1、2009 年全国高考理科数学试题及答案（全国卷）一、选择题：1. 10i2-A. B. C. D. +4i-24i2+4i2-4i解：原式 .故选 A.()-i22. 设集合 ，则 =1|3,|04xAxBABA. B. C. D. ,2,14.解： . .故选 B.1|0|(1)40|44xBxx (3,)AB3. 已知 中， ， 则AC2cot5cosAA. B. C. D. 12313513123解：已知 中， ， .Bct(,)2故选 D.22cos 1351tan1()A4.曲线 在点 处的切线方程为2xy,A. B. C. D. 020xy450xy450xy解： ,11122|(
2、)()xxx故切线方程为 ,即 故选 B.)y0y5. 已知正四棱柱 中， 为 中点，则异面直线 与1ABCD12AB， E1ABE所成的角的余弦值为1CDA. B. C. D. 101531035解：令 则 ,连 异面直线 与 所成的角即AB121ABCD1BE1CD1AB与 所成的角。在 中由余弦定理易得 。故选 CE1E130cosA6. 已知向量 ，则2,0,|52aba|bA. B. C. D. 51 25解： 。故选 C2220|0|A|57. 设 ，则323log,l,logabcA. B. C. D. cabbacbca解： 322lllc.故选 A.233ogogc8. 若将
3、函数 的图像向右平移 个单位长度后，与函数tan04yx6的图像重合，则 的最小值为tan6yxA B. C. D. 1141312解： 6tantan(ta)646nyxyxx 向 右 平 移 个 单 位，14()62kkZ又 .故选 Dmin09. 已知直线 与抛物线 相交0ykx2:8Cyx于 两点， 为 的焦点，若 ，则AB、 FC|FABkA. B. C. D. 13232解：设抛物线 的准线为 直线 恒过定点 P .如2:8Cyx:2lx20ykx2,0图过 分 别作 于 , 于 , 由 ,则 ,AB、 MBNl|FAB|MBN点 B 为 AP 的中点.连结 ,则 , 点 的横坐标
4、为 , 故点O1|2|O1的坐标为 , 故选 D0(1,2)()3k10. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有A. 6 种 B. 12 种 C. 30 种 D. 36 种解：用间接法即可. 种. 故选 C224430C11. 已知双曲线 的右焦点为 ,过 且斜率为 的直线交21,xyab： F3于 两点，若 ,则 的离心率为AB、 4FBm A B. C. D. 657589解：设双曲线 的右准线为 ,过 分 21xyCab： lA、别作 于 , 于 , ,AMlBNlDM于由直线 AB 的斜率为 ,知直线 AB 的倾斜角为3,1606
5、0|2DA由双曲线的第二定义有|(|)AMBNFBe.1|(|)2又 故选 A15643|2Fee12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“ ”的面的方位是A. 南 B. 北C. 西 D. 下解：展、折问题。易判断选 B第 II 卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡上。13. 的展开式中 的系数为 6 。xy3xy解： ，只需求 展开式中的含 项的系数：424()4()xyxy246C14. 设等差数列 的前 项和为 ，若
6、 则 9 .nanS53a95S解： 为等差数列，n95315.设 是球 的半径， 是 的中点，过 且与 成 45角的平面截球 的表面OAMOAOAO得到圆 。若圆 的面积等于 ，则球 的表面积等于 .C748解：设球半径为 ，圆 的半径为 ，Rr2274r,得由因为 。由 得 .故球 的表24O22217()84RR2O面积等于 .816. 已知 为圆 : 的两条相互垂直的弦，垂足为 ,则四边形ACBD、 2xy12M的面积的最大值为 。解：设圆心 到 的距离分别为 ,则 .O、 12d、 2213dO+四边形 的面积ABC 2211|(4)8()52SABCd-三、解答题：本大题共 6 小
7、题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 10 分）设 的内角 、 、 的对边长分别为 、 、 ， ，abc3os()cs2ACB，求 。2bacB分析：由 ，易想到先将 代入3cos()cs2ACB()BAC得 然后利用两角和与差的余弦公式cs() 3()cos()2展开得 ；又由 ，利用正弦定理进行边角互化，得3in42ba，进而得 .故 。大部分考生做到这里忽略了2siisBAC3sinB3或检验，事实上，当 时，由 ，进而得231cos()2AC，矛盾，应舍去。cos()cs()1也可利用若 则 从而舍去 。不过这种方法学生不易想到。2babc或 3B评
8、析：本小题考生得分易，但得满分难。18（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 中， 、 分别1ABC,ABCDE为 、 的中点， 平面1ADE1（I）证明： （II）设二面角 为 60，求 与平面 所成的角的大小。BC1BC（I）分析一：连结 BE， 为直三棱柱， A190,B为 的中点， 。又 平面 ，E1ED（射影相等的两条斜线段相等）而 平面 ，BDCAC（相等的斜线段的射影相等） 。A分析二：取 的中点 ，证四边形 为平行四边形，进而证 ，FAFDE，得 也可。ABC分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。（II）分析一：求 与平面 所成的线面角，只需1D求点 到面 的距离即可。B作
9、于 ，连 ，则 ，AGCGB为二面角 的平面角， .不妨设 ，则AGCBDC60AGC23A.在 中，由 ，易得 .2,4RTABD6设点 到面 的距离为 ， 与平面 所成的角为 。利用1h1 ，可求得 ，又可求得 133BCBCDSES23143C1sin0.2h即 与平面 所成的角为 3.分析二：作出 与平面 所成的角再行求解。如图可证得 ，所1BCDBCAFED面以面 。由分析一易知：四边形 为正方形，连 ，AFE面 AFED、并设交点为 ，则 ， 为 在面 内的射影。O面 OC。以下略。C即 为 所 求分析三：利用空间向量的方法求出面 的法向量 ，则 与平面 所成的角BDn1BCD即为
10、 与法向量 的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。1Bn总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。19（本小题满分 12 分）设数列 的前 项和为 已知na,nS1,a142nSa（I）设 ，证明数列 是等比数列12bb（II）求数列 的通项公式。n解：（I）由 及 ，有1,a142nSa1214,a22353b由 ， 则当 时，有 14nS 12nS得 1,2()nnaaa又 ， 是首项 ，公比为的等比数列12nnba1nb13b（II）由（I）可得 ，132a24na数列 是首项为 ，公差为 的等比数列
11、2n4， ()4nan2(1)nn评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找 1nb与 的 关 系 即 可第（II）问中由（I）易得 ，这个递推式明显是一个构造新数列的1123na模型： ，主要的处理手段是两边除以 1(,nnapq为 常 数 ) 1nq总体来说，09 年高考理科数学全国 I、这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国 I 还考查了利用错位相减法求前 n 项和的方法） ，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。20（本小题满
12、分 12 分）某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 5 名工人，其中有 3 名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核。（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；（II）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率；（III）记 表示抽取的 3 名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望。分析：（I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。（II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率1462085CP（III） 的可能取值为 0，
13、1 ，2，3， ，1234056()7CP1214634205058()7CP，21605() 31()()()()75P分布列及期望略。评析：本题较常规，比 08 年的概率统计题要容易。在计算 时，采用分类的方法，(2)用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。21（本小题满分 12 分）已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 F 的直线 与 相交2:1(0)xyCab3lC于 、 两点，当 的斜率为 1 时，坐标原点 到 的距离为ABl Ol2（I）求 ， 的值；ab（II） 上是否存在点 P，使得当 绕 F 转到某一位置时，有 成立？Cl POAB若存在，求出所有的 P 的坐标与 的方
14、程；若不存在，说明理由。解:(I）设 ，直线 ，由坐标原点 到 的距离为(,0)Fc:0lxycl2则 ，解得 .又 .|213,eab（II）由(I）知椭圆的方程为 .设 、2:3xyC1(,)AxyB2(,)xy由题意知 的斜率为一定不为 0，故不妨设 l :lm代入椭圆的方程中整理得 ，显然 。2()40my由韦达定理有： 122,3y122,3.假设存在点 P，使 成立，则其充要条件为：OAB点 ，点 P 在椭圆上，即 。12(,)xy的 坐 标 为 2211()()3xy整理得 。221 122346xyxyxy又 在椭圆上，即 .AB、 13,3故 120xy将 及代入解得2211
15、2()()mymy21m, = ,即 .12y或 12x243(,)P当 ;3,(),:1Ply时当 .22,(),:mlx时评析：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算” ，主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因, 一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。22.(本小题满分 12 分)设函数 有两个极值点 ，且21fxaInx12
16、x、 12x（I）求 的取值范围，并讨论 的单调性；f（II）证明： 24Ifx解: （I）2(1)1axaf x令 ，其对称轴为 。由题意知 是方程 的两2()gx12x、 ()0gx个均大于 的不相等的实根，其充要条件为 ，得1480()ag1a当 时， 在 内为增函数；1(,)x0,()fxf1,x当 时， 在 内为减函数；12(,)x0,()fxf12,)x当 时， 在 内为增函数；,（II）由（I） ，21(0),gax2()ax+2 22()1fxlnln设 ，()1hx则 2()xlxlx当 时， 在 单调递增；1(,0)0,)h1,02当 时， ， 在 单调递减。xx()ln(,)24当 时故 124Infxh
