2，由勾股定理，得：AB ，所以，OC 22 6，35253所以，B 2（6,2） ，同理可得： B4（12,2） ，B 6（18,2） ，所以，B 2016 的横坐标为：1008 66048，所以，B 2016（ 6048,2）4. （2016 年浙江省温州市）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板” ，小明利用七巧板（如图 1 所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图 2 所示） ，则该凸六边形的周长是 （32 +16） cm【考点】七巧板【分析】由正方形的性质和勾股定理求出各板块的边长，即可求出凸六边形的周长【解答】解：
17、如图所示：图形 1：边长分别是：16，8 ，8 ；图形 2：边长分别是：16，8 ，8 ；图形 3：边长分别是：8，4 ，4 ；图形 4：边长是：4 ；图形 5：边长分别是：8，4 ，4 ；图形 6：边长分别是：4 ，8；图形 7：边长分别是：8，8，8 ；凸六边形的周长=8+2 8 +8+4 4=32 +16（cm ） ；故答案为：32 +165 （ 2016.山 东 省 临 沂 市 ， 3 分 ） 如 图 ， 将 一 矩 形 纸 片 ABCD 折 叠 ， 使 两 个 顶点 A， C 重 合 ， 折 痕 为 FG 若 AB=4， BC=8， 则 ABF 的 面 积 为 6 【 考 点 】 翻
18、 折 变 换 （ 折 叠 问 题 ） 【 分 析 】 根 据 折 叠 的 性 质 求 出 AF=CF， 根 据 勾 股 定 理 得 出 关 于 CF 的 方 程 ，求 出 CF， 求 出 BF， 根 据 面 积 公 式 求 出 即 可 【 解 答 】 解 ： 将 一 矩 形 纸 片 ABCD 折 叠 ， 使 两 个 顶 点 A， C 重 合 ， 折 痕 为FG，FG 是 AC 的 垂 直 平 分 线 ，AF=CF，设 AF=FC=x，在 RtABF 中 ， 有 勾 股 定 理 得 ： AB2+BF2=AF2，42+（ 8x） 2=x2，解 得 ： x=5，即 CF=5， BF=85=3，ABF
19、 的 面 积 为 34=6，故 答 案 为 ： 6【 点 评 】 本 题 考 查 了 矩 形 的 性 质 ， 折 叠 的 性 质 ， 勾 股 定 理 的 应 用 ， 能 得 出 关 于 x 的方 程 是 解 此 题 的 关 键 6（2016江苏连云港）如图 1，将正方形纸片 ABCD 对折，使 AB 与 CD 重合，折痕为EF如图 2，展开后再折叠一次，使点 C 与点 E 重合，折痕为 GH，点 B 的对应点为点M，EM 交 AB 于 N若 AD=2，则 MN= 【分析】设正方形的边长为 2a，DH=x ，表示出 CH，再根据翻折变换的性质表示出DE、EH，然后利用勾股定理列出方程求出 x，再根据相似三角形的判定性质，可得 NE 的长，根据线段的和差，可得答案
