1、泰兴市第二高级中学高三数学组 编撰人 ：赵建国 1基本不等式及其应用 1课时目标：1、 熟练掌握基本不等式2、 掌握运用基本不等式求最大值和最小值知识梳理:1、基本不等式 若 0a， b，则 2ab即 ab 或 20,2、几个重要的不等式(1)a2b 22ab(a，bR) (2) 2(a，b 同号)ba ab(3)ab 2 (a，bR) (4) 2 (a，bR)(a b2 ) a2 b22 (a b2 )以上不等式等号成立的条件均为 ab.3、算术平均数与几何平均数设 a0，b0 ，则 a，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为两a b2 ab个正数的几何平均数不大于它们的算
2、术平均数，当两个正数相等时两者相等.4、利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，x y 有最小值 2 .(简记：积定和最小)p(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值 .(简记：和定积最大)p24基础自测：1、设 x0，y0，且 xy 18 ，则 xy 的最大值为_2、若 00，y 0，且 x4y1，则 xy 的最大值为_.泰兴市第二高级中学高三数学组 编撰人 ：赵建国 25、若 x(0 ，)，则 sin x 2；若 a，b(0 ，)，则 lg alg 1sin xb2 ；若 xR，则 4.其中正确结论的
3、序号是_lg alg b |x 4x|典型例题：例 1、(1)已知 01)的最小值为_x2 2x 1小结：例 2、已知 a0，b0 ，ab1，则 的最小值为_.1a 1b引申探究1.条件不变，求(1 )(1 )的最小值1a 1b2.已知 a0，b0， 4，求 ab 的最小值1a 1b3.将条件改为 a2b3，求 的最小值1a 1b小结泰兴市第二高级中学高三数学组 编撰人 ：赵建国 3例 3、设实数 ,xy满足214，则 23xy的最小值是 课堂训练：1、函数 y1 2x (x1，00，y 0，且 1，则 xy 的最小值是_.1x 2y2、用长为 16 cm 的铁丝围成一个矩形，则所围成的矩形的
4、最大面积是_ cm 2.3、若正数 a，b 满足 1，则 的最小值是_.1a 1b 1a 1 9b 14、已知 x，yR 且满足 x22xy4y 26，则 zx 24y 2 的取值范围为_.典型例题：例 1、(1)设 x，y，z 均为大于 1 的实数，且 z 为 x 和 y 的等比中项，则 的最小值lg z4lg x lg zlg y为_.(2)设正四面体 ABCD 的棱长为 ，P 是棱 AB 上的任意一点(不与点 A，B 重合)，且6点 P 到平面 ACD，平面 BCD 的距离分别为 x，y ，则 的最小值是_.3x 1y例 2、 （1）若不等式 x2 a( xy )对任意的实数 x，y(0
5、，) 恒成立，则实数 a 的xy最小值为_.泰兴市第二高级中学高三数学组 编撰人 ：赵建国 6小结：(2)已知 a0，b0，若不等式 恒成立，则 m 的最大值为_.3a 1b ma 3b(3)已知函数 f(x) (aR) ，若对于任意的 xN *，f (x)3 恒成立，则 a 的x2 ax 11x 1取值范围是_.小结：例 3、北京、张家港 2022 年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25 元，年销售 8 万件.(1)据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 2 000 件，要使销售的总收
6、入不原收入，该商品每件定价最高为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行技术革新和营销策略改革，并提高定价到 x 元，公司拟投入 (x2600)万元作为16技改费用，投入 50 万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当x5该商品改革后的销售量 a 至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时小结：课堂训练：1、设 x，y0，且 xy4，若不等式 m 恒成立，则实数 m 的最大值为_.1x 4y2、已知 0,8,ab 则当 a 的值为 时 2logab取得最大值.泰兴市第二高级中学高三数学组
7、编撰人 ：赵建国 73、某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位：万元) 与机器运转时间 x(单位：年)的关系为 y x218x25(xN *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是_万元.课堂小结：布置作业：基本不等式及其应用课后作业 21、函数 y12x (x0 时，函数 f(x) 有最_值，为_.2xx2 13、函数 y 的最小值为 _.x2 2x2 14、已知 x0，y 0，x ，a，b，y 成等差数列，x，c，d，y 成等比数列，则 的最小值a b2cd为_.5、已知 ab1 且 2logab3log ba7，则 a 的最小值为 _.
8、1b2 16、若 ,R， 0，则4的最小值为_.7、某民营企业的一种电子产品，2015 年的年产量在 2014 年基础上增长率为 a；2016 年计划在 2015 年的基础上增长率为 b(a，b0) ，若这两年的平均增长率为 q，则 q 与 的a b2大小关系是_.8、在锐角三角形 ABC 中，若 sin A2sin B sin C，则 tan Atan Btan C 的最小值是_.泰兴市第二高级中学高三数学组 编撰人 ：赵建国 89、如果函数 21810fxmxnmn， 在区间 12， 上单调递减，则 的最大值为_.n10、不等式 42xalnlog（ 0a且 1）对任意 ),(10x恒成立
9、，则实数的取值范围为 11、已知函数 f(x) (xa，a 为非零常数).x2 3x a(1)解不等式 f(x)a 时，f(x)有最小值为 6，求 a 的值.泰兴市第二高级中学高三数学组 编撰人 ：赵建国 99已知 a， b均为正数，且 20ab，则2214ab的最小值为 【解析】 ，所以（当且仅当 时取等号）而 （当且仅当 时取等号） ，因此泰兴市第二高级中学高三数学组 编撰人 ：赵建国 10（当且仅当 时取等号） ，即 的最小值为 7.10、不等式 42xalnlog（ 0a且 1）对任意 ),(10x恒成立，则实数的取值范围为 解： )10ln,(l)10,(xx，所以xaxa ln4llnlog2，又4l2ln4，当且仅当 )10l,(l时取等号，因此10l1a或 41e
